1r ciclo Problema con la interpretacion de una solucion

[Albandres]

Buenas! Hace unos días creé un tema sobre un problema que la verdad, me trae de cabeza. Se trata de un sistema que podéis ver en el primer comentario del tema "Bolita insertada en aro rotatorio" pero resumiendo es un aro rigido vertical que gira con respecto al eje z con velocidad angular constante y tiene una bolita insertada que puede deslizarse por el perímetro del aro (que no tiene masa).

El caso es que solucionado el problema que tenía en ese momento me surgen unas dudas. Tras obtener la ecuación diferencial y realizar la aproximación de oscilaciones pequeñas obtengo tres soluciones en función de la velocidad angular del aro (ahora pongo lo que hice).
Documento1.pdf
Una de ellas es la solución armónica que no plantea ningún problema.
La otra es una solución para la que la aceleración es cero y por tanto la bolita (sin velocidad inicial en dirección tangencial al aro) se queda estática en el ángulo inicial de desviación.
La última es un coseno hiperbólico.



Ahora, mis dos problemas son:

1) Para la segunda solución he obtenido los puntos de equilibrio del sistema y me aparecen dos: uno en el punto más bajo, y otro en el más alto, es decir los de un péndulo simple. En principio hasta aquí bien pero, dado que no hay aceleración y la bola se quedaría estática en el ángulo inicial (o moviéndose con velocidad angular constante en el caso de que existiese en el momento inicial) ¿por qué no obtengo un punto de equilibrio en el ángulo inicial?

2) La última solución me parece algo contradictoria pues, si la he hallado después de realizar la citada aproximación, ¿por qué después obtengo una solución que la viola? es decir, el coseno hiperbólico tiende a infinito con el tiempo y el ángulo también por lo que se pondrá a dar vueltas, pero eso no es una oscilación pequeña!! ¿significa esa solución que cuándo la bola pase por la zona cercana a theta=0 su movimiento se podrá describir con el coseno hiperbólico?

Muchas gracias de verdad.

[felmon38]

Re: Problema con la interpretacion de una solucion

Albandres , enhorabuena por haber llegado a la solución.Únicamente te quiero hacer dos aclaraciones elementales:

1º En la expresión del Cosh te has comido la constante C₂ que no es igual a 1.

2º Las tres soluciones que has encontrado son válidas para pequeños ángulos luego solo puedes utilizarlas en estos casos, no puedes deducir nada en caso contrario, porque esas soluciones no son válidas.

Saludos

[Albandres]

Re: Problema con la interpretacion de una solucion

Entonces, estaría bien decir que esas soluciones son válidas haga lo que haga la bolita pero sólo describen el comportamiento cuando está cerca del cero?

Y alguna idea a lo del equilibrio para la segunda solución?

Muchas gracias, de verdad

[felmon38]

Re: Problema con la interpretacion de una solucion

Hola,

Entonces, estaría bien decir que esas soluciones son válidas haga lo que haga la bolita pero sólo describen el comportamiento cuando está cerca del cero?

Yo creo que sí.

Respecto del equilibrio, yo los únicos puntos que creo que pueden ser, son los puntos y superior del aro, como decías tú, ya que ahí la aceleración es nula. Si son estables o no, habría que analizar, de la ecuación diferencial, el valor de $\ddot{\theta}$ cuando se ha desplazado ligeramente, de la posición de equilibrio considerada,la masa con $\dot{\theta}$ nula. Con esta condición tanto $\ddot{\theta} ,\theta$ tienen el mismo signo, por lo que puedes deducir si vuelve o se separa de la posición de equilibrio.

A propósito, viendo la ecuación diferencial que te sale, me extraña que no aparezca $\dot{\theta}$, pero si está comprobada la E.D. no digo nada.

Saludos

[oscarmuinhos]

Re: Problema con la interpretacion de una solucion

Hola
He dudado en dar mi opinión acerca de lo que planteas sobre tus soluciones,..porque no tengo experiencia alguna en problemas de oscilaciones...

Pero bueno...mi opinión es que tu has estudiado una situación física, has obtenido una ecuación matemática (diferencial en este caso) para describir esa situación física...has resuelto la ecuación matemática...has obtenido tres soluciones de esa ecuación matemática diferencial, pero no todas ellas tienen por que ser compatibles con la situación física que se estudia....Yo diría que lo mismo que cuando, por ejemplo, en problemas de movimiento parabólico, obtienes un tiempo negativo que resulta incompatible con la situación física... Lo grave sería que ninguna de las soluciones fuese compatible con la situación física estudiada...

Y, vamos a continuación, a ver que puede obtenerse de esas soluciones:

Voy a poner una imagen para explicarlo mejor


NOTA: me falto poner la masa m en la fuerza centrípeta y en el peso, pero se entiende..

La condición $\displaystyle \omega < \sqrt{\frac{g}{R}}$ con la que obtienes la primera solución (la armónica) equivale a la siguiente $\displaystyle \omega^2.R < g$ donde $\displaystyle \omega^2.R$ es la aceleración centrípeta y g la aceleración de la gravedad. Es la situación que ves en la primera imagen (la fuerza centrípeta como resultante de la fuerza normal y del peso), y efectivamente no se contradice con la condición inicial de valores de $\theta$ pequeños.

La condición $\displaystyle \omega = \sqrt{\frac{g}{R}}$ con la que obtienes la segunda solución equivale a: $\displaystyle \omega^2.R = g$. Es la situación que ves en la segunda imagen. Ese ángulo $\theta$ tiene que valer, con tal condición, 45º. No es así?. Esto contradice ya por si sola la condición inicial de la que obtuviste la ecuación diferencial que has resuelto: no se trata de un ángulo pequeño, por lo tanto.....

