Energía potencial gravitatoria

[carlos_fdez90]

Buenas a todos, soy nuevo en el foro. Vereis, tengo un dilema con la energía potencial...

1) A ver, por definición, el trabajo desde A hasta B, estando más alejado A que B (de un centro de masa, la Tierra por ejemplo), por ser el peso una fuerza conservativa, es W(a,b) = U(a) - U(b) = integral desde a hasta b de(F·dr) . Pero en la práctica, si calculo F y hago la integral entre 2 puntos a y b como los que he dicho, para que me quede el resultado que busco: U(a) - U(b), debo considerar el vector elemental dr en dirección radial Y SENTIDO HACIA AFUERA, es decir, con origen en el centro de masa, cuando en realidad, el desplazamiento se lleva a cabo desde a hasta b, es decir, en sentido entrante a la Tierra Si, por lo contrario, considero el vector dr en el sentido que mi razonamieno me manda, es decir, en sentido desde A hasta el centro de la Tierra (A, B y la Tierra están alineadas), el desarrollo de la integral me lleva a

W(a,b) = U(a) - U(b) = GMm[-1/$R_b + 1/R_a$]

Solución que está en contra de la definición archiconocida de
U(r)= -GMm/$R_r$ Oséase, con el signo cambiado. Si alguien me pudiera aclarar un poco esto... se lo agradecería con creces

2) Por otro lado, hago una pregunta: considerando el origen de potencial 0 en el infinito, el trabajo realizado por la fuerza conservativa Peso al desplazar un objeto desde un punto A hasta uno B, será:

W>0 siempre que $R_a>R_b$
W<0 siempre que $R_a<R_b$
¿No ocurre así?

3) Cuando en los problemas, pregunta típica, preguntan por el trabajo necesario para desplazar cierto objeto desde tal posición A hasta tal posición B, este trabajo pedido, que se refiere exactamente, ¿al trabajo a realizar por la fuerza PESO? O qué fuerza, exactamente?

Como podeis ver, el cacao es bastante grande (y todo por intentar desmenuzar tanto las definiciones, jeje). Pero la cosa es que acabo de terminar 2º de bachillerato y el concepto gradiente no se toca en este curso, quizás ahí esté parte de mi problema. Gracias de antemano a los que se interesen por el tema y un saludo

[Entro]

Re: Energía potencial gravitatoria

Bueno, en un sistema conservativo el trabajo siempre se puede escribir como:

$W=-\Delta U$ (La interpretación está clara, el trabajo se realiza en contra del potencial)


o

$W=\Delta T$ (La interpretación es que todo trabajo modifica la energía cinética.)


Siendo U la energía potencial del sistema y T la energía cinética. Combinando ambas expresiones llegas a la conservación de la energía mecánica.


La expresión: $U=-G\frac{Mm}{r}$, se calcula tomando el origen de potenciales en el infinito. (De ahí el signo menos y su interpretación como que es una interacción atractiva siempre)

Poner un origen u otro, no afecta al trabajo realizado, porque lo único que tendríamos sería una constante sumada a ese término, y cuando hicieramos la diferencia cancelaría.

[pod]

Re: Energía potencial gravitatoria

Por completitud, ten en cuenta que si tienes varias fuerzas a la vez, algunas conservativas y otras no conservativas; para la variación del potencial tienes que usar los trabajos de sólo las fuerzas conservativas. Para la variación de la energía cinética, en cambio, tienes que usar todos los trabajos posibles.

Además, el trabajo de las fuerzas no conservativas será igual a la variación de la energía mecánica.

[carlos_fdez90]

Re: Energía potencial gravitatoria

Gracias por contestar, Entro. No obstante, sigo con las mismas dudas

Sobre todo, la de la integral. Si el punto A es más lejando que B, y se desplaza el objeto desde A hasta B mediante la F gravitatoria, y siendo er el vector unitario, dirección radial y sentido hacia afuera (origen en la masa creadora del campo), tengo que F= GMm/(r^2) siendo M la masa de la Tierra y m la masa del objeto. r es la distancia desde la Tierra al objeto en cualquier momento. Por otro lado, como se acerca a la Tierra desde A hasta B, el vector infinitesimal de desplazamiento dr se definirá como
dr = - dr er , y la Fuerza, vectorialmente como F = -GMm/(r^2) er
El producto escalar F·dr será:

F·dr = -GMm/(r^2) · (-dr) er·er = GMm/(r^2) · dr

Al integrar desde A a B:

$U_a - U_b = \int_{r_A}^{r_B} \cdot GMm/(r^2) dr$ = GMm $\int_{r_A}^{r_B} \cdot dr/(r^2)$ = GMm [-1/$r_B + 1/r_A$= -GMm/$r_B + GMm/r_A$

Si ahora hacemos $r_A = \infty$, y sabiendo que por definición, U$(\infty)$= 0 Julios nos queda:

$U_a - U_b =$ $-GMm/r_B + GMm/r_A$ = $0 - U_b = -GMm/r_B + 0 = -GMm/r_B$

De donde concluímos que:

$-U_b = -GMm/r_B$ ==> $U_b = GMm/r_B$

Definición totalmente errónea. Por lo contrario si hubiéramos tomado el vector dr saliente de la masa M (la Tierra), todo perfecto. Pero por qué ha de ser así si no ocurre así en la realidad? Me mataaa xDD!

PD: Empiezo a escribir mis primeras cositas en Latex

[Entro]

Re: Energía potencial gravitatoria

A bueno, entonces el problema lo tienes en el dr. El dr tiene signo positivo porque es el vector unitario correspondiente a la elección de coordenadas que has hecho, y este se toma como positivo.

Con lo cual el signo que no te sale viene de ahí.

[carlos_fdez90]

Re: Energía potencial gravitatoria

Muchísimas gracias, Entro!!!! Y esto para cualquier integral que haga, por ejemplo también en campo eléctrico, ¿no es así? Y hay alguna razón más fuerte que esa por la que esto sea así? o simplemente esa, porque consideré que el unitario positivo iba en el sentido del vector er? (saliente desde la masa M, que es la Tierra) Muchas gracias de nuevo

[carlos_fdez90]

Re: Energía potencial gravitatoria

Ops, nuevo error, Entro Si tomo como positivo el sentido entrante a la Tierra... F= GMm/(r^2) er y dr = dr er , según lo que me has dicho.

Conclusión: F · dr = GMm/(r^2) · dr er·er = GMm/(r^2) dr... Al integrar entre A y B, estando A más alejado de la Tierra que B vuelve a quedar:

$GMm[-1/r_B + 1/r_A]$ , Esto, en realidad es $U_B - U_A$ y no al revés como debería quedar: $U_A - U_B$ (Por definición)

[Entro]

Re: Energía potencial gravitatoria

Entonces la solución está clara:

a) permuta todos los simbolos y cuando llegues a la fórmula que buscas interpretalo.

b) olvidalo y a otra cosa.

c) Bien puede ser que: $\int_{r_1}^{r2}{\frac{-GMm}{r^2}dr}=-GMm\int_{r_1}^{r_2}\frac{dr}{r^2}=U_1-U_2$

Y de ahí sacamos la definición de U(r).


Nota: El signo menos se introduce por elfecto del producto escalar de la definición del trabajo. En concreto la fórmula ha de obtenerse de acuerdo con: $Fdr cos(\alpha)$ Siendo F y dr el módulo de los vectores (con lo que no llevan signo alguno, el menos procede del coseno del angulo formado por ambos vectores)

[carlos_fdez90]

Re: Energía potencial gravitatoria

Muchas gracias a todos