Otras carreras Problema caída libre

[fuentes225]

Hola a todos, me gustaría que me corrigiesen este problema, si no es molestia ya que como en muchos problemas te dan datos que luego no se usan y en este caso la masa de la maleta (15kg) me confunde ya que no la he usado para ningún cálculo.

Desde un helicoptero que esta quieto en el aire se deja caer una maleta de 15 kg desde una altura de 250 m.
Suponiendo que no hay rozamiento del aire calculad:
a) La velocidad maxima, vmax, a la que llega la maleta durante la cada
Ya que se trata de un movimiento uniformemente acelerado la velocidad máxima será aquella justo antes de impactar contra el suelo, es decir Vmáx=Vfinal
Además, tenemos que Vo=0.
Tenemos que: h=(Vfinal-Vo)/2*g ahora despejamos Vfinal en la fórmula, tiendo en cuenta que Vo=0 y tenemos que Vfinal=raíz(h*2*g) y si sustituimos obtenemos 70.035m/s


b) La altura en la cual la velocidad de la maleta es la mitad de vmax

A partir de la formúla Vf^2 =2*g*h despejamos la altura y resolvemos la ecuación escribiendo como Vf(=Vmáx) la mitad de 70.035, es decir, 35.017 y obtenemos como altura 62.50m

[Visitante]

Re: Problema caída libre

Es correcto, seguramente el peso te lo habrán puesto para tratar de despistarte...

[MrM]

Re: Problema caída libre

Es correcto, seguramente el peso te lo habrán puesto para tratar de despistarte...

Seguramente la masa (no peso) la dan para darle la posibilidad de hacerlo mediante la conservación de la energía mecánica. Aunque en mi opinión es más simple del modo en el que lo ha hecho él, pero parece un problema planteado para hacerlo por energía.

$E_m=E_p+E_c$. Como el helicóptero está quieto, la energía cinética inicial es 0, luego $E_m=E_p=mgh=36787,5J$.

Al llegar al suelo, toda esa energía es energía cinética, luego $E_c=E_m=36787,5=\frac{1}{2}m{v}^{2} \Rightarrow v=70,03m{s}^{-1}$.

Para el apartado b, usamos nuevamente la fórmula $E_m=E_p+E_c$. En concreto, hacemos $E_m=mgh+\frac{1}{2}m{(\frac{v}{2})}^{2}$. Despejando h, nos debería quedar (no he hecho los cálculos porque no tengo calculadora a mano) 62,5m.

Ambos métodos están bien, aunque para mí el apartado b es más simple con las ecuaciones del movimiento, pues con la conservación de la energía se tarda un poco más en calcular la altura.

Un saludo.

[nielsBohr]

Re: Problema caída libre

Seguramente la masa (no peso) la dan para darle la posibilidad de hacerlo mediante la conservación de la energía mecánica.

Para cualquiera de los dos métodos, la masa no es necesaria; debido a que solo consideraremos la energía potencial gravitatoria y la energía cinética:

$E_m = E_g + E_c = \frac{E_m}{m} = \frac{E_g + E_c}{m} = \frac{m \cdot g \cdot h}{m} + \frac{m \cdot v^2 / 2}{m} = g \cdot h + v^2 / 2$

En ambos casos límite ($V_0 = 0 \quad ; \quad h = 0$) igualamos la energía mecánica de la maleta con la potencial gravitatoria al inicio y la cinética al final.

$\frac{E_g(V_0 = 0)}{m} = \frac{E_c(h = 0)}{m} = g \cdot h = {v_f}^2 / 2 \quad \to \quad v_f = \sqrt{2gh} = 70 \text{m/s}$


Para el punto B es esencialmente lo mismo, lo importante es entender que la suma $g \cdot h + v^2 / 2$ se mantiene constante a lo largo de todo el trayecto, igual a la energía mecánica de la maleta.

[fuentes225]

Re: Problema caída libre

Muchas gracias a todos de verdad, sois unas auténticas máquinas!

- - - Actualizado - - -

Perdonad jaja tengo un duda, hago el apartado b) según las dos formas que me estáis diciendo y obtengo resultados diferentes. @MrM , cuando despejo h, obtengo h=(Em-(v^2/2))/g , siendo v la mitad de la velocidad máxima(perdón, pero tengo que aprender a usar los comandos para escribir fórmulas) y me da una burrada. ¿En qué estoy fallando? Muchas gracias amigos por su ayuda.

Seguramente la masa (no peso) la dan para darle la posibilidad de hacerlo mediante la conservación de la energía mecánica. Aunque en mi opinión es más simple del modo en el que lo ha hecho él, pero parece un problema planteado para hacerlo por energía.

