Notación de la aceleración instantánea

[Jose D. Escobedo]

Re: Notación de la aceleración instantánea

Pues yo diria que todos tienen un poco o mucha razon.

La idea de operador para las funciones, salio de la busqueda de "Gregory Newton interpolation formula."

"The difference operator" fue definido de esta forma"

$\Delta f(x)=f(x+b)-f(x)$, $\Delta f(x+b)=f(x+2b)-f(x+b)$, asi como $\Delta^2 f(x)=\Delta f(x+b)-\Delta f(x)$

Si se trabaja la funcion $y=x^3$, por ejemplo, y se quisiera encontrar $y"\Rightarrow$

$\Delta y = (x+b)^3-x^3 \Rightarrow$

$\Delta^2 y=\Delta (x+b)^3-\Delta x^3\Rightarrow$

$\Delta^2 y = (x+2b)^3-(x+b)^3 -(x+b)^3+x^3\Rightarrow$

$\Delta^2 y=6xb^2+6b^3$...(1) en este caso $\Delta x=b\Rightarrow$

Dividiendo(1) por $(\Delta x)^2\Rightarrow$ $\dst\frac{\Delta^2 y}{(\Delta x)^2}=6x+6\Delta x$

Ahora bien cuando $\Delta x \to 0 \Rightarrow \dst \frac{d^2 y}{dx^2 } = 6x$

Esta ultima notacion fue promovida por Leibniz, la cual sigue funcionando hasta nuestros dias. Asi la diferenciacion se puede ver con buenos ojos como un operador actuando en una funcion.

El problema con este tipo de procediemiento es que los matematicos modernos ortodoxos no ven con buenos ojos esto: $\dst \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{ \Delta x} =\frac{ d y }{ d x}$, pero olvidan:

" I protest against the use of infinite magnitude as something completed, which is never permissible in mathematics. Infinity is merely a way of speaking, the true meaning being a limit which certain ratios approach indefinitely close, while others are permitted to increase without restriction." (C.F. Gauss [in a letter to Schumacher, 12 July 1831]). Esa cita no solamente aplica a "infinite magnitude," pero tambien a infinitesimos.

Nota: no pude usar acentos porque la laptop esta adaptada al ingles y los "alt-codes" no trabajan tampoco.

En otro post escribire un poco mas, porque ahora no tengo mucho tiempo, sobre como he visto que lo hacen algunos matematicos que no estan de acuerdo con los "ortodoxos." Usan metodos algebraicos (punto de vista de Lagrange).

Saludos

[visitante20160513]

Re: Notación de la aceleración instantánea

Yo no hablé de números infinitesimales reales ni nada parecido, yo hablé directamente de números reales, sin más. Las expresiones que solemos representar como $dx, dy$, son sencillamente números reales. Aunque debe tenerse en cuenta que ambos valores están relacionados mediante el valor de la derivada, no son independientes.

Salu2

[Jose D. Escobedo]

Re: Notación de la aceleración instantánea

Digamos que tenemos la misma funcion $y=x^3$, haciendo una pequena translacion $x \to x+a\Rightarrow$
$(x+a)^3=x^3+3x^2a+3xa^2+a^3$ luego deshaciendo la translacion $x \to x-a \Rightarrow$
$y=(x-a)^3 +3a(x-a)^2+3a^2(x-a)+a^3 \Rightarrow$
$y=\dst\frac{6}{3! }(x-a)^3+\frac{6a}{2! }(x-a)^2+3a^2(x-a)+a^3$...(1)

Luego comparando (1) con el polinomio de Taylor, entonces tendremos que: $y'=3a^2, y''=6a$ y $y'''=6$ para el punto$x=a$, pero como $a$ puede tomar cualquier valor para cierto entorno entonces las derivadas se pueden generalizar a $3x^2, 6x$ y $6$

Luego (1) puede se expresado de esta otra manera:
$\dst y-a^3=3a^2(x-a)+ \frac{6a}{2! }(x-a)^2+\frac{6}{3! }(x-a)^3$...(*) dividiendo por $x-a$ y sustituyendo $y$ por $x^3\Rightarrow$
$\dst\frac{x^3-a^3}{x-a }=3a^2+\frac{6a}{2! }(x-a)+\frac{6}{3! }(x-a)^2$...(2)

