Secundaria Trabajo realizado con una fuerza Cte.

[The Higgs Particle]

Hola. Como ya dije en un post anterior, estoy comenzando con las integrales (definidas) y a aplicarlas a la física. Por ello, me haríais un gran favor al decirme si estos desarrollos están bien hechos y cómo mejorarlos, empleando una mayor rigurosidad, por ejemplo, ya que quiero ir acostumbrándome a ello.

Voy a intentar conseguir la expresión del trabajo realizado en el intervalo (A, B) si la fuerza es constante.

1. Escalarmente

$dW = F \cdot dS = {\int}^{B}_{ A} (F \cdot dS) = F \cdot {\int}^{B}_{ A} (ds) = F \cdot [{S}_{A } - {S}_{B}] \to W = F \cdot \Delta S$

2. Vectorialmente

$dW = \vec{F} \cdot d \vec{r}$, donde $\vec{F} = |{\vec{{F}_{ x}}}| \cdot \vec{i} + |{\vec{{F}_{ y}}}| \cdot \vec{j} + |{\vec{{F}_{ z}}}| \cdot \vec{k}$, y donde $d\vec{r} = |\vec{{dr}_{x }}| \cdot \vec{i} + |\vec{{dr}_{y }}| \cdot \vec{j} + |\vec{{dr}_{z }}| \cdot \vec{k}$, por lo que:

$W = \vec{F} \cdot {\int}^{{x}_{B}, {y}_{B }, {z}_{B }}_{ {x}_{A }, {y}_{A }, {z}_{A }} ({dr}_{x } \vec{i} + {dr}_{y } \vec{j} + {dr}_{z } \vec{k})$ $\to W = \vec{F} \cdot [{\int}^{{x}_{ B}}_{{x}_{A }} ({dr}_{x } \vec{i}) + {\int}^{{y}_{ B}}_{{y}_{A }} ({dr}_{y } \vec{j}) + {\int}^{{z}_{ B}}_{{z}_{A }} ({dr}_{z } \vec{k})]$ $= (|\vec{{F}_{x }}| \cdot ({x}_{B } - {x}_{A })) \vec{i} + (|\vec{{F}_{y }}| \cdot ({y}_{B } - {y}_{A })) \vec{j} + (|\vec{{F}_{z }}| \cdot ({z}_{B } - {z}_{A })) \vec{k}$

Pudiendo concluir que:

$W = (|\vec{{F}_{x }}| \cdot \Delta {r}_{x }) \vec{i} + (|\vec{{F}_{y }}| \cdot \Delta {r}_{y }) \vec{j} + (|\vec{{F}_{z }}| \cdot \Delta {r}_{z }) \vec{k}$

Muchísimas gracias, de verdad.

[Weip]

Re: Trabajo realizado con una fuerza Cte.

En la segunda expresión tampoco hace falta operar con componentes. Puedes proceder así:

$W=\dst\int \limits_{a}^{b}\vec{F} \cdot d\vec{r}=\dst\int \limits_{a}^{b} Fdr \cos \alpha=F\Delta r \cos \alpha$

Fíjate que mi resultado y el tuyo son los mismos, solo que dejo el producto escalar ya hecho.

[The Higgs Particle]

Re: Trabajo realizado con una fuerza Cte.

O sea, que mejor que la conclusión sea esta :

$W = (|\vec{{F}_{x }}| \cdot \Delta {r}_{x }) \vec{i} + (|\vec{{F}_{y }}| \cdot \Delta {r}_{y }) \vec{j} +$ $(|\vec{{F}_{z }}| \cdot \Delta {r}_{z }) \vec{k} =$ $|\vec{F}| \cdot \Delta |\vec{r }| \cdot \cos \alpha$

Gracias, Weip!

- - - Actualizado - - -

¿Dónde he puesto eso, Felmon? ¿Te refieres a $\vec{F} = |{\vec{{F}_{ x}}}| \cdot \vec{i} + |{\vec{{F}_{ y}}}| \cdot \vec{j} + |{\vec{{F}_{ z}}}| \cdot \vec{k}$? ¿No es $\vec{{F}_{ x}} = |\vec{{F}_{ x}}|\vec{i}$?