$E_m=E_p+E_c$. Como el helicóptero está quieto, la energía cinética inicial es 0, luego $E_m=E_p=mgh=36787,5J$.

Al llegar al suelo, toda esa energía es energía cinética, luego $E_c=E_m=36787,5=\frac{1}{2}m{v}^{2} \Rightarrow v=70,03m{s}^{-1}$.

Para el apartado b, usamos nuevamente la fórmula $E_m=E_p+E_c$. En concreto, hacemos $E_m=mgh+\frac{1}{2}m{(\frac{v}{2})}^{2}$. Despejando h, nos debería quedar (no he hecho los cálculos porque no tengo calculadora a mano) 62,5m.

Ambos métodos están bien, aunque para mí el apartado b es más simple con las ecuaciones del movimiento, pues con la conservación de la energía se tarda un poco más en calcular la altura.

Un saludo.

[MrM]

Re: Problema caída libre

Muchas gracias a todos de verdad, sois unas auténticas máquinas!

- - - Actualizado - - -

Perdonad jaja tengo un duda, hago el apartado b) según las dos formas que me estáis diciendo y obtengo resultados diferentes. @MrM , cuando despejo h, obtengo h=(Em-(v^2/2))/g , siendo v la mitad de la velocidad máxima(perdón, pero tengo que aprender a usar los comandos para escribir fórmulas) y me da una burrada. ¿En qué estoy fallando? Muchas gracias amigos por su ayuda.

En varias cosas. En la expresión de h has puesto $\frac{{v}^{2}}{2}$, aunque la expresión correcta sería ${(\frac{v}{2})}^{2}$. O, lo que es lo mismo, $\frac{{v}^{2}}{{2}^{2}}$.

Además, al despejar las masas han desaparecido. Vamos a despejar h en la expresión $E_m=mgh+\frac{1}{2}m{(\frac{v}{2})}^{2}$. En principio lo voy a hacer de modo sistemático, pero si tienes alguna duda sobre algún paso dímelo y te lo explicaré.
$E_m=mgh+\frac{1}{2}m{(\frac{v}{2})}^{2} \Rightarrow E_m=m(gh+\frac{1}{2}{(\frac{v}{2})}^{2}) \Rightarrow \frac{E_m}{m}=gh+\frac{1}{2}{(\frac{v}{2})}^{2}$

$\frac{E_m}{m}-\frac{1}{2}{(\frac{v}{2})}^{2}=gh \Rightarrow h=\frac{\frac{E_m}{m}-\frac{1}{2}{(\frac{v}{2})}^{2}}{g}$

Despejando, obtenemos h=187,56, que es el resultado correcto.

Ahora bien, ¿por qué a ti te ha dado 62,5m?
Muy sencillo, tú has utilizado una versión "simplificada" de la ecuación ${v_f}^{2}={v_0}^{2}+2a(x-x_0) \Rightarrow {v_f}^{2}={v_0}^{2}+2a\Delta x$. El "h" que tú has calculado no es la altura a la que se encuentra el objeto, sino la distancia que recorre desde que es lanzado del helicóptero hasta que alcanza una velocidad de 35m/s (la distancia recorrida se expresa como $\Delta x=x_f-x_0$). Como el helicóptero se encuentra a 250m y la maleta recorre 62,5m, su altura será de h=250-65,2=184,8 (hay un ligero error en el cálculo de esta medida, probablemente por los decimales que hemos tomado al calcularla, pero no es nada importante).

Ayer no me di cuenta de que habías considerado que la altura era la distancia recorrida, lo siento.

Por lo tanto, la solución final sería que está a una altura de 184,8m.

Para cualquiera de los dos métodos, la masa no es necesaria; debido a que solo consideraremos la energía potencial gravitatoria y la energía cinética:

$E_m = E_g + E_c = \frac{E_m}{m} = \frac{E_g + E_c}{m} = \frac{m \cdot g \cdot h}{m} + \frac{m \cdot v^2 / 2}{m} = g \cdot h + v^2 / 2$

En ambos casos límite ($V_0 = 0 \quad ; \quad h = 0$) igualamos la energía mecánica de la maleta con la potencial gravitatoria al inicio y la cinética al final.

$\frac{E_g(V_0 = 0)}{m} = \frac{E_c(h = 0)}{m} = g \cdot h = {v_f}^2 / 2 \quad \to \quad v_f = \sqrt{2gh} = 70 \text{m/s}$


Para el punto B es esencialmente lo mismo, lo importante es entender que la suma $g \cdot h + v^2 / 2$ se mantiene constante a lo largo de todo el trayecto, igual a la energía mecánica de la maleta.

