Primaria Notación de la aceleración instantánea

[Marcos Castillo]

Hola. No entiendo bien la notación de la aceleración instantánea. Voy a citar el libro de texto:

"La aceleración es, por tanto, la derivada de la velocidad [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] respecto al tiempo, [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] . Como la velocidad es también la derivada de la posición $x$ respecto a $t$, la aceleración es la segunda derivada de $x$ respecto a $t$, $d^{2}x/dt^{2}$. Podemos ver el origen de esta notación escribiendo la aceleración como [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , y sustituyendo [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] por $dx/dt$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] ."

Lo que no entiendo bien son los exponentes en la última fórmula. En un caso es $d^{2}x$ y en el otro el exponente está al final, $dt^{2}$.

¡Un saludo!.

[angel relativamente]

Re: Notación de la aceleración instantánea

Es únicamente notación y en ningún caso tienes que compararlo con el "elevar al cuadrado" de los números reales. No obstante, la justificación sería un poco la siguiente:
Lo que haces es derivar la x dos veces (aplicas d y luego vuelves a aplicar d, de ahí el $d^2$). Y ambas veces lo haces con respecto a la misma variable t (primero dt y luego otra vez dt, de ahí el $dt^2$). Esta notación no tiene ambigüedad, pues de otra forma podríamos confundir la segunda derivada con la derivada al cuadrado (en este caso la velocidad al cuadrado, que es distinta de la aceleración), o podríamos confundirla con la derivada de la función $x^2$, que es otra cosa totalmente distinta. Con esta notación solo hay que llevar ojo en el denominador, donde realmente sería quizá más adecuado poner $(dt)^2$ para no pensar que estamos derivando sobre la variable $t^2$.

[Marcos Castillo]

Re: Notación de la aceleración instantánea

¡Muchas gracias, angel relativamente!

[Turing]

Re: Notación de la aceleración instantánea

Voy a añadir, por si acaso y así no te sorprenderás, que si tienes una función $\dst f(x)$, puedes encontrar expresada la segunda derivada con $\dst f''(x)$ o la misma con dos puntitos arriba.

Solo como mera información.

[angel relativamente]

Re: Notación de la aceleración instantánea

Voy a añadir, por si acaso y así no te sorprenderás, que si tienes una función $\dst f(x)$, puedes encontrar expresada la segunda derivada con $\dst f''(x)$ o la misma con dos puntitos arriba.

Diría que la notación de dos puntitos arriba es solo aplicable a cuando derivas con respecto al tiempo.

Añado otra cosa quizá de interés para la notación. Si en vez de derivar dos veces con respecto a la misma variable (en este caso el tiempo), derivas primero con respecto una variable y luego con respecto a otra (vamos a decir que primero derivamos $x$ con respecto a $t$ y luego con respecto a $z$), la notación que se usa es la siguiente:

$$\dfrac{\partial }{\partial z}\left( \dfrac{\partial x}{\partial t}\right)=\dfrac{\partial ^2 x}{\partial z \partial t }$$

El símbolo $\partial$ se usa en lugar de la $\dd$ para derivar funciones que dependen de más de 1 variable. Pero no te líes con el símbolo, lo que quiero mostrar es que aparece la derivada al cuadrado en el numerador mientras que en el denominador se deja el "producto" de $\partial z \partial t$. Ya ves que es exactamente la misma notación y la misma justificación que para el caso de 1 variable.

Saludos,

[abuelillo]

Re: Notación de la aceleración instantánea

Una forma de ver porque los exponentes estan puestos asi es recordar que dx/dt no es una division de numeros reales sino un operador d/dt que se aplica sobre la funcion x:

$<br /> x' = x'(t) = D_t(x(t)) = \frac{d}{dt}(x(t)) = \frac{d(x(t))}{dt} = \frac{dx}{dt}<br />$

Y la segunda derivada:

$<br /> x'' = x''(t) = \frac{d}{dt}(\frac{d}{dt}x(t)) = (\frac{d}{dt})(\frac{d}{dt})x(t) = (\frac{d}{dt})^2x(t) = \frac{d^2}{dt^2}x(t) = \frac{d^2x(t)}{dt^2} = \frac{d^2x}{dt^2}<br />$

Diría que la notación de dos puntitos arriba es solo aplicable a cuando derivas con respecto al tiempo.

Que yo sepa los puntitos es otra notacion para la derivada que se puede usar como uno quiera, la unica restriccion seria que no haya ambiguedad, de modo que si esta claro cual es la variable independiente en el contexto del problema o se especifica de otra forma, no veo razon para que no se pueda usar.

