Dinámica de rotación

[Fonxito]

Re: Dinámica de rotación

Ahora me concuerdan los resultados, efectivamente se puede realizar por ambos caminos y se obtienen los mismos resultados.

Muchas gracias!!

[oscarmuinhos]

Re: Dinámica de rotación

Hola Felmon38:
Reconozco que tengo que revisar estos conceptos.
Pero yo ese $\vec{ds}$ lo veo tangente a la circunferencia del cilindro, incluso en el caso de que solo haya rotación y no rodadura. Y no acierto a ver con que razonamiento se puede suponer que es nulo.

Y pensemos en un cilindro que solo pueda girar en torno a su eje y una fuerza tangencial para hacerlo girar...(por ejemplo, una polea cilíndrica con una cuerda enrollada de la que tiramos con una fuerza F). ¿Acaso esta fuerza no hace trabajo? Efectivamente que lo hace y que ese trabajo será igual a la variación de la energía cinética de rotación.
¿No sería totalmente similar este caso y el de esta fuerza de rozamiento de rodadura? Puede que lo este viendo equivocadamente, pero no acierto a ver en que.

Un saludo

[felmon38]

Re: Dinámica de rotación

Hola Oscar, "...Y para que este trabajo sea nulo al pasar de un punto a otro los vectores y tendrían que ser mutuamente perpendiculares durante todo el recorrido y este no me parece que sea el caso de un cilindro rodando.", también se puede anula el
dW cuando el ds del punto material del cilindro que está haciendo contacto y sobre el que se aplica la fuerza del suelo, sea nulo, que es el caso que nos ocupa de rodadura.
Saludos

[oscarmuinhos]

Re: Dinámica de rotación

Un inciso Oscar,

sin embargo, estoy de acuerdo con Breogan porque el diferencial del trabajo que realiza una fuerza aplicada a una partícula es el producto escalar de la fuerza por el ds de la partícula,como se define al demostrar el teorema de la energía cinética. En el caso de un sólido se aplica el mismo concepto, al discretizarlo en un sistema de partículas. Como ejemplo , el trabajo que realiza la fuerza que el filo de un cuchillo ejerce sobre la muela no es cero y sin embargo el desplazamiento del cuchillo es nulo.
Saludos

Hola Felmón38
Efectivamente que $dW = \vec{F}.\vec{ds}$
Y para que este trabajo sea nulo al pasar de un punto a otro los vectores $\vec{F}$ y $\vec{ds}$ tendrían que ser mutuamente perpendiculares durante todo el recorrido y este no me parece que sea el caso de un cilindro rodando.

De todas formas, reconozco que tendré que revisarme estos conceptos. Pero adelanto aquí mi razonamiento por si vieras algo que no se pueda aplicar:

$dW_{roz}= \vec{F}_{roz}. \vec{ds}= F_{roz}.ds.cos \pi = -F_{roz}.ds$
Este signo menos debe indicar que es un trabajo de signo opuesto al de las otras fuerzas.

Tomando ahora la ecuación de la rotación (respecto al centro de masa) y multiplicando por $ds$:
(Y adelanto que aquí tengo la duda de si podemos utilizar la ecuación de la rotación en esta forma escalar y no en la forma vectorial. Para el caso de este problema debiera de valer porque no hai ningún cambio de dirección en los vectores):
$\dst R.F_{roz}.ds= I.\alpha.ds= I.\frac{d\omega}{dt}.ds=I.d\omega.\frac{ds}{dt}=I.v.d\omega= I.\omega.R.d\omega$

Cancelando el radio $R$: $\dst F_{roz}.ds=I.\omega.d\omega$

O sea: $\dst -W_{roz}= \int -dW_{roz} = \int F_{roz}.ds=\int I.\omega.d\omega= \frac{1}{ 2}.I.\omega^2 - \frac{1}{2 }.I.\omega_0^2$

Revisaré si al introducir los vectores en estas ecuaciones los resultados no concuerdan

[felmon38]

Re: Dinámica de rotación

Un inciso Oscar,

Yo entiendo que esa fuerza de rozamiento imprescindible para que haya rodadura sí hace trabajo.

sin embargo, estoy de acuerdo con Breogan porque el diferencial del trabajo que realiza una fuerza aplicada a una partícula es el producto escalar de la fuerza por el ds de la partícula,como se define al demostrar el teorema de la energía cinética. En el caso de un sólido se aplica el mismo concepto, al discretizarlo en un sistema de partículas. Como ejemplo , el trabajo que realiza la fuerza que el filo de un cuchillo ejerce sobre la muela no es cero y sin embargo el desplazamiento del cuchillo es nulo.
Saludos

