Secundaria ¿Por qué un arco desvía el peso a las bases?

[Marcos Castillo]

Hola. Pongamos un arco de medio punto de sillería en seco, como por ejemplo del estilo del acueducto de Segovia. Esta es una pregunta que me ronda desde hace años:¿cómo debo dibujar los vectores correspondientes a cada dovela, para llegar a la conclusión de que el peso de la estructura es desviado a ambas bases?; ¿qué es de la componente horizontal y vertical de la compresión sobre cada dovela?;¿debo dibujar un vector para el peso de cada dovela?.

Queria haberlo dibujado, por ejemplo un arco de cinco dovelas, pero solo tengo claro lo que afecta a la dovela central o clave: un vector para el peso de la dovela, y dos vectores de compresión perpendiculares a las juntas de cada lado. O eso creo. Y el siguiente paso serían las dos dovelas adyacentes a la clave, que soportan a su vez la fuerza que ejerce la clave... Y hasta aquí llego.

Como os digo, quería haberlo dibujado, pero es que además no he podido descargar correctamente el Easy Java Simulator. ¡Un saludo!

[felmon38]

Re: ¿Por qué un arco desvía el peso a las bases?

Hola :
Tal como indicas empezamos por la clave, sobre la que actúa su peso y las fuerzas de compresión, normales a la superficie de las juntas, que suponemos sin rozamiento, y aplicamos las dos ecuaciones de la estática: suma de las fuerzas horizontales igual a cero y suma de las fuerzas verticales igual al peso de la clave, y la resolvemos Seguimos aplicando estas dos ecuaciones ordenadamente para poder resolver las incógnitas y paramos si en alguna de ellas aparece una fuerza de tracción en vez de compresión, ya que como una dovela no puede atraer a otra quiere decir que en la ecuación correspondiente hay que añadir el término de la aceleración, con lo que el arco se viene abajo. Así, si no ha surgido este problema llegamos a la última dovela que se apoya en un sillar con superficie horizontal horizontal y al calcular, la componente vertical, nos saldrá igual a la mitad del peso del arco. Si queremos evitarnos este cálculo tedioso, sumamos todas las ecuaciones correspondientes a la componente vertical y saldrá que la fuerza normal sobre los dos sillares donde se apoya el arco es igual a su peso.
Pero, ¿que pasa con las componentes horizontales? Éstas se pueden anular en las sucesivas dovelas,tal como se observa en las ecuaciones (si no aparecen las fuerzas de tracción), sin embargo, al llegar a la dovela que contacta con el sillar de la base, la componente horizontal que ejerce la dovela contigua, no se anula con la fuerza que ejerce el sillar, ya que como no existe rozamiento, esta fuerza tiene dirección normal, por lo que estas dovelas tienen una aceleración en la dirección horizontal y el arco se vendrá abajo. Moraleja: hay que echar argamasa en los sillares de la base del arco.
Saludos

[Marcos Castillo]

Re: ¿Por qué un arco desvía el peso a las bases?

Bien, en cada dovela las fuerzas se anulan. Pero al considerar el conjunto veo una "contradicción": no consideramos las fuerzas horizontales, porque se anulan en cada dovela; pero sí sumamos las verticales, a pesar de anularse en cada cuña truncada.

¡Un saludo!

[felmon38]

Re: ¿Por qué un arco desvía el peso a las bases?

Marcos, al sumar la ecuación de las componentes verticales, se van anulando las componentes verticales de las fuerzas de contacto y los pesos de las dovelas se van sumando.
Saludos

[Marcos Castillo]

Re: ¿Por qué un arco desvía el peso a las bases?

Hola, felmon38. Te adjunto el dibujo que he hecho. Sólo sé dibujar los vectores del peso de cada dovela, y las fuerzas de compresión sobre cada dovela. También sé que las fuerzas de compresión se anulan para cada dovela. Pero no sé explicar dibujando vectores que los pesos se desvían a las bases. Y no tengo conocimientos de estática para explicarlo con ecuaciones.

arco.pdf

[visitante20160513]

Re: ¿Por qué un arco desvía el peso a las bases?

La mejor respuesta creo yo es porque no se deforma. Las acciones y reacciones se componen de tal forma que la resistencia del material y los propios rozamientos son capaces de soportar su peso y en esencia puede afirmarse que el arco se comporta como un sólido rígido. De tal manera que la solución al problema se calcula fácilmente usando las leyes de la estática para un tal sólido. Su peso y el de la estructura que soporta queda compensado entonces por las reacciones en los puntos de apoyo del arco. Ahora bien los materiales que lo componen deben calcularse para soportar dichos esfuerzos, problema que resulta bastante más complejo, pero la idea principal está ya expuesta. Si alguna de las dobelas deslizara o simplemente su material no soportara las presiones a las que resulta sometido el resultado no podría calcularse con la hipótesis del sólido rígido, claro.