El lado izquierdo de (2) $\dst\frac{x^3-a^3}{x-a }$, no es otro que el "cociente" $\dst\frac{\Delta y}{\Delta x}$ que puede ser escrito como:$\dst \frac{\Delta y}{\Delta x }=(x^2+xa+a^2)\frac{x-a}{x-a }$ el comportamiento de esta ultima expresion es $x^2+xa +a^2$ para $x\neq a$, pero para $x=a$, se tendra la indeterminacion $\dst\frac{0}{0 }$ la cual tiene muchas soluciones incluyendo todos los valores que los numeros de esta expresion $a^2+a\cdot a+a^2 =3a^2=3x^2$ puedan tener. El lado derecho de (2) cuando $x=a\Rightarrow 3a^2=3x^2$ sin duda alguna, pero para que (2) sea una igualdad en todo su sentido cuando $x=a$ entonces $\dst \frac{dy}{dy }=3x^2$ para $y=f(x)=x^3$. En otras palabras parafraseando Gauss, pero con el cambio de catidades infinitamente grandes a infinitamente peque$\~n$as, el comportamiento de la proporcion (ratio) con que dos cantidades infinitamente peque$\~n$as, puede acercarse infinitamente a otra cantidad, mientras que otras se alejan infinitamente... Tambien Euler trata las cantidades infinitamente peque$\~n$as como ceros, por eso me atrevi a escribir $\dst\frac{0}{0 }$.

En cuanto a la diferencial, la ecuacion (*) puede responder a muchas preguntas, pero por hoy es suficiente de este te tan polemico tema. Para mi todos los que opinaron en este hilo tiene un mucho o poco de razon.

Saludos

[arivasm]

Re: Notación de la aceleración instantánea

Por lo que he leído en este hilo estamos debatiendo, en el fondo, acerca de las definiciones de diferencial introducidas por Leibniz (que se aproximaría a lo que expresé yo y que se corresponde con lo que solemos usar los físicos), que sería una diferencia infinitesimal, la de Cauchy (como límite de una variable o función) o la de Fréchet (como aplicación lineal).

Si no me equivoco, la evolución del concepto obedeció más a motivos matemáticos que físicos. Aunque los primeros son, por supuesto, completamente relevantes para la esencia del problema no lo serían para el tema con el que se inicia este hilo: un alumno de Física que dice no entender la notación que se emplea para la aceleración instantánea.

Como docente que soy no puedo evitar tratar de ayudar en lo que entiendo que es el nivel del alumno que plantea la duda. Es por ello que, obviando mi (quizá escaso) conocimiento de los conceptos anteriores hice mi primera aportación.

En definitiva, quizá estaría bien abrir un hilo nuevo sobre el concepto de diferencial, que seguramente sería de utilidad para bastante gente y además sería más fácil de localizar que este, cuyo título parece enfocarlo hacia otro lugar.

[visitante20160513]

Re: Notación de la aceleración instantánea

Pues sí parece que hay una variación del tema principal en este hilo, creo que fui yo el primero que se desvió del tema principal, pido disculpas si procediera. En cualquier caso el tema es verdaderamente muy interesante, si quizás merecería la pena abrir un nuevo hilo para debatir el asunto, seguro que saldrán cuestiones interesantes, aunque quizás poco relacionadas con la física y mucho con la matemática, en fin yo no lo haré, pero si alguien más tiene interés ...

[Jose D. Escobedo]

Re: Notación de la aceleración instantánea

Hay un libro de texo de calculo elemental interesante, que explica el calculo en base a los numeros hiperreales, y ademas de descarga gratuita:
"Elementary Calculus a infinitessimal aproach" de Jerome Keisler.
Ese libro seria valido hasta para ser usado en bachillerato, y por lo menos explica todo el calculo basico basado en una estructura matematica rigurosa, nada de "magia".
De este modo en lugar de estar cancelando determinado termino de una forma aparentemente arbitraria, simplemente porque es "infinitesimalmente pequeño" y ademas asi sale la formula que interesa, sabemos que en realidad estamos redondeando el numero hiperreal resultante al numero real mas proximo y que por las propiedades de transferencia de numeros hiperreales se puede hacer ese redondeo.

