2o ciclo Sistema conservativo

[escarabajo]

Hola!..¿tanto tiempo?

Tengo el siguiente problema, quería saber si llegué a los resultados correctos. Hay algo que me deja algunas dudas. Adjunto una figurita.

Se tiene un disco homogéneo de centro A, masa m y radio r. En b se tiene una masa inscrutada, también m. El sistema se mueve siempre en el plano vertical, el coeficiente de rozamiento estático disco-plano es f.

a)Suponiendo que no hay deslizamiento entre el disco y el plano, halle la ecuación de movimiento.

b)Suponiendo que m está inicialmente en una posición tal que AB es horizontal. Halle la condición para que el disco no deslice en un entorno del instante inicial.

c)Suponiendo que m está inicialmente en una posición tal que B está en la posición más alta. Halle las condiciones a verificarse para las restantes condiciones inciales de modo que no haya deslizamiento entre el disco y el plano.

Bien.

Mis resultados son estos:

a)

$\displaystyle \frac{5}{2}\ddot{\phi}R-g\cos \phi=0$


b) $f>1/5$

c) $f<1/5$

Mmmuy agradecido si alguien me puede confirmar esos resultados, ya que en las soluciones del práctico no figuran las de este problema.

Saludos.

[pod]

Re: Sistema conservativo

¿Podrías poner el procedimiento que has seguido para sacar los resultados?

[escarabajo]

Re: Sistema conservativo

¿Podrías poner el procedimiento que has seguido para sacar los resultados?

Ok. Ahora re escribiendo el planteo encontré algunas fallas.

En primer lugar, creo que había calculado mal el momento de inercia del sistema respecto al punto A.

Por otro lado, muy alegremente me planteé la 2da cardinal $M_{A}^{ext}=I\alpha$ en el punto A, cosa que creo que no es correcta porque A no es un punto fijo, ni el CM. ¿cierto?

Creo que seria conveniente calcular el CM del sistema, calcular el momento de inercia respecto al mismo y aplicar momentos ahí.

¿Qué me sugeris?

Gracias por responder.

Saludos.

[pod]

Re: Sistema conservativo

El momento de inercia se puede calcular respecto de cualquier eje. Pero para que sea útil tiene que ser un eje de rotación del sistema. Este sistema tiene dos ejes de rotación: el permanente que es A, y el instantáneo que es el de contacto con el suelo.

[escarabajo]

Re: Sistema conservativo

Hola.

Ok. Bueno acá voy a plantear el procedimiento. Adjunto un dibujito.

Newton en horizontal y vertical. Tomo un punto de referencia y a partir de allí mido la distancia "x".

Parte a

$T=2m\ddot{x}$

$N=2mg$

Momentos en A.

$I_A=\displaystyle \frac{1}{2}mR^2(1+2cos ^2 \phi)$

$TR-mgRcos \phi=I_A\ddot{\phi}$

Rodadura sin deslizar: $-\ddot{\phi}R=\ddot{x}$

Sustituyendo T en la ecuación de momentos y usando rodadura:

$\boxed{\displaystyle \ddot{\phi}R\left(\frac{5}{2}+cos ^2 \phi \right)+gcos \phi=0}$ Ecuación de movimiento.

Parte b

La condición de no deslizamiento es $|T|<f N$
Supongo que en un instante inicial simplemente puedo despejar de la ecuación de movimiento $\ddot{\phi}$ usando $\phi=0$

$\ddot{\phi}=-2g/7R \Rightarrow |T|=2mg/7 \Rightarrow 1<7f \Rightarrow \boxed{f>1/7}$

Parte c

Despejo la aceleración angular, hallo la tensión e impongo lo mismo:

$\boxed{f>\displaystyle \frac{2cos \phi}{5+2cos \phi}}$

Mmmmm....eso sería todo, me disculpo por todos los disparates!

Agradezco que me marquen los errores.

Saludos.

[Jose D. Escobedo]

Re: Sistema conservativo

escarabajo, en el post #1 mensionaste que el movimiento era vertical y despues muestras unas figuras en movimiento horizontal. Tambien, inicialmente no vi en tu planteamiento alguna tension y despues hablas de la tension. No crees que es un poco confuso tu problema?

[escarabajo]

Re: Sistema conservativo

escarabajo, en el post #1 mensionaste que el movimiento era vertical y despues muestras unas figuras en movimiento horizontal. Tambien, inicialmente no vi en tu planteamiento alguna tension y despues hablas de la tension. No crees que es un poco confuso tu problema?

Ehhh, en realidad, está algo mal redactado ahora que lo re leí. Cuando se menciona "el sistema se mueve sobre el plano vertical" quizás sería más claro decir "el sistema se mueve siempre en el plano vertical". Esto quiere decir que no hay que estudiar posibles rotaciones en direcciones que no sean la entrante/saliente al plano en el que está el sistema.

