Problema con la interpretacion de una solucion

[oscarmuinhos]

Re: Problema con la interpretacion de una solucion

En el post #5 de este hilo había escrito:

[QUOTE]La condición con la que obtienes la tercera solución...ya no necesita explicación: no puede ni darse físicamente...Creo que una fuerza normal al aro y la fuerza de la gravedad no pueden dar una fuerza centrípeta como la que necesita la bolita para seguir al aro.../QUOTE]

Después de la advertencia de ZYpp en un post de otro hilo, he añadido "más allá de los 90º", porque efectivamente esa es la situación real con las ligaduras que nos da el enunciado.

A continuación la explicación:
Al hacer girar el aro, desde una velocidad inicial cero a velocidades cada vez más grandes, la masa m empezará a ascender por la circunferencia del aro, pero sin que siquiera pueda llegar a los 90º, porque la situación sería la que muestro en la imagen siguiente:


Con las ligaduras que dice el enunciado la reacción del aro ( N ) tiene que tener la dirección del radio; el peso solo puede ser vertical y.... yo no veo la forma de que estas dos fuerzas, reacción normal y peso, puedan dar una resultante en la dirección de la fuerza centrípeta () que necesitaría la masa m para seguir al aro.

Esa suposición, pues, de no puede darse más allá de los 90º (y a los 90º necesitaría una velocidad angular del aro de valor infinito)...

Dicho de otra manera, la bola no puede físicamente ascender por el aro, con las ligaduras del enunciado, más allá de la mitad del aro....

Saludos

[felmon38]

Re: Problema con la interpretacion de una solucion

Oscar, no entiendo bien lo que quieres demostrar, porque lo que haga la bola dependerá de las condiciones iniciales y por ejemplo si parte del punto inferior del aro con suficiente velocidad relativa, la bola podrá llegar al cuadrante superior. Perdona si esto no tiene que ver nada con lo que dices.

[oscarmuinhos]

Re: Problema con la interpretacion de una solucion

Oscar, no entiendo bien lo que quieres demostrar, porque lo que haga la bola dependerá de las condiciones iniciales y por ejemplo si parte del punto inferior del aro ¿con suficiente velocidad relativa? (cursiva e interrogantes míos), la bola podrá llegar al cuadrante superior. Perdona si esto no tiene que ver nada con lo que dices.

Hola Felmon38

Estábamos a discutir sobre las soluciones de Albandres y yo estoy razonando sobre las soluciones de Albandres y con las condiciones de esas soluciones. Pongo a continuación copia de su trabajo:


Fijate que, para obtener, dicha solución pone dos condiciones:
$\theta(0) =\theta_0$ (Albandres tendria que añadir que este ángulo inicial tiene que ser pequeño)
$\dot \theta(0) = 0$

Desde esta solución de Albandres es desde la que estoy razonando yo. Albandres supone expresamente que la velocidad $\dot \theta$ en el instante inicial es nula, que no es el caso que expones tú en este mensaje de que la bola pueda tener una velocidad inicial $\dot \theta \neq 0$ suficientemente grande.

Y lo que estaba tratando de explicar yo es que esa bolita, unicamente sometida a la acción de su peso y de la reacción del aro (que, al no haber rozamientos, tendrá de ser perpendicular al mismo) no es posible que la bola ascienda por el aro más allá de los 90º y, además, solo llegará a los 90º con una velocidad angular $\omega = \infty$.

(de todas formas, -reflexionando físicamente sobre lo que dices tú-, aun con esa velocidad suficientemente grande que supones, la bolita entiendo yo que acabaría en una posición que no podría pasar de los 90º...)

Un saludo

[felmon38]

Re: Problema con la interpretacion de una solucion

Gracias Oscar, te has explicado muy bien, ahora lo he entendido. Cuando dices: " ... tiene que tener la dirección del radio; el peso solo puede ser vertical y.... yo no veo la forma de que estas dos fuerzas, reacción normal y peso, puedan dar una resultante en la dirección de la fuerza centrípeta () que necesitaría la masa m para seguir al aro. " , creo que tienes que añadir el término correspondiente a la aceleración relativa y si la bola está en el primer cuadrante, con la condición impuesta, la aceleración relativa es positiva en el primer cuadrante y pasa a ser negativa en el segundo. por lo tanto, con las condiciones iniciales impuestas, la bola pasará al segundo cuadrante. Esto se ve directamente analizando la ecuación diferencial real, en donde $\ddot{\theta}$ en el primer cuadrante es positiva y pasa a ser negativa en el 2º.

