Divulgación Caida libre de una piedra con velocidad inicial

[inakigarber]

Buenas noches. Un problema "sencillo" me tiene atascado y enfadado conmigo mismo.

"Una piedra cae verticalmente desde 200 metros. Durante el último medio segundo de su caída la piedra recorre una distancia de 45 metros. Determinar la velocidad inicial de la piedra."

Sencillo pero me falta algo. Veamos por partes.

Para una caída de 200 metros.

$$200=V_m*T$$

donde;

$$V_m=\frac{V_i+V_f}{2}$$

Como

$$V_f=V_i+gT$$

Obtengo

$$200=V_iT+\frac{gT^2}{2}$$

Para un espacio de 200-45=155 metros obtendría

$$155=V_i(T-0.5)+\frac{g(T-0.5)^2}{2}$$

Desarrollando por el binomio de Newton y sustituyendo por el valor obtenido en (4) obtengo;

$$155=200-0.5V_i-\frac{gT}{2}+\frac{0.25g}{2}$$

Con las consiguientes operaciones obtengo.

$$46.225=0.5V_i+\frac{gT}{2}$$

Pero llego a una ecuación con dos incógnitas. Con lo cual veo que me falta una ecuación.

Supongo que es algo evidente, pero se me esta escapando.
Un saludo y gracias.

[arivasm]

Re: Caida libre de una piedra con velocidad inicial

Puedes despejar T en (7) y substituir en (4)

[visitante20160513]

Re: Caida libre de una piedra con velocidad inicial

Es que deben cumplirse las dos ecuaciones, la que se plantea al final del recorrido y la que se plantea medio segundo antes:

$(1)\quad 200=V_iT+\displaystyle\frac{gT^2}{2}\qquad\qquad\qquad (2)\quad 155=V_i(T-0,5)+\displaystyle\frac{g(T-0,5)^2}{2}$

lo que te permite eliminar una de las dos incógnitas.

Es decir tienes un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, ¿no?.

Planteas el problema de una forma bastante engorrosa, y como consecuencia de ello los árboles no te dejan ver el bosque. Es mucho más sencillo que eso, plantea la condición al final del recorrido y la condición medio segundo antes y listo.

Salu2

[inakigarber]

Re: Caida libre de una piedra con velocidad inicial

Es que deben cumplirse las dos ecuaciones, la que se plantea al final del recorrido y la que se plantea medio segundo antes:

$(1)\quad 200=V_iT+\displaystyle\frac{gT^2}{2}\qquad\qquad\qquad (2)\quad 155=V_i(T-0,5)+\displaystyle\frac{g(T-0,5)^2}{2}$

lo que te permite eliminar una de las dos incógnitas.

Es decir tienes un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, ¿no?.

Planteas el problema de una forma bastante engorrosa, y como consecuencia de ello los árboles no te dejan ver el bosque. Es mucho más sencillo que eso, plantea la condición al final del recorrido y la condición medio segundo antes y listo.

Salu2

Gracias por tu respuesta.

Ya había llegado a la misma conclusión pero no consigo resolverlo a pesar de tener dos ecuaciones con dos incógnitas.
Partimos de que;

$$200=V_iT+\frac{gT^2}{2}$$

y de que

$$155=V_i(T-0.5)+\frac{g(T-0.5)^2}{2}$$

Por el desarrorro del binomio de Newton

$$155=V_i(T-0.5)+\frac{g(T^2-T+0.25)}{2}$$

$$155=V_iT-V_i0.5+\frac{gT^2}{2}-\frac{gT}{2}+\frac{0.25g}{2}$$

Reordenando términos

$$155=V_iT+\frac{gT^2}{2}-0.5V_i-\frac{gT}{2}+\frac{0.25g}{2}$$

Como puedes ver los dos primeros términos corresponden a la primera ecuación del movimiento cuyo valor conocemos y es 200. Podemos, por tanto sustituirlos.

$$155=200-0.5V_i-\frac{gT}{2}+\frac{0.25g}{2}$$

Con lo cual sigo teniendo una ecuación con dos incógnitas y sigue sin salirme.
El metódo propuesto por arisvam sí me lleva a una ecuación con una incógnita cuya solución me sale $V_i=67,9021m/seg$


Por lo que respecta al segundo comentario, tienes toda la razón este problema se me ha atragantado.

