1r ciclo Energía potencial gravitatoria

[Bustikiller]

Buenas! Tengo un ejercicio de un examen de Mecánica que me parece un poco complejo y quería ver si estáis de acuerdo con la solución que planteo a continuación:

"Estime la energía potencial gravitatoria de una galaxia esférica de radio $R= 10^{21} m$ y que contiene $10^{11}$ estrellas, cada una con una masa igual a la del sol. Supóngase que la galaxia es uniformemente densa."

El campo gravitatorio en un punto interior a la galaxia viene dado por la ley de Gauss:

$$\oint \vec{E} \cdot d\vec{S} = -4\pi GM_{int}$$

La masa interior viene dada por:

$$M_{int} = \rho \frac43 \pi r^3$$

con

$$\rho=\frac{10^{11} M_S}{\frac43 \pi R^3}$$

De (1) sabemos que

$$E = \frac{G M_{int}}{r^2}$$

La fuerza ejercida hacia el interior por un diferencial de masa es (hablando en términos de módulo, ya que la fuerza es central).

$$dF = dm E$$

Y la energía que tiene un diferencial de masa al encontrarse a una distancia r en el interior de la esfera es igual a:

$$dW=\int_0^r dF dr = \int_0^r dm \frac{G M_{int}}{r^2} dr$$

El diferencial de masa es igual a la densidad por el diferencial de volumen:

$$dm = \rho dV$$

La energía total resultaría de integrar la expresión anterior:

$$W = \int_V dW = \int_V \int_0^r \rho \frac{G M_{int}}{r^2} dr dV$$

¿Qué os parece?

Un saludo!

[Weip]

Re: Energía potencial gravitatoria

Si te piden energía potencial gravitatoria (y no el incremento de energía), acuérdate de razonar después porqué coges solo la energía en un punto y no la diferencia. También decir que si calculas la energía potencial, entonces:

$\Delta U=-\dst\int_\gamma \vec{F} d\vec{r}$

Cuidado con el signo, que no lo has puesto. Por lo demás no veo ningún error de razonamiento.

[Bustikiller]

Re: Energía potencial gravitatoria

Cierto, el signo es una de mis debilidades. Gracias =)