Saludos

[Jose D. Escobedo]

Re: Problema con la interpretacion de una solucion

[QUOTE=oscarmuinhos;132016]En el post #5 de este hilo había escrito:

La condición

con la que obtienes la tercera solución...ya no necesita explicación: no puede ni darse físicamente...Creo que una fuerza normal al aro y la fuerza de la gravedad no pueden dar una fuerza centrípeta como la que necesita la bolita para seguir al aro.../QUOTE]

Después de la advertencia de ZYpp en un post de otro hilo, he añadido "más allá de los 90º", porque efectivamente esa es la situación real con las ligaduras que nos da el enunciado.

A continuación la explicación:
Al hacer girar el aro, desde una velocidad inicial cero a velocidades cada vez más grandes, la masa m empezará a ascender por la circunferencia del aro, pero sin que siquiera pueda llegar a los 90º, porque la situación sería la que muestro en la imagen siguiente:


Con las ligaduras que dice el enunciado la reacción del aro ( N ) tiene que tener la dirección del radio; el peso solo puede ser vertical y.... yo no veo la forma de que estas dos fuerzas, reacción normal y peso, puedan dar una resultante en la dirección de la fuerza centrípeta () que necesitaría la masa m para seguir al aro.

Esa suposición, pues, de no puede darse más allá de los 90º (y a los 90º necesitaría una velocidad angular del aro de valor infinito)...

Dicho de otra manera, la bola no puede físicamente ascender por el aro, con las ligaduras del enunciado, más allá de la mitad del aro....

Saludos

Hola Oscar, no se si te pueda hacer cambiar de opinion, pero la fuerza centripeta es solamente la componente de la normal para este problema. Ademas, es un sistema no-inercial, en tu didujo ayudaria mas si incluyes la fuerza "centrifuga."

En cuanto a lo supones mas alla de los 90, cuando $\omega >\dst \sqrt{\frac{g}{R }}$ el sistema no es estable cuando $\theta=0$, la estabildad esta en el punto $\cos \theta =\dst \frac{g}{\omega^2 R }$, y como $\omega$ y $R$ son positivos, entonces, cuando $\omega$ se hace muy grande $\cos\theta \approx 0\Rightarrow \theta \approx 90$

Nota: este es buen ejemplo en donde la inclucion de fuerzas no inerciales facilita las mates para la segunda ley de Newton.

Saludos

[oscarmuinhos]

Re: Problema con la interpretacion de una solucion

Hola Escobedo:

Hola Oscar, no se si te pueda hacer cambiar de opinion, pero la fuerza centripeta es solamente la componente de la normal para este problema. Ademas, es un sistema no-inercial, en tu didujo ayudaria mas si incluyes la fuerza "centrifuga."

No sé si tengo que cambiar de opinión...pero yo razono para este caso y sobre la siguiente figura.



Esta bola, una vez que alcance la posición de equilibrio, describirá una trayectoria circular con velocidad angular y velocidad lineal constantes (porque el aro, de acuerdo con el enunciado, gira con velocidad angular constante). La única aceleración que hay es, pues, la aceleración centrípeta...por lo tanto la resultante de todas las fuerzas tiene que ser igual a la masa por la aceleración centrípeta, por lo tanto la resultante de todas las fuerzas habrá de ser igual a la fuerza centrípeta.

No sé si tengo que cambiar de opinión...pero yo siempre he considerado que la fuerza centrípeta es una fuerza real igual a la resultante de las fuerzas (o componentes de las fuerzas) que actúan en la dirección normal a la trayectoria. Pero, en este caso, no hay más aceleración que la normal o centrípeta y entonces la resultante de todas las fuerzas tendrá que ser igual a la fuerza centrípeta.