abuelillo revise el libro que recomiendas, y en capitulo dos de "differentiation," me encontre el ejemplo que utilice en este hilo:

es decir empieza por escribir: "EXAMPLE 1 Find the derivative of the function"

$f(x)=x^3$, hace lo mismo que otros libros de otros "matematicos ortodoxos", pero al final llega a esta expresion:
$st(\dst\frac{\Delta y}{\Delta x })=st(3x^2+3x\Delta x +(\Delta x)^2)\Rightarrow$

$=st(3x^2)+st(3x\Delta x)+st((\Delta x)^2)=3x^2+0+0\Rightarrow$
$\dst f'(x)=st(\frac{\Delta y}{\Delta x })=3x^2$

lo unico que vi diferente fue que en vez de: $\dst \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{ \Delta x}$, se uso $st(\dst\frac{\Delta y}{\Delta x })$, Gracias por la recomendacion pero la rigurosidad sigue siendo la misma.

Parte de alejarme de las mates fue esa palabra de "riguroso." Que me disculpen los buenos matematicos no "ortodoxos", pero sigo sin ver la mugrienta rigurosidad por ningun lado.

Tal vez estoy ciego, porque no la veo por ningun lado

saludos

[abuelillo]

Re: Notación de la aceleración instantánea

abuelillo revise el libro que recomiendas, y en capitulo dos de "differentiation," me encontre el ejemplo que utilice en este hilo:
lo unico que vi diferente fue que en vez de: $\dst \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{ \Delta x}$, se uso $st(\dst\frac{\Delta y}{\Delta x })$, Gracias por la recomendacion pero la rigurosidad sigue siendo la misma.
Parte de alejarme de las mates fue esa palabra de "riguroso." Que me disculpen los buenos matematicos no "ortodoxos", pero sigo sin ver la mugrienta rigurosidad por ningun lado.

Es que te estas fijando en las formas y no en el fondo, la manipulacion es parecida pero la diferencia fundamental es que en ese ejemplo se esta trabajando con numeros hiperreales, y las operaciones matematicas realizadas estan justificadas y definidas de forma precisa en el ambito de estos numeros.
Pero no puedes realizar lo mismo con numeros reales porque no existen los numeros infinitesimales en la recta real, no puedes manipular unos simbolos que ni siquiera estan definidos matematicamente en este ambito.
Por ejemplo con los numeros infinitesimales "intuitivos" no puedes operar, ni multiplicarlos o dividirlos, etc, porque no tienes ni idea que resultado da eso, ni que significa para un numero infinitesimal operar con el, pero en los numeros hiperreales estan definidas todas las operaciones matematicas y se pueden multiplicar, sumar, dividir, etc.

[visitante20160513]

Re: Notación de la aceleración instantánea

Yo diría, dejándonos de números hiperreales, que:

1º).- La velocidad instantánea se define en física como .......... $\qquad\vec{\mathbf v}=\lim_{\Delta t \to 0}\displaystyle\frac{\Delta \vec{\mathbf r}}{\Delta t }$

2º).- La aceleración instantánea se define en física como ........ $\qquad\vec{\mathbf a}=\lim_{\Delta t \to 0}\displaystyle\frac{\Delta \vec{\mathbf v}}{\Delta t }$

Y que cuando las funciones que definen la posición y la velocidad en función del tiempo son derivables entonces dichos valores coinciden con las derivadas respectivas de dichas funciones respecto del tiempo, pero una cosa es la definición física de velocidad y aceleración instantánea y otra muy distinta la derivada de una función, y desde luego no hay nada de hiperreal en dichas definiciones. Basta con entender el concepto de límite para entender lo que son la velocidad y la aceleración instantáneas y como se calculan o se miden experimentalmente. Los formalismos matemáticos, considerados en exceso, a menudo hacen daño a los conceptos físicos, que son habitualmente mucho más directos y sencillos y que en general están cargados de intuición.

También podría decirse (en física) que dichos valores instantáneos son los valores medios cuando se consideran intervalos temporales suficientemente pequeños. En fin no hay que complicar los conceptos cuando no es necesario Esto último lo entiende hasta un niño de teta, pero lo de la derivada, los diferenciales y los números hiperreales pues no tanto creo yo.

