Divulgación Ejercicio de caida con aceleración variable en el tiempo.

[inakigarber]

Buenas noches.

Planteo el siguiente problema que no estoy seguro de haberlo resuelto satisfactoriamente.

"Una piedra se hunde con una aceleración que decrece con el tiempo según la expresión $a_{t}=ge^{-bt}$, donde b es una constante positiva que depende de la forma, el tamaño y las propiedades físicas del agua. Basándose en este resultado, deduzca una expresión para la posición de la piedra en función del tiempo, suponiendo que su velocidad inicial es cero"


Mi planteamiento es el siguiente.

$$a_{t}=ge^{-bt}$$

$$dv=ge^{-bt}dt$$

$$v=\int{ge^{-bt}dt}$$

$$v=\frac{-ge^{-bt}}{b}$$

Definiendolo entre t=t y t=0 me sale;

$$v=\frac{g}{b}-\frac{-ge^{-bt}}{b}$$

Simplificándolo.

$$v=\frac{g}{b}(1-e^{-bt})$$

Ahora calculo la posición.

$$dx=d\left[\frac{g}{b}(1-e^{-bt}\right]dt$$

$$dx=\int \left[\frac{g}{b}(1-e^{-bt})\right]dt$$

Esto me sale.

$$x=\left[\frac{g}{b}(t-\frac{ge^{-bt}}{b})\right]$$

¿Me he perdido en alguna parte? Cómo lo veis.

Un saludo y buenas noches.

el solucionario dica;

$$\boxed{X=V_{term}t-\frac{V_{term}}{b}(1-e^{-bt})}$$

[pilimafiqui]

Re: Ejercicio de caida con aceleración variable en el tiempo.

Al hacer la ultima integral tienes que sustituir por t y por cero . Al sustituir por t te da eso y si le restas la sustitucion po cero te da el resto que te falta

- - - Actualizado - - -

Es lo que hiciste con v.

[guibix]

Re: Ejercicio de caida con aceleración variable en el tiempo.

Hola inaki.

Sí, te faltan los límites de integración para $t=0.$

$$x=\int_0^t{\frac{g}{b}(1-e^{-bt})}dt$$

$$x=\frac g b(t-\frac 1 b(1-e^{-bt}))$$

La velocidad terminal es la integral de la aceleración respecto del tiempo, de $t=0$ a $t=\infty.$ En tu caso es

$$V_{term}=\int_0^{\infty}ge^{-bt}=\frac g b$$

Por lo tanto en términos de la velocidad terminal, la expresión 2 queda

$$x=V_{term}t-\frac{V_{term}}{b}(1-e^{-bt})$$

Saludos.

[inakigarber]

Re: Ejercicio de caida con aceleración variable en el tiempo.

Entiendo que sería restar a la función que me salió el valor que le correspondería para t=0. ¿Es así?.

[guibix]

Re: Ejercicio de caida con aceleración variable en el tiempo.

Entiendo que sería restar a la función que me salió el valor que le correspondería para t=0. ¿Es así?.

Sí correcto.

Si

$$\int f(x)\dd x=g(x),$$

entonces

$$\int_a^b f(x)\dd x=g(b)-g(a)$$

Salud!