En cuanto a lo supones mas alla de los 90, cuando $\omega >\dst \sqrt{\frac{g}{R }}$ el sistema no es estable cuando $\theta=0$, la estabildad esta en el punto $\cos \theta =\dst \frac{g}{\omega^2 R }$, y como $\omega$ y $R$ son positivos, entonces, cuando $\omega$ se hace muy grande $\cos\theta \approx 0\Rightarrow \theta \approx 90$

En cuanto a esto que dices...creo que me has entendido mal. Lo que traté de explicar es que esa bola partiendo de una velocidad inicial $\dot \theta(0) = 0$ no podrá ascender más allá de los 90º y que, además, estos 90º solo podrían alcanzarse con velocidad angular $\omega =\infty$. Nada hablé yo de que la posición de equilibrio tuviera que ser $\theta = 0$. Y añadí además que, aún en el caso de que pudiéramos haberle comunicado una velocidad inicial $\dot \theta(0) \neq 0$, la bola nunca podría acabar en una posición de equilibrio con ángulos $\theta$ mayores de 90º.

Si de calcular la posición de equilibrio se trata, lo que tú razonas con la fuerza centrífuga ficticia yo lo razono de la misma manera con la fuerza centrípeta: si el movimiento circular ha de mantenerse estable necesitaremos que la fuerza resultante permanezca igual al producto de la masa por la aceleración centrípeta. Por lo tanto:

$N.sen\theta = m.\omega^2.r = m. \omega^2.Rsen \theta$ y

$N.cos \theta = mg$

Y eliminando N entre estas dos ecuaciones tendremos la expresión que tu pones:

$\displaystyle cos\theta = \frac{g}{\omega^2.R}$

que, como bien explicas tú, confirma lo que decía yo en mi post:
- que la bola no puede ascender por el aro, más allá de los 90º
- que sólo alcanzaría los 90º con velocidades angulares $\omega$ del aro de valor infinito..

Nota: este es buen ejemplo en donde la inclucion de fuerzas no inerciales facilita las mates para la segunda ley de Newton.

Tal vez sea cuestión de costumbre...pero a mí me parece igual de fácil porque las ecuaciones son las mismas.

Saludos

[Jose D. Escobedo]

Re: Problema con la interpretacion de una solucion

Hola Escobedo:



No sé si tengo que cambiar de opinión...pero yo razono para este caso y sobre la siguiente figura.

[ATTACH=CONFIG]8037[/ATTACH]

Esta bola, una vez que alcance la posición de equilibrio, describirá una trayectoria circular con velocidad angular y velocidad lineal constantes (porque el aro, de acuerdo con el enunciado, gira con velocidad angular constante). La única aceleración que hay es, pues, la aceleración centrípeta...por lo tanto la resultante de todas las fuerzas tiene que ser igual a la masa por la aceleración centrípeta, por lo tanto la resultante de todas las fuerzas habrá de ser igual a la fuerza centrípeta.

No sé si tengo que cambiar de opinión...pero yo siempre he considerado que la fuerza centrípeta es una fuerza real igual a la resultante de las fuerzas (o componentes de las fuerzas) que actúan en la dirección normal a la trayectoria. Pero, en este caso, no hay más aceleración que la normal o centrípeta y entonces la resultante de todas las fuerzas tendrá que ser igual a la fuerza centrípeta.




En cuanto a esto que dices...creo que me has entendido mal. Lo que traté de explicar es que esa bola partiendo de una velocidad inicial $\dot \theta(0) = 0$ no podrá ascender más allá de los 90º y que, además, estos 90º solo podrían alcanzarse con velocidad angular $\omega =\infty$. Nada hablé yo de que la posición de equilibrio tuviera que ser $\theta = 0$. Y añadí además que, aún en el caso de que pudiéramos haberle comunicado una velocidad inicial $\dot \theta(0) \neq 0$, la bola nunca podría acabar en una posición de equilibrio con ángulos $\theta$ mayores de 90º.

Si de calcular la posición de equilibrio se trata, lo que tú razonas con la fuerza centrífuga ficticia yo lo razono de la misma manera con la fuerza centrípeta: si el movimiento circular ha de mantenerse estable necesitaremos que la fuerza resultante permanezca igual al producto de la masa por la aceleración centrípeta. Por lo tanto:

$N.sen\theta = m.\omega^2.r = m. \omega^2.Rsen \theta$ y

$N.cos \theta = mg$

Y eliminando N entre estas dos ecuaciones tendremos la expresión que tu pones:

$\displaystyle cos\theta = \frac{g}{\omega^2.R}$

que, como bien explicas tú, confirma lo que decía yo en mi post:
- que la bola no puede ascender por el aro, más allá de los 90º
- que sólo alcanzaría los 90º con velocidades angulares $\omega$ del aro de valor infinito..