[arivasm]

Re: Notación de la aceleración instantánea

Una forma de ver porque los exponentes estan puestos asi es recordar que dx/dt no es una division de numeros reales sino un operador d/dt que se aplica sobre la funcion x:

Permíteme que discrepe: acudiendo a la definición de derivada $\dst \frac{\dd x}{\dd t}=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t}=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t}$. En mi opinión, la notación $\dst\frac{\dd x}{\dd t}$ recuerda que se trata de un cociente entre los dos infinitésimos que aparecen en la definición. Por ejemplo, tenerlo presente es muy útil para enteder el origen de la regla de la cadena: $\dst \frac{\dd f[\theta(t)]}{\dd t}=\frac{\dd f}{\dd\theta}\,\frac{\dd \theta}{\dd t}$

[abuelillo]

Re: Notación de la aceleración instantánea

Permíteme que discrepe: acudiendo a la definición de derivada $\dst \frac{\dd x}{\dd t}=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t}=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t}$. En mi opinión, la notación $\dst\frac{\dd x}{\dd t}$ recuerda que se trata de un cociente entre los dos infinitésimos que aparecen en la definición. Por ejemplo, tenerlo presente es muy útil para enteder el origen de la regla de la cadena: $\dst \frac{\dd f[\theta(t)]}{\dd t}=\frac{\dd f}{\dd\theta}\,\frac{\dd \theta}{\dd t}$

No estoy de acuerdo con lo que planteas, dx/dt en ningun caso es una division entre numeros reales, no es lo mismo un limite de una funcion que a su vez es una division de funciones, que una division simplemente, no puedes eliminar el limite de ahi asi como asi, o sacar la division fuera del limite y quedarte tan pancho, que al limite decidas llamarlo dx/dy no hace que dx/dy por separado tengan sentido y que la barrita signifique una division de dos cosas.

Incluso aun concediendo esto, y que pudiesemos ignorar el limite, en ningun caso seria una division de numeros reales, digamos que x vale 3 que numero real seria dx ??? y en que parte de la recta real se encuentra ?

dx no es un numero real, es otra cosa que depende de como quieras plantearlo, o nos liamos con numeros hiperreales que son un embrollo, o podemos hablar de formas diferenciales pero ya no tenemos numeros sino aplicaciones, dx representaría una aplicacion que asigna a cada numero del dominio R una determinada funcion, la imagen de dx ni siquiera son los numeros reales sino un conjunto de funciones de R en R.
Eso de que tenemos varios diferenciales y los cancelamos alegremente porque uno esta dividiendo y otros multplicando y el resultado de la division da 1 como que no es asi.

La regla de la regla de la cadena yo prefiero verla de otro modo, no veo que se necesiten los diferenciales, basta con usar derivadas, usar diferenciales es util como regla nemotecnica para recordar la regla, pero no sirve para entenderla conceptualmente. Y si alguien cree que la entiende en base a que hay unos diferenciales que se pueden cambiar de lugar y agrupar de forma diferente gracias a las propiedades de la multiplicacion de numeros reales (cosa que no es aplicable porque los diferenciales no son numeros reales), esta equivocado.

$[f(g(x))]'= f'(g(x))g'(x)$

[visitante20160513]

Re: Notación de la aceleración instantánea

Disculpa abuelillo tengo que discrepar porque la expresión:

$y'(x)=\displaystyle\frac{{dy(x)} }{{dx} }$

haciendo referencia a la derivada de la función $y(x)$ respecto de su variable $x$ siempre es un cociente entre dos números reales, porque debes recordar que por definición en matemáticas se establece que el diferencial de una función de una variable vale precisamente:

$dy(x)=y'(x)dx$

Dichas fórmulas se interpretan siempre como un conjunto de operaciones a realizar entre números reales, puesto que los tres valores $dy,dx,y'$ son precisamente eso, números reales, y no otra cosa. Para que lo entiendas con una claridad meridiana te pongo unos sencillos ejemplos:

$(dx=4)\ \wedge \ (y'=6)\quad\Rightarrow\quad dy=24$

$(dx=0'4)\ \wedge \ (y'=0'6)\quad\Rightarrow\quad dy=0'24$

$(dx=-4)\ \wedge \ (y'=6)\quad\Rightarrow\quad dy=-24$

implicaciones que están absolutamente de acuerdo con las definiciones formales y que por lo tanto son matemáticamente exactas.

