1r ciclo Teorema de Gauss Gravitatorio

[BigRider]

Me encuentro ante un problema de gravitación en el que se me pide hallar el campo gravitatorio creado por un planeta de radio R con densidad variable. (Dejo el enunciado en un archivo adjunto)
Mi duda es, si se puede aplicar el teorema de Gauss en este caso, yo creo que sí pero el hecho de que la densidad sea variable me tira un poco para atrás.

De ser posible aplicarlo ... ¿Cómo se haría correctamente?
Yo he hecho lo siguiente (lo adjunto, ya que no sé como escribir ecuaciones por este foro)
Sin embargo, no creo que sean correctos los dos primeros campos creados y no logro ver el error. Si no estoy equivocado ambos deberían ser proporcionales a r y no inversamente proporcionales a su cuadrado.
¿alguien podría echarme un cable?

Gracias por adelantado.

[Al2000]

Re: Teorema de Gauss Gravitatorio

Te pongo la solución general y tu te entretienes con los casos particulares

Partiendo del campo de una cáscara esférica de radio $R$ y masa $M$:

$$g_{(r)} = \left \{\begin{aligned}&0, & 0 \leqslant r& < R \\ -G &\frac M {r^2}, & R < r& < \infty \end{aligned}\right .$$

(sabemos que el campo es radial y estoy omitiendo el vector unitario $\boldsymbol u_r$)

Entonces una distribución esférica de radio $R$ y densidad $\rho_{(r)}$ se puede dividir en cáscaras esféricas de radio $0 \leqslant x \leqslant R$ y masa $dm = \rho_{(x)}\,(4 \pi x^2\, dx)$ y sumar las contribuciones para obtener

$$g_{(r)} = \left \{\begin{aligned}&\int_{x=0}^{x=r}\!\! \left(-G \frac {dm}{r^2}\right), & 0 \leqslant r& \leqslant R \\ \\& \int_{x=0}^{x=R}\!\! \left(-G \frac {dm}{r^2}\right), & R \leqslant r& < \infty \end{aligned}\right .$$

Sustituyendo $dm$ y dejando los términos constantes fuera de las integrales, queda

$$g_{(r)} = \left \{\begin{aligned}&- \frac {4 \pi G}{r^2}\int_{0}^{r}\!\! \rho_{(x)}\, x^2\, dx, & 0 \leqslant r& \leqslant R \\ \\& - \frac {4 \pi G}{r^2}\int_{0}^{R}\!\! \rho_{(x)}\, x^2\, dx, & R \leqslant r& < \infty \end{aligned}\right .$$

Saludos.

Al

[BigRider]

Re: Teorema de Gauss Gravitatorio

Voy a intentarlo a ver si así me sale algo con más sentido. Muchas gracias Al

- - - Actualizado - - -

No entiendo porque sale r^2 del integrando... si no es constante.... saldría si fuese R no?
Creo que me estoy liando yo solo

[oscarmuinhos]

Re: Teorema de Gauss Gravitatorio

Completando lo de AI2000...
Lo que te está dando AI2000, es el valor de g y ese $r^2$ no viene de la integración, sino de trasponer al otro miembro la superficie $S=4 \pi r^2$.

Lo que me parece que sobra es el $4 \pi$ porque se cancelaría con el $4 \pi$ de S?

CORRIJO: Es correcto el $4 \pi$ que pone AI2000!!! (disculpas) Lo explico en mensaje posterior

[BigRider]

Re: Teorema de Gauss Gravitatorio

Estoy de acuerdo con lo que dices oscar. Creo que el 4pi no debe aparecer ya que se cancela con el de S. A ver si así me sale.
¿Es correcta mi suposición de que en el interior del planeta la gravedad debe de ser proporcional a r?

[oscarmuinhos]

Re: Teorema de Gauss Gravitatorio

¿Es correcta mi suposición de que en el interior del planeta la gravedad debe de ser proporcional a r?

Hasta $R=R_0/2$ si. ($R_0$ el radio del planeta)

Y corrijo lo dicho en mi mensaje anterior...El $4 \pi$ que pone AI2000 está bien (disculpas AI) porque ese viene de dentro de la integral....el $4 \pi$ de la fórmula de Gauss se cancela con el $4\pi$ de la superficie de Gauss y nos queda otro $4 \pi$ que viene de la integral de volumen

disculpas

[BigRider]

Re: Teorema de Gauss Gravitatorio

Acabo de hacerlo y efectivamente el 4pi sale en el resultado. Eso sí, entre R/2 y R el campo gravitatorio disminuye inicialmente y aumenta a medida que nos aproximamos a R para después disminuir a medida que nos alejamos del planeta.
Si no me equivoco este ejercicio es una aproximación al modelo de dos capas de la Tierra, con núcleo y manto.

[Al2000]

Re: Teorema de Gauss Gravitatorio

...
No entiendo porque sale r^2 del integrando... si no es constante.... saldría si fuese R no?
...

La distancia $r$ es constante a los efectos del cálculo del campo en ese punto. Nota que la variable de integración es $x$ (o $r'$ si lo prefieres).

...
Lo que me parece que sobra es el $4 \pi$ porque se cancelaría con el $4 \pi$ de S?

En efecto, el $4 \pi$ de la integral de superficie se cancela con el $4 \pi$ del teorema de Gauss. El $4 \pi$ que estás viendo sale del diferencial de volumen.