Salu2

[Marcos Castillo]

Re: ¿Por qué un arco desvía el peso a las bases?

¡Ya lo tengo!

Por simplificar, voy a considerar un arco de tres dovelas: la clave y las dos debajo suya, que por lo tanto serán basales. Por simplificar aún más, el arco no soporta ninguna estructura. Y voy a considerar sólo las fuerzas verticales, que eran las que me preocupaban.

Llamo $A$ a la clave, y $B$ a la de la izquierda, y $C$ a la de la derecha.

El origen de coordenadas lo sitúo en el centro de la línea de impostas (vamos, abajo en el centro):

Sumatorio del módulo de las fuerzas verticales sobre $A$: [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Sumatorio del módulo de las fuerzas verticales sobre $B$: [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Sumatorio del módulo de las fuerzas verticales sobre $C$: $\sum{\left\vert{}\vec{F}_{Cy}\right\vert{}}=-m_Cg-\left\vert{}\vec{F}_{\mbox{compresion de A sobre C}}\right\vert{}\sin\alpha+\left\vert{}\vec{F}_{\mbox{normal sobre C}}\right\vert{}=0$

Y la suma de las sumas da que actúan las fuerzas normales de $B$ y $C$ contra la suma de los pesos, y la suma es 0. ¿Qué tal?. ¡Un saludo!

[Marcos Castillo]

Re: ¿Por qué un arco desvía el peso a las bases?

Esto es más complicado de lo que parecía. A ver si mañana puedo exponerlo. De momento que nadie tenga en cuenta mi anterior mensaje.

¡Un saludo!

[Marcos Castillo]

Re: ¿Por qué un arco desvía el peso a las bases?

He conseguido demostrar que la suma de fuerzas horizontales es 0 para cada piedra, y la suma de fuerzas verticales es 0 también, pero no sé cómo demostrar en ningún caso por qué la suma de momentos es $\vec{0}$ para cada dovela.

Por simplificar, he supuesto un arco de tres piedras, las dos de la base más la clave; no existe rozamiento entre la clave y las basales, pero para que el arco no se desplome, existe rozamiento en las bases; el arco no soporta ninguna estructura más que la de su propio peso. El centro de coordenadas lo sitúo en el centro, debajo del arco. También he dibujado diagramas que explican lo que escribo en fórmulas.

Fuerzas verticales igual a 0:

Fuerzas verticales sobre la clave, a la que llamo A (diagrama Arco 1):

$\sum{F_{Ay}}=-m_A\;g+F_{BA}\sin\theta+F_{CA}\sin\theta=0$

Fuerzas verticales sobre la basal de la izquierda, que llamo B:

$\sum{F_{By}}=-m_B\;g-F_{AB}\sin\theta+F_{BN}=0$ ($F_{BN}$ es la fuerza normal del suelo)

Fuerzas verticales sobre la basal de la derecha, C:

$\sum{F_{Cy}}=-m_C\;g-F_{AC}\sin\theta+F{CN}=0$

Si sumo todas las sumas, algunas fuerzas se cancelan (diagrama Arco 2), de forma que queda:

$\sum{F_{Ay}}+\sum{F_{By}}+\sum{F_{Cy}}=-m_A\;g-m_B\;g-m_C\;g+F_{BN}+F_{CN}=0$

Es decir, las fuerzas verticales son trasladadas a las bases. En relación a las fuerzas horizontales:

$\sum{F_{Ax}}=F_{BA}\cos\theta-F_{CA}\cos\theta=0$

$\sum{F_{Bx}}=-F_{AB}\cos\theta+f_{eB}=0$ ($f_{eB}$ es el rozamiento del suelo sobre B)

$\sum{F_{Cx}}=F_{AC}\cos\theta-f_{eC}=0$

De forma que las fuerzas horizontales también son trasladadas al suelo.

Mi duda es: ¿cómo y en relación a qué punto se anulan los momentos, por ejemplo en C?. He dibujado las fuerzas sobre C (diagrama Arco 3), pero no sé convertirlas en momentos.

¡Un saludo!

[felmon38]

Re: ¿Por qué un arco desvía el peso a las bases?

Marcos, ten en cuenta que no puedes calcular el momento de la fuerza que un sillar ejerce sobre el otro porque no conoces la distribución de presiones correspondientes, entra en el campo de la Elasticidad. Yo creo que ya has resuelto tu duda.

[Marcos Castillo]

Re: ¿Por qué un arco desvía el peso a las bases?

Hola. Creo que he concretado la duda, leyendo algo. Cito:

Arch 4.pdf"Supongamos que queremos construir un arco semicircular de $6$ metros de diámetro; su altura será entonces de $3$ metros. Supongamos también que el peso que debe soportar el arco es $4\times10^4\mbox{N}$, de manera que cada uno de los soportes soporta la mitad de esa fuerza, y para estar en equilibrio deben ejercer una fuerza vertical de la misma magnitud pero en sentido opuesto.