Salu2

[abuelillo]

Re: Notación de la aceleración instantánea

$dx=4\quad\wedge \quad y'(x)=6\quad\Rightarrow\quad dy=24$

Es decir que por definicion has decidido que dx=4, explicame como has calculado el valor de dx ?
Digamos que $y=x^2$ y $x=5$ cuanto vale dx ?

[visitante20160513]

Re: Notación de la aceleración instantánea

Puedes asignarle el valor real que más te guste, es una variable que toma valores en el conjunto de los números reales. Cualquier valor real, el que más te guste.

Salu2

[arivasm]

Re: Notación de la aceleración instantánea

dx/dt en ningun caso es una division entre numeros reales, no es lo mismo un limite de una funcion que a su vez es una division de funciones, que una division simplemente, no puedes eliminar el limite de ahi asi como asi, o sacar la division fuera del limite y quedarte tan pancho, que al limite decidas llamarlo dx/dy no hace que dx/dy por separado tengan sentido y que la barrita signifique una division de dos cosas.

Yo no dije en ningún momento que se deba/pueda prescindir del límite. Por cierto, recuerda que $\dst\frac{\dd x}{\dd y}=\frac{1}{\frac{\dd y}{\dd x}}$

...o podemos hablar de formas diferenciales pero ya no tenemos numeros sino aplicaciones, dx representaría una aplicacion que asigna a cada numero del dominio R una determinada funcion, la imagen de dx ni siquiera son los numeros reales sino un conjunto de funciones de R en R.
Eso de que tenemos varios diferenciales y los cancelamos alegremente porque uno esta dividiendo y otros multplicando y el resultado de la division da 1 como que no es asi.

Creo que veo por dónde vas. Cuando dices "no es un cociente de números reales" te refieres a eso, números, mientras que yo lo he entendido como "cantidades".

Sé que hay muchos matemáticos que defienden la pureza de la definición de derivada en contra del uso habitual que hacemos los físicos de manejarla como "cociente de dos variaciones infinitesimales". Seguro que el matiz que hace que el matemático retuerza la nariz cuando decimos eso es relevante. Es más, si no me equivoco, la clave está precisamente en el diferente sentido que damos unos y otros a la idea de diferencial: para el matemático es una aplicación, para el físico sólo es la parte infinitesimal de esa aplicación.

Francamente, no conozco ni un solo fenómeno físico que no admita ese punto de vista. De todos modos, no tengo pudor en reconocer que quizá ello sea simplemente una manifestación de mi ignorancia.

En resumen, yo recomendaría a cualquier estudiante de Física que adopte el punto de vista de la derivada como cociente de dos cantidades reales infinitesimales. Al menos en primera instancia (y el 99% podrá hacer toda su carrera con él e incluso más). No sólo por comodidad, sino que entenderá montones de conceptos físicos que si se queda tan sólo con la idea de la derivada como "máquina conceptual" que toma una función y devuelve otra se perderá un montón de matices físicos.

Un ejemplo de bachillerato es la velocidad (instantánea): si la visualizas como "hay que derivar la posición" se pierde de vista una noción muy básica, es el cociente entre un desplazamiento infinitesimal y el tiempo, también infinitesimal, que requiere. Si haces exactamente lo mismo con el cambio de la velocidad accedes fácilmente a la aceleración y sus componentes, de manera que inmediatamente puedes comprender la necesidad de un término centrípeto en caso de que la velocidad cambie de dirección. El punto de vista "la aceleración es la derivada de la velocidad", sin más, convierte algo tan básico en una montaña insuperable.

[visitante20160513]

Re: Notación de la aceleración instantánea

Completamente de acuerdo con arisvam, y yo aún diría más, aunque no es momento ni lugar, pero esos criterios y otros similares pueden aplicarse a otros conceptos matemáticos (la integración por ejemplo) que a fuerza de retorceduras algebraicas y formalidades diversas demasiado sutiles apiladas una encima de la otra, hacen que el uso de los conceptos formales matemáticos tengan a menudo como contrapartida la perdida de la visión intuitiva en física y otras ciencias aplicadas, lo que resulta ser un grave inconveniente.

Añadiré solo en descargo de los matemáticos, que ellos tienen que bregar con todo tipo de funciones, tan complicadas como se nos ocurra pensar, y sin embargo en física es raro trabajar con funciones discontinuas o no derivables, aunque hay casos son muy infrecuentes, lo que nos permite a los no matemáticos (físicos, ingenieros, etc.) recurrir a ciertas licencias a la hora de realizar abstracciones que en matemática pura serían verdaderas aberraciones, muy comprensible su actitud, pero también es muy comprensible la nuestra, digo yo.

