1r ciclo Problema de cinemática/integral

[Clarck Luis]

Hola con todos, he estado resolviendo problemas de cinemática y me he encontrado con un detalle que no me habia pasado antes. Aqui les detallo el problema:

Un móvil con velocidad inicial de 15m/s para un $"S=0"$ se mueve en una trayectoria circular, calcule el tiempo necesario para que el vehiculo recorra 100mt. Sabiendo que su velocidad aumenta ${a}_{tg}=0.4S m/s2$ y el radio de la trayectoria es r=200mt.

Lo primero que hice fue plantear mis ecuaciones diferenciales:

$a.ds=vdv$
$0,4s.ds=vdv$
integrando con limites para "S" de "0" a "S", y limites para "V" de "15" a "V":

$0,4{S}^{2}={V}^{2}-{15}^{2}$
${V}^{2}=0,4{S}^{2}+{15}^{2}$
$V=\sqrt{0,4{S}^{2}+{15}^{2}}$

Usando la definicion:

$V.dt=ds$
$dt=ds/V$

Reemplazando "V":
$dt=ds/\sqrt{0,4{S}^{2}+{15}^{2}}$

integrando con limites para "S" de "0" a "100":

t=3.39

Y coincide con la clave que me dan. El detalle esta si lo quiero hacer de otra manera:
Coloco a "S" como [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] de mis primeras ecuaciones
Luego la derivo respeco a "V" de donde me queda:
$dS/dV=2,5V/\sqrt{(2.5{V}^{2}-562.5)}$

$dS=2,5VdV/\sqrt{(2.5{V}^{2}-562.5)}$

Previamente calculo la velocidad final cuando S=100 de mis primeras ecuaciones:

$0,4.{100}^{2}={V}^{2}-225$
${V}_{final}=65$

Entonces los limites para "V" van de 15 a 65.
Luego en la definicion dS=V.dt , reemplazo el dS calculado anteriormente:

$2,5VdV/\sqrt{(2.5{V}^{2}-562.5)}=V.dt$

$2,5dV/\sqrt{(2.5{V}^{2}-562.5)}=dt$

Integrando para limites de V que van de 15 a 65, me sale que no puede resolverse xD. Cual es el error?? Gracias de antemano.

[oscarmuinhos]

Re: Problema de cinemática/integral

Entonces los limites para "V" van de 15 a 65.
Luego en la definicion dS=V.dt , reemplazo el dS calculado anteriormente:

$2,5VdV/\sqrt{(2.5{V}^{2}-562.5)}=V.dt$

$2,5dV/\sqrt{(2.5{V}^{2}-562.5)}=dt$

Integrando para limites de V que van de 15 a 65, me sale que no puede resolverse xD. Cual es el error?? Gracias de antemano.

Que quieres decir con que no puede resolverse?

Si una integral de la forma $\dst \int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2} }$ nos da $arcsin x$ o $arccos x$, esa integral ha de ser una de la forma $arsh x$ o $arch x$.

Si la resuelves te dará un tiempo de 3,39 s

Animo

[Clarck Luis]

Re: Problema de cinemática/integral

Hola oscar, no la puedo resolver enserio xD. Lo extraño es que cuando la coloco en la calculadora me sale error y nose porque xD. Tu la has resuelto y te salio 3.39 segundos?

[oscarmuinhos]

Re: Problema de cinemática/integral

Si
Espera a ver si logro escribirla

$\dst \int \frac{2,5dV}{\sqrt{(2.5{V}^{2}-562.5)} }=\int dt$

$\dst \int \frac{2,5 dV}{\sqrt{2,5}\sqrt{({V}^{2}-225)} }=\int \frac{2,5 dV}{15. \sqrt{2,5}\sqrt{(\frac{{V}^{2}}{15^2 }-1)} }= \int dt$

Se hace ahora el cambio de variable $\frac{V}{15 }=u$ con lo que $dV = 15.du$ y queda una integral directa de arcch u:

$\dst = \sqrt{2,5}\int \frac{ du}{\sqrt{(u^2-1)} }= \sqrt{2,5}arcch u +C = \sqrt{2,5}arcch \left( \frac{V}{15} \right)+C$

Transformando esta función inversa del coseno hiperbólico en su expresión equivalente en función del logaritmo neperiano:

$\sqrt{2,5}arcch \left( \frac{V}{15} \right)+C =\sqrt{2,5} ln (V + \sqrt{V^2 - 15^2} +C_1$ (donde hemos suprimido el 15 que debiera aparecer en el denominador introduciéndole en la constante C como -ln 15 para dar lugar a otra constante $C_1$

Te ha valido?

Para calcular t, quedaría (utilizando los límites de la velocidad que calculaste tú:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Lo que yo no sé es porque tu calculadora (si te integra otras funciones) porque no te da la integral de esta...

[Clarck Luis]

Re: Problema de cinemática/integral

Gracias por la solución Oscar, me alegra que el problema solo haya sido usar el correcto método de integración. Por un momento pensé que estaba equivocado en las ecuaciones que puse, ya me estaba preocupando pensando que mi teoría estaba equivocada xD por poco y me pongo a leer todo el libro de mecánica denuevo . Aun así me resulta raro que mi calculadora no pueda resolver la integral, supongo que no tiene ese método de integración en su data por eso me da error al no poder resolverla. La verdad es que yo tampoco pude xD, usando los métodos que conocía, pero ese que mencionas parece bastante útil, tendré que dar una repasada a mis libros de calculo. Gracias denuevo Oscar. Saludos.