1r ciclo Bolita insertada en aro rotatorio

[Albandres]

Hola buenas!
Soy nuevo por aquí y no se si esto irá aquí, si no, lo siento.

Estoy en segundo de Físicas y no consigo hacerme con el siguiente problema.

Problema.pdf

El caso es que planteo el problema con el formalismo newtoniano primero mediante el sistema inercial y luego desde el no inercial con las fuerzas de coriolis y demás. De esta manera obtengo las ecuaciones de ligadura del aro para la componente radial y la acimutal y otra ecuación que incluye tres términos: los dos característicos de la ecuación dinámica de un péndulo simple y otro con contiene a \omega. Hasta ahí en teoría creo que bien.

Luego, a la hora de calcular la ecuación dinámica mediante LaGrange, me queda la misma ecuación que antes tenía tres términos, pero me aparecen dos más. No se si estoy haciendo algo mal.

Tampoco sé como clasificar las soluciones en función de \omega ni como obtener las posiciones de equilibrio. Puede que esto lo veo claro una vez que obtenga las ecuaciones correctas.

Sé que cuánta más velocidad angular lleve el aro más arriba estará la posición de equilibrio.

Muchas gracias

[ZYpp]

Re: Bolita insertada en aro rotatorio

Sería de gran ayuda que planteases qué has hecho hasta la fecha y los resultados que te dan, para poder comprobar si está todo bien. Además, mientras lo escribes te puedes dar cuenta de dónde está el fallo (en caso de que exista alguno).

[Albandres]

Re: Bolita insertada en aro rotatorio

Sería de gran ayuda que planteases qué has hecho hasta la fecha y los resultados que te dan, para poder comprobar si está todo bien. Además, mientras lo escribes te puedes dar cuenta de dónde está el fallo (en caso de que exista alguno).

Bien, intentaré hacerlo lo más claro posible. Os lo dejo en este pdf
problema.pdf
Gracias de nuevo

[Alriga]

En este otro hilo están las las ecuaciones: Problemas de sistemas no inerciales

Saludos.

[oscarmuinhos]

Re: Bolita insertada en aro rotatorio

Creo que, en la formulación Lagrangiana, estás derivando mal las coordenadas cartesianas (o estás elevando mal al cuadrado) para obtener la velocidad y la energía cinética T;

Yo obtengo para la energía cinética T:
$\displaystyle T = \frac{1}{2 }mR^2(\dot \theta^2 + \dot \varphi^2sen^2 \theta)= \frac{1}{2 }mR^2(\dot \theta^2 + \dot \omega^2sen^2 \theta)$

Y una vez hechas las ecuaciones de Euler llego a la misma ecuación (salvo un signo) que llegaste tú con el método de las fuerzas.

En cuanto a los signos: si pones el origen de las coordenadas esféricas en el centro del aro, la coordenada z no debería tener signo negativo??

Saludos

[Albandres]

Re: Bolita insertada en aro rotatorio

Madre mía que fallo más tonto...
Lo del signo ya está arreglado, es que la fuente de la que cogí la aceleración en esféricas (me dio pereza hacerlo) tenia un signo mal.
Ahora supongo que no tendré problema para solucionar la ecuación, que tienen tres soluciones dependiendo de omega, y para hallar los puntos de equilibrio.

Muchas gracias

- - - Actualizado - - -

- - - Actualizado - - -

Por cierto, podríais decirme si verdaderamente es 0 el término \vec{R''}

Edito: perdón pero no sé como funcionan las opciones para poner texto avanzado

[oscarmuinhos]

Re: Bolita insertada en aro rotatorio

No se entiende lo que quieres preguntar...
Si te refieres a si son 0 las derivadas de $\vec R$?

[Albandres]

Re: Bolita insertada en aro rotatorio

Si, me refiero a eso, por que ya no se si ese vector es únicamente Ru_r como he puesto o al ser el vector de posición de la partícula también tiene las componentes polar y acimutal. En este segundo caso, la segunda derivada de R sería la segunda derivada del ángulo polar.

Y se que soy un poco coñazo pero es que este problema me trae de cabeza. La ecuación diferencial se puede resolver pero solo si realizamos la aproximación de oscilaciones pequeñas. El caso es que tiene tres soluciones dependiendo del valor de omega y una de ellas es un coseno hiperbólico (ahora pongo el pdf) que hace que cuando el tiempo tiende a infinito, el ángulo tienda a infinito, es decir que la bola da vueltas sin cambiar de sentido. El caso es que eso no es realizar oscilaciones pequeñas y no se cómo interpretar la solución de una ecuación soluble sólo bajo una aproximación que me da un resultado que claramente viola esa aproximación...