Salu2

[Jose D. Escobedo]

Re: Notación de la aceleración instantánea

Es que te estas fijando en las formas y no en el fondo, la manipulacion es parecida pero la diferencia fundamental es que en ese ejemplo se esta trabajando con numeros hiperreales, y las operaciones matematicas realizadas estan justificadas y definidas de forma precisa en el ambito de estos numeros.
Pero no puedes realizar lo mismo con numeros reales porque no existen los numeros infinitesimales en la recta real, no puedes manipular unos simbolos que ni siquiera estan definidos matematicamente en este ambito.
Por ejemplo con los numeros infinitesimales "intuitivos" no puedes operar, ni multiplicarlos o dividirlos, etc, porque no tienes ni idea que resultado da eso, ni que significa para un numero infinitesimal operar con el, pero en los numeros hiperreales estan definidas todas las operaciones matematicas y se pueden multiplicar, sumar, dividir, etc.

Veamos, tu diras si estoy biendo las formas y no el contenido.

El libro del señor Keisler, en el capitulo dos, empieza por definir:
"DEFINITION
S is said to be the slope of $f$ at $a$ if
$S=st(\dst\frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x }$ for every nonzero infinitesimal $\Delta x$."

Claro dividir por 0 no esta permitido.

Luego, despues de unos enunciados, sige con:

"Figure 2.1.1 shows a nonzero infinitesimal $\Delta x$ and a hyperreal straight line through the two points on the curve at $a$ and $a + \Delta x$," que facinante por fin he visto una linea recta hiperreal, se parece a una curva con una secante dibujada en los libros de cálculo estandard, ah! pero eso si hecho con un acercamiento como un dibujo visto desde una lupa.

Despues el dibujo, para continuar con: " The slope of $f$ at $a$ does not always exist. Here is a list of all the possibilities." lista de posibilidades suena extremadamente riguroso.
"(1) The slope of $f$ at $a$ exist if the ratio
$\dst\frac{f(a+\Delta x) - f(a)}{\Delta x }$ is finite and has the same standard part for all infinitesimal $\Delta x \neq 0$. It has the value $\dst S=st(\frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{ \Delta x})$." Claro lo mismo que en libros nomales de cálculo, y cuando se lleva al límite converge con una indeterminación removible del primer tipo o del segundo, chispas ya no me acuerdo pero no creo que sea importante, a menos que mis maestros que me enseñaron cálculo se enojen conmigo. La cita que dejo Gauss trabaja para cántidades infinitamente grandes como para las infinitamente pequeñas. Puedo seguir, pero creo que es suficiente.
Recientemente he esta viendo por internet a un profe de mates en el internet, que tambien habla de estos temas y lo hace refutando la existencia de los reales, a los cuales lo llama: irreales, solamente trabaja con los racionales y hace algunas extenciones usando geometría proyectiva. He de decir que el dice que el nivel requerido para se clase es bachillerato. Por mi parte, me da la impresión de ser mas "riguroso" o lo signifique esa palabra.

Saludos.

[abuelillo]

Re: Notación de la aceleración instantánea

Veamos, tu diras si estoy biendo las formas y no el contenido.

El libro del señor Keisler, en el capitulo dos, empieza por definir:
"DEFINITION
S is said to be the slope of $f$ at $a$ if
$S=st(\dst\frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x }$ for every nonzero infinitesimal $\Delta x$."

Creo que no estas pillando la cuestion. Cuando en ese libro se habla de infinitesimales se refiere a los numeros hiperreales infinitesimales, que estan rigurosamente definidos, y por lo tanto esas operaciones de division y multiplicacion (incluso sin llevarlas a nigun tipo de limite) estan perfectamente permitidas.
Cuando en otros libros se habla de infinitesimales, se refieren a algo intuitivo que no esta definido ni soportado por ninguna estructura matematica detras.

Podrias decir: pues para esos otros libros considero que esos infinitesimales son tambien los hiperreales y ya esta, claro eso lo puedes decir a toro pasado. Pero si vas a la edicion de un libro de esos de antes de 1970, cuentan lo mismo sobre los infinitesimales, pero de aquella nadie habia definido todavia los numeros hiperreales, asi que no tenia ninguna rigurosidad lo que estaban diciendo, de modo que algunas afirmaciones de esos libros pudieron resultar correctas pero otras no.