Para lograr el equilibrio rotacional es necesario que cada soporte del arco ejerza una fuerza horizontal en la base del arco. Esta es la fuerza que queremos calcular. Las fuerzas que actúan sobre una mitad del arco se muestran en la figura (Arch 4)

Queremos que la torca neta sobre el ápice del arco sea cero, para que esté en equilibrio rotacional. Recordemos que la torca está dada por el producto de la fuerza por el radio de giro, así que la torca neta está dada por la suma de las siguientes torcas:

La torca ejercida por el peso sobre el arco en el ápice:

$T_1$=(mitad del peso)(altura del arco)=($4\times10^4\mbox{N}$)(3$\mbox{m}$)

La torca ejercida por el soporte correspondiente es:

$T_2$=(mitad del peso)(mitad del radio del arco)= ($4\times10^4\mbox{N}$)(1,5$\mbox{m}$)

La torca ejercida por la fuerza horizontal de los soportes es:

$T_3$=(fuerza horizontal)(altura del arco)=($F_H$)(3$\mbox{m}$)

De manera que la torca neta es $T_1-T_2-T_3=0$, de donde encontramos que $F_H=2\times10^4\mbox{N}$."

La duda es por qué para el cálculo de la torca $T_2$ el radio de giro es 1,5 metros, y si el punto respecto al que se calculan las torcas es el ápice.

¡Un saludo!

[felmon38]

Re: ¿Por qué un arco desvía el peso a las bases?

Marcos, un arco, con comportamiento de sólido rígido, se puede apoyar sobre un suelo sin rozamiento (no puede ejercer una fuerza horizontal ) sin que gire o se mueva. En el razonamiento considera la mitad del arco y se le olvida poner la fuerza y el momento que ejerce sobre él la otra mitad. Ah!, el radio de giro es el radio del arco

[Marcos Castillo]

Re: ¿Por qué un arco desvía el peso a las bases?

Por un momento pensé que tenía algo para trabajar. Voy a seguir a ver.

¡Un saludo!

[Marcos Castillo]

Re: ¿Por qué un arco desvía el peso a las bases?

He calculado un sumatorio de momentos respecto al origen de coordenadas. Está todo en el diagrama adjunto. ¿Voy bien?. ¡Un saludo!

arch3.pdf

[Marcos Castillo]

Re: ¿Por qué un arco desvía el peso a las bases?

Hola. Han pasado casi tres meses, y en este tiempo he ido afinando, pero me queda una duda. Primero, debía definir el arco con precisión, y creo que lo he hecho: un arco de tres piezas idénticas en forma y peso; ningún rozamiento entre ellas, pero sí entre el suelo y las basales. Además, presión constante entre todas las superficies de contacto. Esto no existe en la realidad, es una abstracción con la que pretendo aproximarme a la realidad.

La base teórica que he empleado es lo poco que he leído sobre las leyes de la estática, es decir, fundamentalmente lo que he encontrado sobre las condiciones básicas de equilibrio, que son:

1- El resultado de la suma de fuerzas es nulo: he sumado las componentes verticales y las horizontales, y dan cero (ver el diagrama adjunto):

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

2- El resultado de la suma de momentos respecto a un punto es nulo: he calculado la suma de momentos respecto al punto O del diagrama adjunto:

$\vec{M}_O(\vec{F}_{AC})=\vec{M}_O(\overrightarrow{F_x}_{AC})+\vec{M}_O(\overrightarrow{F_y}_{AC})$;


$\vec{F}_{AC}=(1'18-0'75,1'05-1'3)=(0'43,-0'25)$;


$\overrightarrow{OM}=(0'75-2,1'3-0)=(-1'25,1'3)$;


$\vec{M}_O(\vec{F}_{AC})=\overrightarrow{OM}\land\vec{F}_{AC}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\-1'25&1'3&0\\0'43&-0'25&0\end{vmatrix}=-0'25\vec{k}$.


$\overrightarrow{ON}=(1'3-2,0'75-0)=(-0'7,0'75)$;


$m_{C}\vec{g}=(1'3-1'3,0'25-0'75)=(0,-0'5)$;


$\vec{M}_{O}(m_{C}\vec{g})=\overrightarrow{ON}\land{m_{C}\vec{g}}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\-0'7&0'75&0\\0&-0'5&0\end{vmatrix}=0'35\vec{k}$.

La fuerza ejercida por el suelo anula el momento resultante antihorario, de forma que el resultado es el vector 0.

La duda es: ¿está bien puesta la fuerza del suelo?. Lo he situado como fuerza contrapuesta a $\vec{F}_{yAC}$ y $m_{C}\vec{g}$ entendidos como un sistema de fuerzas paralelas, de forma que $F_{yAC}\;d_1=m_{C}g\;d_2$ donde $d_1$ y $d_2$ son las distancias al punto $P$ del dibujo.

¡Un saludo!