[oscarmuinhos]

Re: Dinámica de rotación

Gracias por vuestros comentarios, pero:

El problema creo que está propuesto para utilizar dinámica (para el bloque B y el cilindro A), cinemática (para las cuerdas) y momento de inercia (Para obtener la fuerza de rozamiento, la cual nos da como dato el radio de giro centroidal). No se si es buen camino pero aplicando el principio de reacciones se puede llegar a obtener la ecuación

F_roz·R=I·\alpha

Como I=m·\rho^2

Deducimos que : F_roz·R=m·\rho^2·\alpha

Al conseguir la fuerza de rozamiento se sustituye en la ecuación dinámica del cilindro

T-F_roz=m·a_A

¿Es posible que sea así?

El método de Jabato (salvo su error de no considerar el radio de giro) y Breogán es correcto.
Naturalmente que se puede hacer con las ecuaciones de Newton:

Estas ecuaciones serían:

Para el cuerpo B (tomando como sentido positivo el del movimiento):

$m_B.g -T =m_B.a_B$

Para la polea móvil (sin masa):

$T + T - T_1 =0$

Para el cilindro A:

Ecuación de traslación: $T_1 -F_{roz} = m_A.a_A$

Ecuación de rotación (respecto al centro de masas): $R.F_{roz} = m_A. \rho^2.\alpha$

Ecuaciones de relación:

$m_B = m; m_A = 9.m$

$a_B = 2.a_A$
$a_A = \alpha. R$

Al resolver estas ecuaciones se llega al mismo resultado que obtuvo Breogán

[Fonxito]

Re: Dinámica de rotación

Al no haber rozamientos puedes aplicar el teorema de la conservación de la energía mecánica y suponer que la variación de dicha energía debe ser nula:

$-mgh+\displaystyle\frac{1}{2}\left(mv^2+9m\frac{v^2}{4}\right)=0$

siendo $h$ el desplazamiento de la masa B y $v$ su velocidad. Debes tener en cuenta que los desplazamientos de la masa A son la mitad que los desplazamientos de la masa B por la geometría del sistema. Puesto que dicha ecuación debe cumplirse para todos los valores de $h$ podemos derivarla respecto del tiempo con lo que obtenemos:

$-4mgv+13mva\displaystyle=0\qquad\Longrightarrow\qquad a=\displaystyle\frac{4g}{13}$

ecuación de la que se despeja la aceleración sin problemas.

Salu2

Gracias por vuestros comentarios, pero:

El problema creo que está propuesto para utilizar dinámica (para el bloque B y el cilindro A), cinemática (para las cuerdas) y momento de inercia (Para obtener la fuerza de rozamiento, la cual nos da como dato el radio de giro centroidal). No se si es buen camino pero aplicando el principio de reacciones se puede llegar a obtener la ecuación

F_roz·R=I·\alpha

Como I=m·\rho^2

Deducimos que : F_roz·R=m·\rho^2·\alpha


Al conseguir la fuerza de rozamiento se sustituye en la ecuación dinámica del cilindro

T-F_roz=m·a_A

¿Es posible que sea así?

[oscarmuinhos]

Re: Dinámica de rotación

Hola:

En realidad creo que si hay rozamiento, por eso el cilindro rueda; pero como no se desliza se puede inferir que la fuerza de rozamiento no realiza trabajo por lo cual si es aplicable la conservación de la energía mecánica, puede ser?

Hola Breogan
Permítime una corrección conceptual:
Yo entiendo que esa fuerza de rozamiento imprescindible para que haya rodadura sí hace trabajo. ¿Como no va a hacerlo si tiene la misma dirección que el desplazamiento?.
Lo que sucede es que su trabajo es igual a la variación de la energía cinética de rotación.

En cuanto al resultado, yo obtengo el mismo resultado que tú. Y lo que parece ocurrir con el resultado de Jabato es que, en el cálculo de la energía cinética de rotación, ha utlizado el momento de inercia de un cilindro sin darse cuenta de que el enunciado le estaba dando un radio de giro para calcular el moento de inercia.

saludos

[Breogan]

Re: Dinámica de rotación

Hola:

Perdón por entrometerme en el hilo pero me gustaría expresar algunas dudas sobre su solución.

En realidad creo que si hay rozamiento, por eso el cilindro rueda; pero como no se desliza se puede inferir que la fuerza de rozamiento no realiza trabajo por lo cual si es aplicable la conservación de la energía mecánica, puede ser?