Además, dado que el ángulo tiende a infinito y comienza a dar vueltas, he supuesto que en ese caso (cuando omega cumple esa condición) la energía en cualquier momento sería mayor que la necesaria para pasar por el punto más alto pero no consigo demostrarlo.

Os pongo lo que tengo: Documento1.pdf

Gracias de nuevo

[oscarmuinhos]

Re: Bolita insertada en aro rotatorio

derivación de $r. \vec u_r$ ?

Trabajando en coordenadas polares el vector de posición es efectivamente $R.\vec u_r$ y habría que derivar R (que en este caso es constante porque el aro es rígido) y el vector unitario $\vec u_r$ porque efectivamente cambia de posición.

Pero recuerda de donde partiste tú.
Escribiste la posición de la bolita en coordenadas (x, y, z), por lo tanto los vectores unitarios aquí son los vectores fijos $\hat{\imath}$, $\hat{\jmath}$ y $\hat{k}$. O sea escribiste el vector de posición.

Expresaste estas coordenadas cartesianas en función de unas coordenadas generalizadas que coinciden con las que se utilizan en el sistema de coordenadas esféricas con los vectores $\vec u_r$, $\vec{{u}_{ \varphi}}$, $\vec {{u}_{\theta}}$

Derivaste las coordenadas (x, y, z) (que es el vector de posición), expresadas en coordenadas generalizadas, por lo tanto estás derivando el vector $R.\vec u_r$ y obtuviste las componentes cartesianas de la velocidad ( en función de los vectores unitarios fijos $\hat{\imath}$, $\hat{\jmath}$ y $\hat{k}$, no de los vectores unitarios polares)

Elevaste estas componentes cartesianas de la velocidad al cuadrado para al sumarlas tener $v^2$ y tener la energía cinética T (claro que en función de las coordenadas generalizadas y no en función de las cartesianas x, y z)

No es así?

Si en lugar de partir del vector de posición en coordenadas cartesianas, hubieras partido de la expresión del vector de posición en coordenadas esféricas habrías llegado a la misma expresión para

[Albandres]

Re: Bolita insertada en aro rotatorio

Gracias de verdad, ¿alguna idea para el otro problema? Estoy en blanco...

[oscarmuinhos]

Re: Bolita insertada en aro rotatorio

A cual segundo problema te refieres?
Al de las oscilaciones pequeñas?
No repase operaciones, pero lo razonas bien y la ecuación diferencial que te queda la veo correctamente solucionada.
Y lo de las "oscilaciones" pequeñas ya lo estás considerando en las aproximaciones primeras que haces al substituir el seno del ángulo por el valor del ángulo...de donde te sale (como una de las tres soluciones) un movimiento oscilatorio

Mas no soy nada experto en este tipo de problemas y espera a ver si algún otro miembro del foro experto en oscilaciones puede ayudar o dar alguna idea

Suerte

[Albandres]

Re: Bolita insertada en aro rotatorio

Me refiero al hecho de que una solución correcta a una ecuación que he podido resolver mediante una aproximación, viole esa aproximación.

El coseno hiperbólico tiende a infinito cuando el tiempo tiende a infinito, por lo que el angulo también lo hará y la bola dará vueltas completas. Ahora bien, como es posible eso si para hallar esa solución realice la aproximación de oscilaciones pequeñas?

[oscarmuinhos]

Re: Bolita insertada en aro rotatorio

Yo diría que por haber obtenido esa solución que parece contradecir a la condición primera de ángulos pequeños nada invalida todo lo anterior. Lo que se está haciendo es resolviendo una ecuación diferencial y de esa resolución obtuviste unas soluciones totalmente compatibles con la suposición primera aunque esta tercera no lo sea...

De todas formas ya te advertía antes que para nada soy yo experimentado en problemas de oscilaciones...

Tal vez lo que puedes hacer para buscar que otros miembros del foro se animen a opinar es abrir un nuevo hilo con esta pregunta específica sobre el significado físico de esta última solución...

Saludos

[Jose D. Escobedo]

Re: Bolita insertada en aro rotatorio

Me refiero al hecho de que una solución correcta a una ecuación que he podido resolver mediante una aproximación, viole esa aproximación.