Con respecto a las tensiones, mmm, no sé en qué momento hablé de una tensión, a lo mejor te mareó que usara la letra "T", que se suele usar para tensiones, pero, en este caso le llame T al rozamiento del disco con el piso.

Saludos.

PD: Ya corregí el enunciado.

[pod]

Re: Sistema conservativo

Recuerda que sólo puedes considerar que un movimiento se descompone en una rotación + traslación desde ciertos puntos especiales. En especial, puedes hacerlo desde el centro de masas. Pero A no es el centro de masas, así que no puedes hacerlo. Tienes que aplicar la segunda ley de newton a todos los cuerpos involucrados. Para la la masa incrustada tienes dos fuerzas: su peso, y la fuerza que ejerce el disco sobre ella (e impide que se caiga en linea recta, la llamaremos $f$). Esta fuerza puede tener componentes en las dos direcciones, así que, en general,

$$\begin{aligned}<br /> f_x & = m \left( a - \ddot\phi R \sin\phi \right) = - m \ddot\phi R (1+\sin\phi) \ , \\<br /> f_y - m g & = m \ddot\phi R \cos\phi \ .<br /> \end{aligned}$$

Para el disco, todo es similar, hay que incluir la reacción a $f_m$;

$$\begin{aligned}<br /> -T-f_x & = m a \ , \\<br /> N-mg - f_y & = 0 \ .<br /> \end{aligned}$$

Juntando estas dos cosas tenemos una expresión para el rozamiento y la normal:

$$\begin{aligned}<br /> T & = m R\ddot\phi + m R\ddot\phi (1+\sin\phi) = m R \ddot\phi \big(2+\sin\phi\big) \ , \\<br /> N & = m \Big( g + \big( g + R \ddot\phi \cos\phi \big)\Big) = m \big( 2g + R \ddot\phi \cos\phi \big) \ . <br /> \end{aligned}$$

Lo último es considerar el movimiento circular del disco, con $I = \frac12 m R^2$:

$$-TR - \cos\phi R f_y + \sin\phi R f_x = I \ddot\phi\ .$$

Ahora sólo te queda substituir. Para hacer los siguientes apartados, tienes que imponer que $\mu N \ge T$.


Otra forma de hacer este problema es usando el centro instantáneo de rotación, que es el punto de contacto con el suelo. Este sistema sí te permite tratar el cuerpo como un sólido rígido (este sí es un punto fijo en la rotación, instantáneamente). En este caso, el momento de inercia total, $I' = I_\text{disco} + I_\text{masa}$ es más complicado de calcular. Por el teorema de Steiner, $I_\text{disco} = \frac32 m R^2$. El de la masa es el complicado, $I_\text{masa} = m d^2$, donde $d$ es la distancia de la masa al punto de contacto. La mejor manera de calcularla es poner coordenadas, la masa está en $(R\cos\phi,\ R\sin\phi)$, mientras que el centro instantáneo de rotación estará en $(0,\ -R)$, así que la distancia será

$$d^2 = R^2\cos^2\phi + R^2 (1+\sin\phi)^2 = 2 R^2 \Big( 1 +\sin\phi \Big) \ .$$

Por lo tanto, el momento de inercia total

$$I' = m R^2 \left( \frac72 + 2 \sin\phi \right) \ .$$

El otro cálculo importante es el momento de de la fuerza (en este caso, la única que importa es el peso de la masa, ya que el rozamiento ejerce momento cero desde este centro). Básicamente hay que hacer un producto escalar,

$$\vec\tau = \vec r \times \vec F = \left|<br /> \begin{array}{ccc}<br /> \hat\imath & \hat\jmath & \hat k \\<br /> R\cos\theta & -R(1+\sin\theta) & 0 \\<br /> 0 & -mg & 0 <br /> \end{array}\right|<br /> = - m g R \cos\phi \hat k \ .<br />$$

El signo negativo tiene que ver con la elección rara que hemos hecho de los ejes (OX hacia la derecha, OY hacia arriba y por lo tanto OZ sale de la pantalla hacia nosotros). Pero eso no debe preocuparte. Simplemente, pon la ecuación del movimiento:

$$\tau = I \ddot\phi \ ,$$

Por lo tanto,

$$m g R \cos\phi = - m R^2\left(\frac72 + 2\sin\phi\right) \ddot\phi \ .$$

Naturalmente, ambos métodos te darán lo mismo.