La condición $\displaystyle \omega > \sqrt{\frac{g}{R}}$ con la que obtienes la tercera solución...ya no necesita explicación: no puede ni darse físicamente...Creo que una fuerza normal al aro y la fuerza de la gravedad no pueden dar una fuerza centrípeta como la que necesita la bolita para seguir al aro...más allá de los 90º (añadido después de la advertencia de ZYpp en un post de otro hilo)


Mi conclusión es, pues, la que dije al principio: estás resolviendo una ecuación diferencial obtenida para una situación física, pero no todas las soluciones que obtengas tienen por que ser compatibles con la situación física....Es suficiente con que una de las soluciones obtenida sea compatible.

[ZYpp]

Re: Problema con la interpretacion de una solucion

He mirado muy por encima el problema, pero fundamentalmente el tercer caso que analizas es el caso en el que la, digamos, el efecto de la fuerza de inercia es mayor que el del peso. Es lógico que la bola se separe. En caso de separarse, lógicamente la aproximación de pequeñas oscilaciones dejará de ser válida y por tanto la ecuación que rija ese fenómeno no es la que has resuelto y, en la real, la solución no hará que la bola tienda a infinito. Se alcanzará un punto de equilibrio.

Ojo, no he comprobado que los resultados estén bien. De hecho hay alguna cosa que no me gusta demasiado.

[felmon38]

Re: Problema con la interpretacion de una solucion

Zypp, en el enunciado no se dice nada de oscilaciones, sino : "Resuelva la ecuación para valores pequeños de Θ ", independientemente de que la solución obtenida no sea válida para valores mayores. De hecho, la solución en este caso creo que no es de una oscilación.
Saludos.

[ZYpp]

Re: Problema con la interpretacion de una solucion

Zypp, en el enunciado no se dice nada de oscilaciones, sino : "Resuelva la ecuación para valores pequeños de Θ ", independientemente de que la solución obtenida no sea válida para valores mayores. De hecho, la solución en este caso creo que no es de una oscilación.
Saludos.

Eso es, quería decir "pequeños ángulos". Me confundió que en la resolución del problema pusiese "pequeñas oscilaciones". Mea culpa por no fijarme.
De todas formas me gustaría añadir un par de cosas:
i) Como ya dije antes, si todo está bien hecho el primer caso es equivalente a una fuerza gravitatoria "efectiva" desviada ligeramente por la, digamos, aceleración centrífuga de forma que el movimiento sea el de un oscilador armónico. El segundo caso es el momento en el que la desviación hace que el peso sea paralelo al radio del círculo y por tanto siempre está en equilibrio sea cual fuere la posición. El tercer caso es aquel en el que la desviación es tal que la fuerza perpendicular al radio tiende a alejar la bola.

ii) En cuanto a la estabilidad, que no comenté antes, yo analizaría los puntos críticos del potencial efectivo del sistema.

[Albandres]

Re: Problema con la interpretacion de una solucion

Edito: había dicho una tontería

[oscarmuinhos]

Re: Problema con la interpretacion de una solucion

Yo lo he considerado como dices tú (mira la dos figuras de mi anterior mensaje en este hilo):

$\omega$ la velocidad constante con que gira el aro alrededor del eje z y
$\theta$ (tal como lo pones tú) el ángulo que forma el vector de posición de la bolita con el sentido negativo del eje z.

Nota: si puedes, pon la ecuación del Lagrangiano y de la ecuación del movimiento que obtuviste.

Pero, ¿tu no estarás confundiendo ángulos pequeños con pequeñas oscilaciones alrededor de un ángulo inicial? Tu razonamiento en la segunda solución, como te advierte ZYpp, parece que pueda tener algo de eso, pues no se trata de variaciones (u oscilaciones) pequeñas alrededor de un ángulo inicial $\theta_0$ sino de ángulos $\theta$ pequeños, es decir de desviaciones pequeñas de $\theta$ respecto ál sentido negativo del eje z. Para otras situaciones no vale, entiendo yo, esa ecuación diferencial que has resuelto, porque se incumple la primera condición de corresponder a ángulos pequeños.

Saludos

[Albandres]

Re: Problema con la interpretacion de una solucion

Entonces, si omega es un valor que tu eliges (se la das al aro) al igual que R y que m, por qué no puede darse físicamente el tercer caso?
Y en tus figuras, no acabo de ver cómo planteas la relación entre la aceleración centrípeta y el peso, te importaría explicitar los sumatorios de fuerzas?

Aquí lo que me pides:
Documento1.pdf

[felmon38]

Re: Problema con la interpretacion de una solucion

Albandres, te falta un dos en la derivada de L respecto de $\theta$ y veo que la ecuación no depende de $\dot{\theta}$ como a mi me parecía.

[ZYpp]

Re: Problema con la interpretacion de una solucion

Albandres, te falta un dos en la derivada de L respecto de $\theta$ y veo que la ecuación no depende de $\dot{\theta}$ como a mi me parecía.

No, no falta.

[felmon38]

Re: Problema con la interpretacion de una solucion

¡Ah es verdad! No me habia fijado en el 1/2. Lo siento por aumentar la confusión a Albandres.

[Albandres]

Re: Problema con la interpretacion de una solucion

Jeje tranquilo, mi problema es a la hora de interpretar los resultados. Respecto al procedimiento para hallar la ED estoy bastante seguro (menos con el método de Newton que podéis ver en el otro hilo, que no tengo claro que la segunda derivada del vector R sea 0...)