La conservación de la energía mecánica la podemos escribir como:

$\dst E_{p0} + E_{c0} = E_{pf} + E_{cf}$

o

$\dst \Delta E_p + \Delta E_c = 0$

El único cuerpo que varia su energía potencial es el cuerpo B, si ponemos el origen de coordenadas en la posición inicial de dicho cuerpo y con el eje de las y apuntando hacia arriba la variación de energía potencial quedara:

$\dst \Delta E_p = E_{pf} - E_{p0} = m_B \ g \ y - 0 = m_B \ g \ y$

La energía cinética inicial del conjunto sera igual a la suma de la energía cinética inicial de cada parte del sistema, las cuales son iguales a cero, y la final del conjunto sera la suma de las finales de cada parte: energía cinética de B + energía cinética de A + energía cinética de rotación de A, es decir:

$\dst \Delta E_c = E_{cf} - E_{c0} = E_{cf}$

$\dst \Delta E_c = \frac 1 2 \ m_B \ v_B^2 + \frac 1 2 \ m_A \ v_A^2 + \frac 1 2 \ I_A \ \omega_A^2$

planteamos las relaciones que nos da el enunciado:

$\dst v_A = \frac {v_B} 2$

$\dst m_B = m \quad y \quad m_A = 9 m_B = 9 m$

$\dst I_A = m_A R_g^2 = 9 \ m \ \left( \frac R {\sqrt{3}} \right)^2 = \frac 9 3 \ m \ R^2$

$\dst \omega_A = \frac {v_A} R = \frac {v_B}{2R}$

reemplazando en la ecuación de la variación de la energía cinética queda:

$\dst \Delta E_c = \frac 1 2 \ m \ v_B^2 + \frac 1 2 \ (9 m) \ \left( \frac {v_B} 2 \right)^2 + \frac 1 2 \ \left( \frac 9 3 \ m \ R^2 \right) \ \left(\frac {v_B} {2R} \right)^2$

$\dst \Delta E_c = \frac 1 2 \ m \ v_B^2 + \frac 9 8 \ m \ v_B^2 + \frac 9 {24} \ m \ v_B^2 = \left( \frac 1 2 + \frac 9 8 + \frac 9 {24} \right) \ m \ v_B^2$

$\dst \Delta E_c = 2 \ m \ v_B^2$

y por ultimo:

$\dst m \ g \ y + 2 \ m \ v_B^2 = 0$

$\dst g \ y + 2 \ v_B^2 = 0$

que me da distinto del resultado obtenido por Jabato, no se cual esta bien. Cualquiera de los dos resultados que este bien, el paso siguiente es el que señala Jabato, derivar la expresión anterior respecto del tiempo:

$\dst g \ \frac{\mathrm{d}y }{\mathrm{d}t } + 2 \ 2 \ v_B \ \frac{\mathrm{d}v_B }{\mathrm{d} t} = 0$

$\dst g \ v_B + 4 \ v_B \ a_B = 0$

$\dst a_B = - \frac g 4$

y

$\dst a_A = - \frac g 8$

s.e.u.o.

Suerte

Re: Dinámica de rotación

Al no haber rozamientos puedes aplicar el teorema de la conservación de la energía mecánica y suponer que la variación de dicha energía debe ser nula:

$-mgh+\displaystyle\frac{1}{2}\left(mv^2+9m\frac{v^2}{4}\right)=0$

siendo $h$ el desplazamiento de la masa B y $v$ su velocidad. Debes tener en cuenta que los desplazamientos de la masa A son la mitad que los desplazamientos de la masa B por la geometría del sistema. Puesto que dicha ecuación debe cumplirse para todos los valores de $h$ podemos derivarla respecto del tiempo con lo que obtenemos:

$-4mgv+13mva\displaystyle=0\qquad\Longrightarrow\qquad a=\displaystyle\frac{4g}{13}$

ecuación de la que se despeja la aceleración sin problemas.

Salu2

[Fonxito]

Llevo mucho tiempo intentando solucionar este problema.

Consigo hacer las ecuaciones de los hilos

2sa = sb

2va = vb

2aa = ab = 2 R

Obtengo la ecuación del bloque B:

mB · g - Tb = m· aB

Y aquí mi duda que no me deja terminar el ejercicio el análisis del cilindro A

El cilindro rueda sin deslizar entonces no se como interpretar la fuerza de rozamiento. Supongo que tengo que aplicar el momento de inercia del cuerpo, pero aun así me salen resultados extraños.

Gracias de antemano.