1r ciclo Momento de inercia

[Turing]

Hola,

el momento de inercia se define como

$\dst I=\int _V x^2 dm$

¿Ese $\dst x^2$ a qué viene referido exactamente? Me ha saltado la duda al considerar una barra de densidad no constante (crece de un extremo al otro). Suponiendo que tiene una longitud de L y su densidad crece desde 0 hasta el máximo en un extremo, ¿su momento de inercia será $\dst I=\int _V (x- \frac{L}{2})^2 dm$? ¿Por qué?

Gracias.

[felmon38]

Re: Momento de inercia

x es distancia y no depede de la masa. Es dm=$\mu$.dx y es $\mu$ la que depende de la masa por unidad de longitud.

[Turing]

Re: Momento de inercia

¿Distancia a qué?

[felmon38]

Re: Momento de inercia

Ah! Mira el libro. El momento de inercia de un sólido puede definirse respecto de un punto, respecto de una recta o respecto de un plano, en los tres casos x es la distancia del punto del sólido al punto, a la recta o al plano.

[Turing]

Re: Momento de inercia

Vale. Siguiendo el ejemplo que había puesto al principio del hilo. Si tengo una barra de densidad creciente (de 0 al máximo), ¿el momento de inercia es $\dst I=\int _V (x- \frac{L}{2})^2 dm$? Y si es así, ¿por qué?

[felmon38]

Re: Momento de inercia

No, tienes que poner dm en función de $\mu$

[mariolp]

Re: Momento de inercia

Voy a ver si puedo sacar algo en claro,

El momento de inercia respecto a un eje es uno de los componentes del tensor de inercia. Una vez definidos los ejes (en tu caso diría que la barra está situada a lo largo del eje X) y el origen (Según la forma que tiene el momento que has puesto diría que has colocado el origen en el centro de la barra) si calculas, por ejemplo, el momento de inercia de dicha barra respecto al eje Y o Z , es decir, respecto a un eje "de giro" perpendicular a dicha barra tendrías que

$$I=\int{x}^{2}dm = \int\rho\left( \vec{r} \right){x}^{2 }{d}^{3 }r$$

Como en tu caso creo que estás suponiendo una barra unidimensional (si no es así el razonamiento es sencillo usando densidad superficial o volumétrica en vez de lineal) tienes que

$$I=\int\lambda\left( x \right){x}^{2 }dx$$

Siendo $\lambda\left( x\right)$ la función que te relaciona la densidad lineal con la coordenada $x$ y $x$ es la distancia del diferencial $dx$ al eje que hayas elegido (en este caso el eje Y o Z)

Espero haberte ayudado.

Un saludo

[Turing]

Re: Momento de inercia

No, tienes que poner dm en función de $\mu$

$\dst I=\int _V (x- \frac{L}{2})^2 \lambda x dx$. Lo he puesto en función de la densidad. ¿Si no resto el L/2 no llego al resultado correcto, por qué?

- - - Actualizado - - -

Siendo $\lambda\left( x\right)$ la función que te relaciona la densidad lineal con la coordenada $x$ y $x$ es la distancia del diferencial $dx$ al eje que hayas elegido (en este caso el eje Y o Z)

Mi problema no yace en el concepto de la densidad. No entiendo porqué he de variar la distancia "x" para que me de el resultado correcto.

- - - Actualizado - - -

El problema dice así: Barra de longitud L y masa M con una densidad creciente (obteniendo el máximo en uno de los extremos). La clavamos a la pared por su punto central en la pared, de tal manera que puede girar libremente. Inicialmente, la aguantamos en posición horizontal y después, la soltamos. Que velocidad máxima conseguirá debajo de la acción del campo gravitacional terrestre?

¿Cómo calculáis vosotros el momento de inercia de esta barra?

[felmon38]

Re: Momento de inercia

No se puede hablar de momento de inercia si no especificas respecto de qué punto. En este caso te interesa, para aplicar las ecuaciones de la dinámica, respecto del centro por lo que tienes que integrar desde 0 a +L/2 y multiplicar por 2 el resultado, sabiendo que la densidad lineal es M.(x+L/2)/2L

[Turing]

Re: Momento de inercia

tienes que integrar desde 0 a +L/2 y multiplicar por 2 el resultado

Esto es lo que no entiendo, creo. ¿Por qué no integro hasta L?

[mariolp]

Re: Momento de inercia

Porque, como ha dicho felmon38, estás considerando el momento de inercia referido a un eje que pasa por el centro de la varilla o barra. Por lo tanto la distancia x que te aparece en el integrando es la distancia desde el centro al extremo. Por lo tanto los límites irán desde el centro (x=0) hasta el extremo (x=L/2).

Un saludo

[Turing]

Re: Momento de inercia

estás considerando el momento de inercia referido a un eje que pasa por el centro de la varilla o barra.

Cambiaré la pregunta. ¿Por qué elijo ese eje? ¿En qué me facilita? Si la densidad no es uniforme, el CM no se encuentra en L/2, sino desplazado, ¿por qué no elijo ese eje, sino que elijo L/2?

[felmon38]

Re: Momento de inercia

He cambiado la expresión de la densidad, M.(x+L/2)/2L , para adecuarla al nuevo origen de coordenadas que he sugerido que sea el centro de la varilla ya que sabemos que el momento de las fuerzas respecto del eje de giro es I_O.$\alpha$, y únicamente produce momento respecto del eje de giro, el peso, ya que el momento de la reacción del eje es nulo, Si eligiéramos el centro de gravedad , en donde se aplica la ecuación anterior con I_G , habría que tener en cuenta el momento de la reacción del eje respecto de G, que no la conocemos, y habría que calcularla por la ecuación de la resultante de las fuerzas. Para cualquier otro punto que eligiéramos no se puede aplicar la ecuación anterior.