Cuando los antiguos matematicos Leibniz, Euler, etc, trabajaban con infinitesimales no tenian mas remedio que utilizar la intuicion (los hiperreales no se construyeron hasta 1970), y unas veces acertaban con lo que hacian y otras no. Obviamente en la mayoria de libros solo salen los trabajos de esos matematicos, que resultaron ser correctos, las conclusiones que resultaron no ser correctas debido a su uso "intuitivo" del concepto de numero infinitesimal, normalmente no salen en los libros.

[Jose D. Escobedo]

Re: Notación de la aceleración instantánea

Bueno abuelillo dejame trata una vez mas.

En el libro se asigna un numero $H$(hiperreal pero como si fuera real) y un infinitésimo $\varepsilon$ en el sentido de los hirreales, estas dos cantidades forman un hiperreal, es decir $H+\varepsilon$ is hiperreal y cuando se le aplica esta cosita que es como un operador, definido mas o menos como esto: $st(H+\varepsilon)=H$, entonces este operador $st$, transforma a la cantidad hiperreal en real. El término-operador $st$ significa cambiar a notación estandard.

En el principio de extención.
El inciso (b) dice
: "there is a hyperreal number that is greater than zero but less than every positive real number"
es decir que existe por ejemplo un hiperreal $\varepsilon$ y que cuando $st(\varepsilon)=\Delta x$ que es un infinitesimo en el sentido estandard.
$\Rightarrow \exists \varepsilon \in H$ ,tal que $0<\varepsilon<\Delta x$ para $\forall\Delta x \in R$.
Es eso lo que me esta diciendo ese principio matemáticamente, pero yo puedo decir que existe un $n \in N$, tambien que los naturales son infinitos (propiedad arquimediana) y puedo escojer tal que: $0<\dst \frac{1}{n }< \varepsilon < \Delta x$, entonces ese principio no es válido, la rigurosidad para poder esas aseveraciones, primero tendría que probar que existe el continuo cosa que no sa ha hecho. Como puedes ver con solo los naturales, y aportaciones de lo griegos, se puede contradecir ese principio

Si no entendí, por favor explicámelo, yo estoy aquí para aprender tambien.

Pd. de todas me gusta el libro porque el autor le da el toca tradicional de los que originaron el cálculo.
que lástima me tengo qur ir a trabajar!, pero leeré lo que escribas abuelillo

Saludos

[abuelillo]

Re: Notación de la aceleración instantánea

En el principio de extención.
El inciso (b) dice
: "there is a hyperreal number that is greater than zero but less than every positive real number"
es decir que existe por ejemplo un hiperreal $\varepsilon$ y que cuando $st(\varepsilon)=\Delta x$ que es un infinitesimo en el sentido estandard.
$\Rightarrow \exists \varepsilon \in H$ ,tal que $0<\varepsilon<\Delta x$ para $\forall\Delta x \in R$.
Es eso lo que me esta diciendo ese principio matemáticamente, pero yo puedo decir que existe un $n \in N$, tambien que los naturales son infinitos (propiedad arquimediana) y puedo escojer tal que: $0<\dst \frac{1}{n }< \varepsilon < \Delta x$, entonces ese principio no es válido, la rigurosidad para poder esas aseveraciones, primero tendría que probar que existe el continuo cosa que no sa ha hecho. Como puedes ver con solo los naturales, y aportaciones de lo griegos, se puede contradecir ese principio
Si no entendí, por favor explicámelo, yo estoy aquí para aprender tambien.

En ese libro no vas a encontrar toda las construccion y enormidad de definiciones, teoremas y logica formal que justifican los hiperreales, solo definen las cosas basicas para poder explicar el tema principal del libro que es el calculo. Si quieres ver como va el tema de una forma mas profunda tienes que buscar un libro de analisis no estandard y agarrarte los machos, que la cosa tiene tela.
Este tema no trata de 4 definiciones que se le ocurrieron a alguien y ya esta, y que se puedan tumbar de un par de vistazos, se trata de un problema complejo que muchos matematicos intentaron resolver durante siglos y solo hace menos de 40 años se consiguio resolver.
Y no creo que a uno de los mejores matematicos del ultimo siglo se le hayan pasado detallitos como el principio arquimediano, en los numeros hiperreales ese principio se cumple igual, si solo usas los numeros naturales claro que no se cumple porque te estarías olvidando incluir los numeros hypernaturales.