[Jose D. Escobedo]

Re: Sistema conservativo

Yo tambien trabaje este problema y mi resultado es muy similar al de Pod.

energia cinetica del disco $\frac{1}{2} m\dot{x}^2 +\frac{1}{2}I\dot\phi^2$

En el caso de la particula incrustada en el disco la velocidad al cuadrado es:$\vec{\dot r}\cdot\vec{\dot r}= \dot x^2 + r^2\dot\phi^2 + 2\dot{x}r\dot\phi\cos\phi$

$L=\frac{3}{4}m\dot x^2 +\frac{1}{2}m\dot x^2 +\frac{1}{2}mr^2\dot\phi^2 + m\dot{x}r\dot\phi\cos\phi + mgr\sin\phi$ ; pero con la condicion de rodamiento sin deslizamiento $r \dot\phi = \dot{x}$=> $L=\frac{7}{4}mr^2\dot\phi^2 + mr^2\dot\phi^2\cos\phi + mgr\sin\phi$

=> $\frac{7}{2}mr^2\ddot\phi + 2mr^2\ddot\phi\cos\phi - mgr\cos\phi = 0$

=> [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] .

[Jose D. Escobedo]

Re: Sistema conservativo

lo ultimo era algo como esto :

$\ddot\phi \left( \frac{7}{2} + 2 \cos\phi \right) = \frac{g}{r}\cos\phi$.

[pod]

Re: Sistema conservativo

lo ultimo era algo como esto :

$\ddot\phi \left( \frac{7}{2} + 2 \cos\phi \right) = \frac{g}{r}\cos\phi$.

Puedes usar el botón rojo llamado "Editar" para arreglar esas cosas Te salió un error por que cambiaste una llave por un claudátor: \frac{g]{r} en vez de \frac{g}{r}. Por eso yo siempre escribo \frac g r (cuando sólo hay un carácter, no hacen falta llaves).

[Jose D. Escobedo]

Re: Sistema conservativo

Gracias Pod

[escarabajo]

Re: Sistema conservativo

Antes que nada, gracias Pod por tu respuesta. Me vino bien ese otro método que me diste, al plantear todo en el punto de contácto con el suelo. Gracias también por tu aporte Jose D.Escobedo.

El planteo de Pod lo entendí, aunque estoy notando que hay demasiadas "cositas" que no se pueden hacer si no es el centro de masa, ¿alguien tiene algún documento con teoría de rígidos en la que pueda leer este tipo de cosas? Digo, hay algo que ya se los firmo, a partir de hoy hago todo en el centro de masa y me dejo de joder.

Una pregunta José, ¿qué ángulo $\phi$ te tomáste? Porque a mi el módulo al cuadrado de la partícula incrustada me queda:

$\dot{r}^2=\dot{x}^2+R^2\dot{\phi}^2-2\dot{x}\dot{\phi}Rcos \phi$

Usando el ángulo marcado en el dibujo que puse en el otro post.

Saludos.

[Jose D. Escobedo]

Re: Sistema conservativo

el vector de posicion de la particula en el disco es: $\vec{r} = x\hat i + r \hat j + r\hat e_r$

=> la velocidad es: $\vec{\dot r}= \dot x \hat i + 0 \hat j + 0 \hat e_r + r\dot \phi \hat e_\phi$

=> $v^2 = \vec \dot r \cdot \vec \dot r$ y recuerda que $\vec r$no es igual a "r" , por que "r" es el radio del disco y tambien tienes que recordar que es constante.

Finalmente, despues de terminar con el calculo del producto escalar o "dot product" uno de los factores que obtendras sera: $\hat i \cdot \hat e_\phi = \cos \left( 90 + \phi \right) = \sin \phi$ de donde yo cometi el error y donde Pod tiene la razon al escribir $\sin \phi$ en vez de $\cos \phi$.

Gracias por preguntar; por que de esta manera localize mi error.

[pod]

Re: Sistema conservativo

Antes que nada, gracias Pod por tu respuesta. Me vino bien ese otro método que me diste, al plantear todo en el punto de contácto con el suelo. Gracias también por tu aporte Jose D.Escobedo.

El planteo de Pod lo entendí, aunque estoy notando que hay demasiadas "cositas" que no se pueden hacer si no es el centro de masa, ¿alguien tiene algún documento con teoría de rígidos en la que pueda leer este tipo de cosas? Digo, hay algo que ya se los firmo, a partir de hoy hago todo en el centro de masa y me dejo de joder.

Una pregunta José, ¿qué ángulo $\phi$ te tomáste? Porque a mi el módulo al cuadrado de la partícula incrustada me queda:

$\dot{r}^2=\dot{x}^2+R^2\dot{\phi}^2-2\dot{x}\dot{\phi}Rcos \phi$

Usando el ángulo marcado en el dibujo que puse en el otro post.

Saludos.

Este problema sería horrible en el centro de masas. Fíjate que el centro de masas está en algún lugar del radio vector que une A y B, o sea que al ir rondado la "rueda", el centro de masas describe un cicloide. El centro de masas es útil cuando está quieto o sigue un movimiento uniforme (incluso serviría si fuera uniformemente acelerado, probablemente). Pero este no es el caso, este sistema tiene fuerzas externas (el rozamiento y la normal) que dependen del tiempo. Por eso, lo mejor es buscar un punto fijo en la rotación (aunque sólo sea instantáneo).