[felmon38]

Re: Trabajo realizado con una fuerza Cte.

La componente de un vector sobre un eje tiene signo, y el módulo de la componente de un vector sobre un eje tiene signo positivo.
Saludos

[The Higgs Particle]

Re: Trabajo realizado con una fuerza Cte.

Gracias por contestar, Felmon. ¿Cómo tendría que ponerlo entonces?

[felmon38]

Re: Trabajo realizado con una fuerza Cte.

$\vec{F}={F}_{ x}.\vec{i}$ +...

Saludos

[The Higgs Particle]

Re: Trabajo realizado con una fuerza Cte.

Perdona mi ignorancia en esto, ya que soy nueva. Pero, ¿no es ${F}_{x } = |\vec{{F}_{ x}}|$? Es decir, a mí me han dicho que poner un vector "sin flechita" es lo mismo que poner el módulo. ¿Es eso incorrecto?

[felmon38]

Re: Trabajo realizado con una fuerza Cte.

Para mí F_x = $\pm$|F_x|, ahora, si en clase lo hacéis de otra manera, no me hagas caso.

[Weip]

Re: Trabajo realizado con una fuerza Cte.

Perdona mi ignorancia en esto, ya que soy nueva. Pero, ¿no es ${F}_{x } = |\vec{{F}_{ x}}|$? Es decir, a mí me han dicho que poner un vector "sin flechita" es lo mismo que poner el módulo. ¿Es eso incorrecto?

Es la notación que se suele usar en física.

En cuanto a lo que dice felmon, normalmente el signo también acompaña a $F_x$ de forma que $F_x=\left\vert{\vec{F_x}} \right\vert{}$ y $-F_x=-\left\vert{\vec{F_x}} \right\vert{}$. En mi opinión esta notación no lleva a confusiones y es bastante clara.

[angel relativamente]

Re: Trabajo realizado con una fuerza Cte.

Hola, voy a ver qué pegas sacamos, solo por ser puntilloso la demostración en general está bien.

$dW = F \cdot dS = {\int}^{B}_{ A} (F \cdot dS)$

eso claramente está mal, entiendo que lo que querías poner es que $dW = F \cdot dS \Rightarrow W_{A\to B}= {\int}^{B}_{ A} (F \cdot dS)$

$F \cdot {\int}^{B}_{ A} (ds) = F \cdot [{S}_{A } - {S}_{B}]$

Aquí has aplicado Barrow al revés.

Lo de las componentes que indica Felmon le apoyo. Con el módulo lo que indicas es el valor positivo de cada componente, si acaso abría que ponerle un $\pm$ como indica.

Lo demás lo veo bien, pero toma el consejo de Weip. Operando así es engorroso de trabajar y difícil de leer.

[The Higgs Particle]

Re: Trabajo realizado con una fuerza Cte.

Muchas gracias por vuestros consejos, tomaré nota: intentaré no expresar los vectores con las componentes y tendré cuidado al escribir $|\vec{{F}_{x }}|$ (sólo lo usaré para cuando sea positiva o indicando previamente el signo negativo).

Pero ángel, sobre lo que me has dicho tengo una duda. ¿Qué es lo de Barrow?

[Weip]

Re: Trabajo realizado con una fuerza Cte.

Muchas gracias por vuestros consejos, tomaré nota: intentaré no expresar los vectores con las componentes y tendré cuidado al escribir $|\vec{{F}_{x }}|$ (sólo lo usaré para cuando sea positiva o indicando previamente el signo negativo).

Pero ángel, sobre lo que me has dicho tengo una duda. ¿Qué es lo de Barrow?

La regla de Barrow es el resultado teórico que aplicas para resolver integrales definidas:

$\dst\int \limits_{a}^{b} f(x)dx=F(b)-F(a)$

Ángel se refiere a que lo has hecho al revés, $S_A-S_B$ debería ser $S_B-S_A$.

[The Higgs Particle]

Re: Trabajo realizado con una fuerza Cte.

Todo aclarado. Muchas gracias a todos!