[Jose D. Escobedo]

Re: Notación de la aceleración instantánea

En ese libro no vas a encontrar toda las construccion y enormidad de definiciones, teoremas y logica formal que justifican los hiperreales, solo definen las cosas basicas para poder explicar el tema principal del libro que es el calculo. Si quieres ver como va el tema de una forma mas profunda tienes que buscar un libro de analisis no estandard y agarrarte los machos, que la cosa tiene tela.
Este tema no trata de 4 definiciones que se le ocurrieron a alguien y ya esta, y que se puedan tumbar de un par de vistazos, se trata de un problema complejo que muchos matematicos intentaron resolver durante siglos y solo hace menos de 40 años se consiguio resolver.
Y no creo que a uno de los mejores matematicos del ultimo siglo se le hayan pasado detallitos como el principio arquimediano, en los numeros hiperreales ese principio se cumple igual, si solo usas los numeros naturales claro que no se cumple porque te estarías olvidando incluir los numeros hypernaturales.

El problema fundamental del analisis standard, es toma el continuo como algo ya aceptado y a los reales como numeros. Donde no son mas que aproximaciones o un grupo de algoritmos que se aplican para generar expanciones decimales, tambien utilizan el "axiom of choice" de manera que cubran todas sus deficiendcias. El caso del analisis no estandard es peor empizan a construir estructuras sobre otras, diciendo, he aqui una extencion que bla, bla, ... ( y hablan de extencion de estructuras y ni siquiera extenciones sin tomarse el tiempo de analisar la problematica real) para seguir como dice el profesor Nj wildberger (parafraseando) para crear castillos en el aire con fundaciones de papel.

Le preguntas a un matematico que defina numero real"rigurosamente" y su respuesta var a ser que le va tomar mas tomos que los que lleva la novela de "Harry Potter." Lo bueno es que hay algunos matematicos que se toman su tiempo para realmete construir bases mas solidas, que a nosotros los que nos gusta la fisica, nos facilita el trabajo. A mi me gusta mucho la fisica y las mates y no tengo ningun miedo a aceptar que las leyes de Newton no son mas que teorias aproximadas que describen-expresan la naturaleza y que la teoria general de la relatividad de Einstein, es lo mismo, pero mas aproximado (eso si, mas bonita y mas dificil matematicamente hablando). En cambio trata de convencer a alguien de los que ya han sido adoctrinados de que los numeros reales no son mas que aproximaciones de numeros y veras lo que sucede.

Los racionales son construibles, en geometria, con regla y compas a la ecludiana, los "reales' (o tal vez tendria que decir los irreales ) a su vez algunos de ellos lo son, mientras que los trascendentales no pueden serlo. En terminos de arimetica, los "reales" solamente se aproximan.

Ademas de esto existen mas problemas como las deficiones de seno y coseno, las cuales son funciones circulares y se forzan a la forma lineal con ayuda de los catetos y la hipotenusa.

Abuelillo, trata de calcular esto $\sin x=x-\dst \frac{x^3}{3! }+\frac{x^5}{5! }-...+...$
sin ayuda del polinomio de taylor y a la manera de Newton. Podras cerciorarte de algunas cositas.

Saludos

[abuelillo]

Re: Notación de la aceleración instantánea

Abuelillo, trata de calcular esto $\sin x=x-\dst \frac{x^3}{3! }+\frac{x^5}{5! }-...+...$
sin ayuda del polinomio de taylor y a la manera de Newton. Podras cerciorarte de algunas cositas.

Afirmas que si algo es demasiado complejo o largo no es riguroso, asi que los numeros reales no pueden ser rigurosos, porque se necesitan demasiadas paginas para definirlos y construirlos. Donde esta el limite de complejidad luego ?, solo es riguroso lo que se pueda explicar en un maximo de 2 paginas, 10 paginas, en un Tweet ?

