Divulgación Cosnsulta sobre Gravedad Newtoniana y leyes de Kepler

[inakigarber]

Buenas noches.
Un manual de física del que disfruto desde hace unas semanas (que tiene alguna relación con este foro) ha llamado mi atención sobre algunos aspectos de la mecánica newtoniana que antes me pasaron desapercibidos.

Uno de ellos tiene que ver con el relativo a la demostración de la fórmula gravitatoria de Newton a través de la tercera ley de Kepler. He tratado de comprenderlo, pero creo que me he perdido en algún punto. Vayamos por puntos. Parto de la suposición de que la órbita terrestre es circular (lo cual es bastante aproximado).

La 3ª ley de Kepler dice;

$$\frac{T^2}{R^3}=K$$

donde K es una constante T el periodo de rotación y R la distancia tierra-sol.
La velocidad de traslación es;

$$V_t=\frac{2R\pi}{T}$$

El cuadrado de la velocidad por tanto

$$V_t^2=\frac{4R^2\pi^2}{T^2}$$

De (1) deducimos que

$$T^2=KR^3$$

Por tanto

$$V_t^2=\frac{4\pi^2}{KR}$$

Por la 2ª ley de Newton y dado que hemos supuesto un movimiento circular.

$$F=m\frac{V_t^2}{R}$$

Sustituyendo por lo obtenido en (3)

$$F=\frac{4m\pi^2}{KR^2}$$

Este es el valor a que llego, pero no se como avanzar mas. ¿Hay algo que este haciendo mal?
Seguiré dándole vueltas al tema.
Un saludo y gracias.

[arivasm]

Re: Cosnsulta sobre Gravedad Newtoniana y leyes de Kepler

Para avanzar más hay que tomar en consideración la ley de acción y reacción, así como el que Sol y planeta deberán ser manejados como dos objetos físicos en igualdad de condiciones, de manera que si llamas M a la masa del Sol y k a la constante correspondiente, que será debida al planeta del mismo modo que K es debida al Sol (como se sigue de que K sea compartida por todos los planetas), tenemos que

$\dst F=\frac{4m\pi^2}{KR^2}=\frac{4M\pi^2}{kR^2}$

De aquí se tiene que cierta cantidad auxiliar, que podemos llamar J, cumple que $\dst\frac{4\pi^2 m}{K}=J=\frac{4\pi^2 M}{k}$, de manera que es proporcional a m (como evidencia el primer igual) y también proporcional a M (por el segundo igual). Por tanto, si llamamos G a la constante de proporcionalidad $J=GMm$. De esa manera tenemos que

$\dst F=G\frac{Mm}{R^2}$

Lo último que queda es analizar de qué puede depender la constante de proporcionalidad: evidentemente no dependerá de m ni de M, pues sus influencias ya están contempladas en la ley, ni tampoco de la distancia R (por el mismo motivo). A falta de nada mejor, al menos de entrada, no queda otro remedio que admitir que deberá ser una constante universal.

Si no me equivoco, Robert Hooke llegó hasta el mismo punto que tú (me refiero a la dependencia inversa de la fuerza con el cuadrado de la distancia), de manera que lo que he contado en este post sería un elemento crucial en la aportación de Newton a la determinación de la ley de gravitación universal.

[inakigarber]

Re: Cosnsulta sobre Gravedad Newtoniana y leyes de Kepler

...De aquí se tiene que cierta cantidad auxiliar, que podemos llamar J, cumple que $\dst\frac{4\pi^2 m}{K}=J=\frac{4\pi^2 M}{k}$, de manera que es proporcional a m (como evidencia el primer igual) y también proporcional a M (por el segundo igual). Por tanto, si llamamos G a la constante de proporcionalidad $J=GMm$. De esa manera tenemos que

$\dst F=G\frac{Mm}{R^2}$

Lo último que queda es analizar de qué puede depender la constante de proporcionalidad: evidentemente no dependerá de m ni de M, pues sus influencias ya están contempladas en la ley, ni tampoco de la distancia R (por el mismo motivo). A falta de nada mejor, al menos de entrada, no queda otro remedio que admitir que deberá ser una constante universal.

Si no me equivoco, Robert Hooke llegó hasta el mismo punto que tú (me refiero a la dependencia inversa de la fuerza con el cuadrado de la distancia), de manera que lo que he contado en este post sería un elemento crucial en la aportación de Newton a la determinación de la ley de gravitación universal.

Una buena astucia matemática. Al menos eso es lo que a mi me parece. Me causa mucha alegría cuando entiendo una demostración de este tipo. Cuando entiendo una demostración de este tipo acabo teniendo la sensación de que merece la pena entender de física y me hace ilusión. Tampoco esta mal haber llegado al mismo punto que Robert Hooke.
Un saludo y muchas gracias.