[arivasm]

Re: Caida libre de una piedra con velocidad inicial

No estás haciendo nada malo. Cuando das el paso (6) en realidad estás optando por substituir la ecuación (2), o cualquiera de sus equivalentes posteriores, por una más sencilla, de manera que sigues teniendo dos ecuaciones y dos incógnitas: por ejemplo, la (1) y la (6). Si no quieres hacerlo así, podrías tomas (1) y (5) como dos ecuaciones con dos incógnitas, despejar, por ejemplo, $V_i$ en (1) y substituir en (5), para obtener T, y luego volver a (1) para tener $V_i$.

[inakigarber]

Re: Caida libre de una piedra con velocidad inicial

No estás haciendo nada malo. Cuando das el paso (6) en realidad estás optando por substituir la ecuación (2), o cualquiera de sus equivalentes posteriores, por una más sencilla, de manera que sigues teniendo dos ecuaciones y dos incógnitas: por ejemplo, la (1) y la (6). Si no quieres hacerlo así, podrías tomas (1) y (5) como dos ecuaciones con dos incógnitas, despejar, por ejemplo, $V_i$ en (1) y substituir en (5), para obtener T, y luego volver a (1) para tener $V_i$.

En tu anterior post me ha quedado mas claro. Como ya dije antes, este problema se me atravesó. Pero ya ha quedado claro.

Un saludo y gracias.

[Johny_tolengo]

Re: Caida libre de una piedra con velocidad inicial

Buenas noches. Un problema "sencillo" me tiene atascado y enfadado conmigo mismo."Una piedra cae verticalmente desde 200 metros. Durante el último medio segundo de su caída la piedra recorre una distancia de 45 metros. Determinar la velocidad inicial de la piedra."Sencillo pero me falta algo. Veamos por partes.Para una caída de 200 metros.

$$200=V_m*T$$

donde;

$$V_m=\frac{V_i+V_f}{2}$$

Como

$$V_f=V_i+gT$$

Obtengo

$$200=V_iT+\frac{gT^2}{2}$$

Para un espacio de 200-45=155 metros obtendría

$$155=V_i(T-0.5)+\frac{g(T-0.5)^2}{2}$$

Desarrollando por el binomio de Newton y sustituyendo por el valor obtenido en (4) obtengo;

$$155=200-0.5V_i-\frac{gT}{2}+\frac{0.25g}{2}$$

Con las consiguientes operaciones obtengo.

$$46.225=0.5V_i+\frac{gT}{2}$$

Pero llego a una ecuación con dos incógnitas. Con lo cual veo que me falta una ecuación.Supongo que es algo evidente, pero se me esta escapando.Un saludo y gracias.

Buenos días.
No entiendo por qué en la ecuación (5) utilizad el valor 0,5s en el lugar de t. Si no me equivoco ese valor denota un intervalo de tiempo y no un punto determinado.

[arivasm]

Re: Caida libre de una piedra con velocidad inicial

En las ecuaciones de movimiento t indica la lectura de un reloj, y no, como has puesto, un intervalo de tiempo. Dejando un poco de lado el alambicado enfoque de Iñaki, a partir de velocidades medias, planteemos el siguiente sistema de coordenadas: origen en el punto de partida, positivas hacia abajo y con t=0 en el instante de partida. Como la ecuación de movimiento en uno uniformemente acelerado es $x=x_0+v_{0,x}t+\frac{1}{2}a_x t^2$ y con el sistema anterior $x_0=0$, $v_{0,x}=V_i$ y $a_x=g$ la ecuación de movimiento es $x=V_i t+\frac{1}{2}gt^2$.

Sabemos que en cierto instante t llega al suelo, 200 m más abajo del punto de partida, de ahí la ecuación (4): $200=V_it+\frac{1}{2}gt^2$.

Por otra parte, 5 s antes, es decir, cuando el reloj está marcando $t-5\ \rm s$, está 155 m por debajo del punto de partida. De ahí la ecuación (5): $155=V_i(t-5)+\frac{1}{2}g(t-5)^2$