Salu2

[Weip]

Re: Notación de la aceleración instantánea

Que yo sepa los puntitos es otra notacion para la derivada que se puede usar como uno quiera, la unica restriccion seria que no haya ambiguedad, de modo que si esta claro cual es la variable independiente en el contexto del problema o se especifica de otra forma, no veo razon para que no se pueda usar.

¿Estás seguro? Yo creo que es como dice Ángel, al menos yo siempre he leído que solo sirve para derivadas respecto al tiempo.

El tema que tratáis es muy interesante y la verdad, aunque ya pregunté hace unos meses en este foro, es el único tema que he dado y aún no entiendo. A mi la verdad es que la visión de arivasm me es más clarificadora, al menos en Física. Sin embargo, en Matemáticas lo he visto explicado de un montón de maneras, y por lo que veo en la forma correcta se utilizan cosas bastantes más complicadas de las que yo puedo entender. No sé, creo que hasta que no esté en tercero de carrera no lo podré aprender bien.

[abuelillo]

Re: Notación de la aceleración instantánea

Sé que hay muchos matemáticos que defienden la pureza de la definición de derivada en contra del uso habitual que hacemos los físicos de manejarla como "cociente de dos variaciones infinitesimales".

El eterno debate matematicos vs fisicos :P.

Un ejemplo de bachillerato es la velocidad (instantánea): si la visualizas como "hay que derivar la posición" se pierde de vista una noción muy básica, es el cociente entre un desplazamiento infinitesimal y el tiempo, también infinitesimal, que requiere.

Esa vision es valida y util, no digo que no se deba conceptualizar asi, pero mi objecion es mas basica que eso.
No se, pero no creo que ningun estudiante de bachillerato salga convencido de entender que son esos simbolos diferenciales. Si a mi me explican los numeros reales, tengo confianza en que cuando hago ciertas operaciones algebraicas estas son correctas, porque puedo explicar y demostrar porque son validas, simplemente echando mano de las propiedades de la suma y multiplicacion de los numeros reales.
Pero con infinitesimales de que propiedades y definiciones echamos mano para asegurar que no nos explota en la cara lo que estamos haciendo ?, podemos usar la intuicion pero sin una definicion y propiedades rigurosas, en el fondo no se diferencian de la "magia" o del "vuduu". Cuando alguien me justifica algo en base al uso de numeros infinitesimales , como se que sus razonamientos son correctos si nadie me ha explicado, ni definido previamente las propiedades de los infinitesimales ?
Porque llamarlos numeros reales infinitesimales no cuela, y no hace falta ni ser matematico, ni fisico, basta saber algo de matematicas de bachillerato e ir a la definicion de los numeros reales y sus propiedades para ver que algo huele a chamusquina y no cuadra.

Por ejemplo trabajar con infinitesimales asi a pelo, es como quien trabaja solo con numeros enteros pero no entiende el concepto numero racional, y en ocasiones usa atajos u operaciones que no tienen sentido dentro de los numeros enteros, por ejemplo cuando llega a una operacion de este tipo 1/2+1/2 considera que el resultado de la suma es 1, porque sabe que 2/2 =1 y aplicando propiedades de suma y multiplicacion de enteros llega a que (1+1)/2=1 y por lo tanto 1/2+1/2=1, aunque no entiende que significa 1/2 por si solo, solo sabe que "algunas" operaciones las puede hacer y otras no.
El mecanismo puede ser muy util, pero sin entender o definir que son los numeros racionales, operar asi es muy "sospechoso", pero lo peor es que intelectualmente no es muy satisfactorio.

Hay un libro de texo de calculo elemental interesante, que explica el calculo en base a los numeros hiperreales, y ademas de descarga gratuita:
"Elementary Calculus a infinitessimal aproach" de Jerome Keisler.
Ese libro seria valido hasta para ser usado en bachillerato, y por lo menos explica todo el calculo basico basado en una estructura matematica rigurosa, nada de "magia".
De este modo en lugar de estar cancelando determinado termino de una forma aparentemente arbitraria, simplemente porque es "infinitesimalmente pequeño" y ademas asi sale la formula que interesa, sabemos que en realidad estamos redondeando el numero hiperreal resultante al numero real mas proximo y que por las propiedades de transferencia de numeros hiperreales se puede hacer ese redondeo.