BigRider, si deseas plantear el cálculo directamente con el teorema de Gauss, lo único que tienes que hacer es calcular la masa encerrada mediante la integral de volumen que escribiste en tu primer mensaje. La cosa se simplifica mucho si como diferencial de volumen usas una cáscara esférica, pues sabemos que en el interior de una cáscara esférica el campo es cero. El cálculo sería algo así:

$$\Phi_g = \oint_S \boldsymbol g \boldsymbol \cdot d \boldsymbol S = - 4 \pi G m \quad \Rightarrow \quad 4 \pi r^2 g_{(r)} = - 4 \pi G m \quad \Rightarrow \quad g_{(r)} = - \frac {G m}{r^2}$$

donde $m$ es toda la masa encerrada dentro de la esfera de radio $r$: $\dst m = \int \rho \, dV$.

Como decía antes, el cálculo de la integral se simplifica mucho si usas como diferencial de volumen una cáscara esférica de grosor infinitesimal, $dV = 4 \pi r^2\, dr$.

En la integral en mi mensaje anterior usé como variable de integración $x$ en lugar de $r$ porque esta última ya se estaba usando con otro significado, la distancia al centro a la cual se evalúa el campo. Tu puedes usar la letra que se te de la gana para la integral. Por aquí he visto se estila usar $r'$ y el resultado quedaría de la forma

$$g_{(r)} = - \frac {4 \pi G}{r^2} \int_{0}^{r}\!\! \rho_{(r')}\,(r')^2\, dr'$$

Yo prefiero usar alguna otra letra no primada sólo por comodidad y gusto personal. Lo importante es que la variable de integración, llámese como se llame, te permite recorrer la distribución de carga mientras que $r$, que indica la coordenada donde se hace el cálculo, permanece constante.

Una vez que efectúes el cálculo para la densidad de carga que te dan, deberías llegar a este resultado:

$$\boldsymbol g_{(r)} = \left \{\begin{matrix}\dst - \frac {4 \pi } 3 G \rho_0 r\, \boldsymbol u_r, & 0 \leqslant r \leqslant R/2 \\ \\ \dst - \pi G \rho_0 R \left(1 - \frac {R^2}{12 r^2}\right) \boldsymbol u_r, & R/2 \leqslant r \leqslant R \\ \\ \dst - \frac {11 \pi }{12} \frac {G \rho_0 R^3}{r^2}\, \boldsymbol u_r, & R \leqslant r < \infty \end{matrix}\right .$$

La masa de la esfera es $\dst M = 4 \pi \int_{0}^{R}\!\! \rho_{(x)}\, x^2\, dx = \frac {11}{12} \pi \rho_0 R^3$.

Saludos,

Al

[BigRider]

Re: Teorema de Gauss Gravitatorio

Muchísimas gracias Al!

De los tres resultados que salen, el primero me sale igual, el segundo creo que medio lo tengo, he debido de meter la pata en algún cálculo pero estoy cerca, y donde tengo la duda es con el último. Fuera del planeta ... el campo no debería ser igual que el creado por una masa puntual M a una distancia r ?

Ya lo he entendido... es debido a las diferencias en la densidad.

[csanqu1]

Re: Teorema de Gauss Gravitatorio

Hola buenos días, no veo como saca el campo entre R/2 y r y en el infinito , alguien me podría aclarármelo, muchas gracias

[Jesus_jpg]

Re: Teorema de Gauss Gravitatorio

En cuanto a la segunda parte del problema...debemos considerar en cada parte del trayecto la fuerza correspondiente creada por el campo?

[csanqu1]

Re: Teorema de Gauss Gravitatorio

en el intervalo R/2 menor o igual que r menor o igual que R llego a una ecuación similar lo que el resultado me da( 1-R2/4r2) no se porque da R2/12r2

[oscarmuinhos]

Re: Teorema de Gauss Gravitatorio

Hola buenos días, no veo como saca el campo entre R/2 y r y en el infinito , alguien me podría aclarármelo, muchas gracias

El campo en ese intervalo que dices, de R/2 a infinito tiene dos regiones: una primera hasta R en la que la masa encerrada dentro de la superficie de Gauss va aumentando al aumentar el radio de la superficie gaussiana que tomes, y otra desde R hasta infinito en la que la masa encerrada dentro de la superficie gaussiana ya no varía

Para $R< r <$ infinito
Teorema de Gauss (en forma integral para el campo gravitatorio):

$\displaystyle \oint \vec g. \vec dS = 4 \pi. G. {M}_{dentro de la superficie}= \oint \ g. \ dS cos \pi = 4 \pi. G. {M}_{dentro de la superficie}$


Tomas una superficie cerrada de radio r concéntrica con la esfera de masas que te dan (NOTA: el teorema de Gauss es válido para cualquier superficie cerrada, y tomamos esta superficie esférica concéntrica con la esfera de masa por razones de cálculo que entenderás a continuación)

El campo $\vec g$ en los puntos de esta superficie, por simetría ha de ser en todos los puntos del mismo valor. Por lo tanto puede sacarse de la integral:

$\displaystyle -\oint \ g. \ dS = -g \oint dS = - g. 4\pi r^2 = 4 \pi. G. {M}_{dentro de la superficie}$

Solo tienes ahora que calcular la masa encerrada dentro de la superficie gaussiana de radio r que se ha tomado.

Esta masa es la suma de las masas encerradas dentro de la esfera de radio r = R/2 y la masa correspondiente a la capa esférica que va desde R/2 a R:

La primera masa puede calcularse directamente sin integración:

$\displaystyle M_1=\rho V = \frac{4}{3 } \pi \rho_0 \left(\frac{R}{2 } \right)^3$

La segunda masa la calculas integrando entre R/2 y R:
$\displaystyle M_2 = \oint \rho dV$

Sumas estas masas y las llevas a la expresión del teorema de Gauss y completado!

[csanqu1]

Re: Teorema de Gauss Gravitatorio

Muchas gracias, ahora si lo veo un cordial saludo