El coseno hiperbólico tiende a infinito cuando el tiempo tiende a infinito, por lo que el angulo también lo hará y la bola dará vueltas completas. Ahora bien, como es posible eso si para hallar esa solución realice la aproximación de oscilaciones pequeñas?

Hola Albandres,

Tu ecuación diferencial es: $\dst \ddot \theta = \omega^2 \sin \theta \cos \theta-\frac{g}{ a} \sin \theta$

y cuando $\ddot \theta=0$, se tiene $\sin \theta =0\Rightarrow\theta=0$ ó $\theta =\pi$, por otro lado tambien tienes que analizar $\dst \cos \theta = \frac{g}{\omega^2 a }$, que es otro punto al que tienes que verificar las condiciones de su estabilidad, bajo estas condiciones tienes que probar que cuando $\dst \omega> \sqrt{\frac{g}{ a}}$ el punto estable es $\dst \cos \theta =\frac{g}{\omega^2 a }$ y cuando $\dst \omega < \sqrt{\frac{g}{a }}$ el punto estable es $\theta = 0$ talvez?

Pregunta, ¿Cómo te enseñaron a analizar los puntos estables en clase?

Este problema viene en el libro de "leyes fundamentales de la mecánica" de Irodov de editorial URSS

Saludos

[oscarmuinhos]

Re: Bolita insertada en aro rotatorio

Añado también aquí este mensaje que esta en otro hilo....porque me parece que, habiéndose originado con motivo de este hilo, es oportuno que también figure aquí (para cualquier visitante y miembros del foro que quieran opinar)

Pero bueno...mi opinión es que tu has estudiado una situación física, has obtenido una ecuación matemática (diferencial en este caso) para describir esa situación física...has resuelto la ecuación matemática...has obtenido tres soluciones de esa ecuación matemática diferencial, pero no todas ellas tienen por que ser compatibles con la situación física que se estudia....Yo diría que lo mismo que cuando, por ejemplo, en problemas de movimiento parabólico, obtienes un tiempo negativo que resulta incompatible con la situación física... Lo grave sería que ninguna de las soluciones fuese compatible con la situación física estudiada...

Y, vamos a continuación, a ver que puede obtenerse de esas soluciones:

Voy a poner una imagen para explicarlo mejor


NOTA: me falto poner la masa m en la fuerza centrípeta y en el peso, pero se entiende..

La condición con la que obtienes la primera solución (la armónica) equivale a la siguiente donde es la aceleración centrípeta y g la aceleración de la gravedad. Es la situación que ves en la primera imagen (la fuerza centrípeta como resultante de la fuerza normal y del peso), y efectivamente no se contradice con la condición inicial de valores de pequeños.

La condición con la que obtienes la segunda solución equivale a: . Es la situación que ves en la segunda imagen. Ese ángulo tiene que valer, con tal condición, 45º. No es así?. Esto contradice ya por si sola la condición inicial de la que obtuviste la ecuación diferencial que has resuelto: no se trata de un ángulo pequeño, por lo tanto.....

La condición con la que obtienes la tercera solución...ya no necesita explicación: no puede ni darse físicamente...Creo que una fuerza normal al aro y la fuerza de la gravedad no pueden dar una fuerza centrípeta como la que necesita la bolita para seguir al aro...más allá de los 90º (añadido después de la advertencia de ZYpp, en el post siguiente)


Mi conclusión es, pues, la que dije al principio: estás resolviendo una ecuación diferencial obtenida para una situación física, pero no todas las soluciones que obtengas tienen por que ser compatibles con la situación física....Es suficiente con que una de las soluciones obtenida sea compatible

[ZYpp]

Re: Bolita insertada en aro rotatorio

La condición con la que obtienes la tercera solución...ya no necesita explicación: no puede ni darse físicamente...Creo que una fuerza normal al aro y la fuerza de la gravedad no pueden dar una fuerza centrípeta como la que necesita la bolita para seguir al aro...


Mi conclusión es, pues, la que dije al principio: estás resolviendo una ecuación diferencial obtenida para una situación física, pero no todas las soluciones que obtengas tienen por que ser compatibles con la situación física....Es suficiente con que una de las soluciones obtenida sea compatible

Insisto en que esta condición sí puede darse perfectamente. El problema es que casos como este, la aproximación que se hace al suponer pequeños ángulos no es válida.