Tambien me parece entender que consideras que si un numero no se puede representar y calcular de determinada forma pues no seria un numero, o no seria exacto a algo de este estilo. Asi que solo los numeros naturales positivos son numeros de verdad parece.

Elijamos el numero 25 , que representa 25, pues significa ?

25 = 2x10+5 = 2x(1x10+0)+5 = 2x(1x(1x10+0)+0)+5 ...
Bueno mejor usemos otra forma de expresar el 10 para evitar la recursion infinita:
25 = 2x(9+1)+5

Es decir 25 es una forma abreviada de escribir las operaciones de arriba, en la que el numero 10, la multiplicacion y la suma siguen estando ahi, pero no se escriben por comodidad. En este sentido y basandome en tus razonamientos, es muchisimo mas "numero" el numero e que por lo menos tiene simbolo propio.
O quizas solo los numeros 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 son los numeros de verdad porque son los unicos con simbolos propios ?
Pero claro que podemos usar base 16 (o base 1000000) y asi ya tenemos mas numeros de verdad: 0,1,2,3,4,5,6,7,9,A,B,C,D,E,F ...

Asi que no veo nada fundamentalmente distinto en 25 o $\sqrt{2}$ o $e$:
"25= El numero que resultaria de multiplicar 2 por 10 y sumarle 5"
"$\sqrt{2}$= El numero que multiplicado por si mismo da 2"

Cuales son luego las operaciones aritmeticas permitidas para representar un numero, de modo que lo podamos considerar un numero de verdad ?
Los numeros se definen, y las definiciones no son cosas que haya que demostrar, es un absurdo logico, un sin sentido pedir la demostracion de una definicion, o exigir que se demuestre que es cierta o existe.

[Jose D. Escobedo]

Re: Notación de la aceleración instantánea

Asi que no veo nada fundamentalmente distinto en 25 o $\sqrt{2}$ o $e$:
"25= El numero que resultaria de multiplicar 2 por 10 y sumarle 5"
"$\sqrt{2}$= El numero resultante de calcular la raiz cuadrada de 2, o el numero que multiplicado por si mismo da 2"

Y no veo donde esta esa forma exacta en la que tiene que poder representarse un numero para que el numero en si sea un numero "exacto" y "verdadero", ¿ tendria que poder representarse por una division de enteros ? la operacion de division tiene alguna cualidad "divina" o "especial", que no tenga otra operacion como la raiz cuadrada, un logaritmo, una suma, para concederle tal honor ?

Lo fundamentalmente distinto esta en la naturaleza misma, en conteo de objetos a niño fácilmente se le puede enseñar que es 25 (ideas que evolucionaron con nosotros), se empieza hacer una asociación de numero-objeto 1, 11, 111, 1111, 1111, y asi hasta que llegue a 25, despues con la importancia de los numeros posicionales, se introduce las operaciones aritméticas. Cuando vas a un lugares ves personas, oh! en ese grupo hay tres chicos y siete chicas, despues, se introducen los racionales a estos se le asocian pedacitos de objetos y/o cosas, luego tambien se introducen las opearciones aritmeticas. Luego, puedo decir que un numero es un simbolo que representa la cuantificación de un objeto real (y no voy a decir como muchos matemáicos esa es la definición rigurosa de número), como explicarias que es raíz de dos. Yo simplimente diría que es una aproximación de fracciones o pedacitos y numeros enteros. Y tu como definirías que es $\dst \sqrt{2}$ con aritmética usando objetos reales. Al menos, yo puedo calcular $\dst \frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{5 }{6}$ exactamente, y tu puedes calcular $\sqrt{3}+\pi$ exactamente, ¿qué reprentan esos objetos?

Lo de la cualidad divina no me referia a la división, aunque asi lo parezca, tambien hay algo de ello en un libro que llama "Divine Proportions: Rational Trigonometry to Universal Geometry" te invito a que lo leas, hay unos PDF's gratis on line ó tambien lo puedes ver en you tube.
No creo que lleguemos a nada, me hubiera gustado ver mas debate matematico y menos filosófico (en donde claramente eres mejor que yo). Me dijistea que no lo pillaba y esperaba un explicación matemática que nunca llego. Hasta qui llego con este pequeño argumento, gracias por la recomendación del libro de cálculo y te leo en foro.

Saludos.