Tal vez sea cuestión de costumbre...pero a mí me parece igual de fácil porque las ecuaciones son las mismas.

Saludos

Hola Oscar, nada mas parafraseé la parte de "mas alla de 90",... de lo demas no dije que tu hayas dicho algo mas. Es mas creo que me falto un QUE en : En cuanto a lo "que" supones "mas alla de los 90".... Lo que escribí despues de la coma es lo que esta pasando con la estabilidad de la bolita alrededor del aro.

En realidad tiene muchos años que he dejado de usar los terminos fuerza y aceleración centrípeta y/o centrífuga lo aprendí desde que era un estudiante de secundaria del libro de: Fisica problemas y preguntas de L. Tarasov, A. Tarasova (que se puede encontrar en editorial URSS de esta web) simplemente esas fuerzas son la segunda ley de Newton aplicadas a una trayectoria circular. Las fuerzas centrípetas son simplemente proyecciones (componentes) ó resultantes de fuerzas, fuerzas centrífugas son mas dudosas. Me costó trabajo deshacerme de esos conceptos, pero lo logré.

En cuanto a mi recomendación de usar en tu diagrama la fuerzas centrífuga, es porque de esa manera se resuelve mas rapidamente con la introducción de es fuerza inercial. En el libro de las leyes fundamentales de la mecánica de Idorov, este mismo problema se resuelve muy fácilmente, con ayuda de la fuerza centrífuga y puede ser bien entendido, sin usar muchas fórmulas. Desde mi punto de vista prefiero usar Lagrangianos y la segunda ley de Newton para sistemas o inerciales, pero a veces la simplicidad es mejor.

La ecuación diferencial es: $\ddot \theta=\dst \omega^2 \sin\theta\cos\theta-\frac{g}{ R}\sin\theta$

De aquí se trata de formar una matriz asociada con este sistema de ecuaciones $\dot \theta=\Omega$ y tambien $\dot \Omega=\dst \omega^2 \sin\theta\cos\theta- \frac{g}{ R}\sin\theta$, para calcular los exponentes de Lyapunov y analizar si esos puntos son estables on no. Esto anterior es solamemte una forma de analizar la estabilidad, el libro de Irodov usó desplazamientos virtuales. Por eso le preguntaba a Albandres, no recuerdo si en este hilo o en el otro, que cual método le enseñaron para calcular la estabilidad.

Saludos

[ZYpp]

Re: Problema con la interpretacion de una solucion

La ecuación diferencial es: $\ddot \theta=\dst \omega^2 \sin\theta\cos\theta-\frac{g}{ R}\sin\theta$

De aquí se trata de formar una matriz asociada con este sistema de ecuaciones $\dot \theta=\Omega$ y tambien $\dot \Omega=\dst \omega^2 \sin\theta\cos\theta- \frac{g}{ R}\sin\theta$, para calcular los exponentes de Lyapunov y analizar si esos puntos son estables on no. Esto anterior es solamemte una forma de analizar la estabilidad, el libro de Irodov usó desplazamientos virtuales. Por eso le preguntaba a Albandres, no recuerdo si en este hilo o en el otro, que cual método le enseñaron para calcular la estabilidad.

Saludos

Creo que meterse en el concepto de estabilidad según Lyapunov es complicar demasiado el asunto, viendo el nivel del problema. Creo que lo más recomendable es, si tal, usar simplemente el concepto de estabilidad según Lejeune Dirichlet, es decir: ver en qué puntos el potencial efectivo, y por extensión la energía mecánica si analizamos estabilidad dinámica, del sistema alcanza valores estacionarios. En caso de que sean mínimos, serán equilibrios estables y si son máximos serán inestables.
Además, esto no requiere analizar la ecuación diferencial, que siempre es más complicado.

[Albandres]

Re: Problema con la interpretacion de una solucion

Muchas gracias a todos por el interes. He conseguido que mi profesor de mecanica clasica me lo hiciera ver todo. Cuando tenga todo redactado lo subire.