La masa no es necesaria en el apartado a), pero sí en el apartado b). Aquí ya no podemos igualar las fórmulas de energía cinética y potencial, sino que tenemos que hacer $E_m=E_p+E_c$.

Esto puede expresarse de dos maneras:
$E_m=mgh+\frac{1}{2}m{v}^{2}$ o $\frac{E_m}{m}=gh+\frac{1}{2}{v}^{2}$. Ambas fórmulas son equivalentes, pero en ambas aparece la masa. En la última parte del comentario dices "lo importante es entender que la suma se mantiene constante a lo largo de todo el trayecto, igual a la energía mecánica de la maleta.", sin embargo, la suma $gh+\frac{1}{2}{v}^{2}$ no es igual a la energía mecánica, sino a la energía mecánica partido la masa ($gh+\frac{1}{2}{v}^{2}=\frac{E_m}{m}$), lo cual nos lleva nuevamente a una expresión en la que aparece la masa.

Un saludo.

[nielsBohr]

Re: Problema caída libre

[...]La masa no es necesaria en el apartado a), pero sí en el apartado b). Aquí ya no podemos igualar las fórmulas de energía cinética y potencial, sino que tenemos que hacer $E_m=E_p+E_c$.[...]

Creo que no me expresé correctamente, al trabajar únicamente con energía potencial gravitatoria y cinética, la masa no es necesaria en ambos apartados. Quizá debería haber desarrollado el punto b, ya que es levemente más complejo. Como dije:

[...]En ambos casos límite ($V_0 = 0 \quad ; \quad h = 0$) igualamos la energía mecánica de la maleta con la potencial gravitatoria al inicio y la cinética al final.[...]

Es decir, igualamos la energía mecánica de la maleta con la potencial gravitatoria de la misma al inicio de la trayectoria (ya que $V_0 = 0 \to E_c(V_0) = 0$); como tambíen podríamos igualar la energía mecánica con la cinética al final de la trayectoria (ya que $h_f = 0 \to E_g(h_f) = 0$):

$E_m = E_m(\text{INICIO}) = E_m(\text{FINAL})$
$E_m = E_g(\text{INICIO}) + E_c(\text{INICIO}) = E_g(\text{FINAL}) + E_c(\text{FINAL})$
$E_m = m \cdot g \cdot h_0 + m \cdot {v_0}^2 / 2 = m \cdot g \cdot h_f + m \cdot {v_f}^2 / 2$

Como $V_0 = 0$ y $h_f = 0$:

$E_m = m \cdot g \cdot h_0 = m \cdot {v_f}^2 / 2$
$\frac{E_m}{m} = \frac{m \cdot g \cdot h_0}{m} = \frac{m \cdot {v_f}^2 / 2}{m}$
$\frac{E_m}{m} = g \cdot h_0 = {v_f}^2 / 2$

Para el punto a:

$g \cdot h_0 = {v_f}^2 / 2 \quad \to \quad v_f = \sqrt{2 \cdot g \cdot h_0} = \sqrt{2 \cdot 9.8 \cdot 250} \cdot \text{m/s} = \sqrt{4900} \cdot \text{m/s} = 70 \cdot \text{m/s}$

Para el punto b (por comodidad, llamemos $h_v$ a la altura de la maleta cuando su velocidad es igual a la mitad de la velocidad máxima, o final):

$E_m(V = V_f/2) = E_g(V = V_f/2) + E_c(V = V_f/2) = m \cdot g \cdot h_v + m \cdot (\frac{V_f}{2})^2 / 2$
$E_m(V = V_f/2) = m \cdot g \cdot h_v + m \cdot {V_f}^2 / 8$

Y podemos igualar esta energía mecánica con la del INICIO ($m \cdot g \cdot h_0$) o la del FINAL ($m \cdot {v_f}^2 / 2$):

$E_m(V = V_f/2) = m \cdot g \cdot h_v + m \cdot {V_f}^2 / 8 = E_m(\text{INICIO}) = m \cdot g \cdot h_0$
$m \cdot g \cdot h_v + m \cdot {V_f}^2 / 8 = m \cdot g \cdot h_0$
$\frac{m \cdot g \cdot h_v + m \cdot {V_f}^2 / 8}{m} = \frac{m \cdot g \cdot h_0}{m}$
$g \cdot h_v + {V_f}^2 / 8 = g \cdot h_0$
$h_v = \frac{g \cdot h_0 - {V_f}^2 / 8}{g}$
$h_v = h_0 - \frac{{V_f}^2}{8g} = 250 \cdot \text{m} - \frac{70^2}{8 \cdot 9.8} \cdot \text{m}$
$h_v = 250 \cdot \text{m} - \frac{4900}{78.4} \cdot \text{m} = 250 \cdot \text{m} - 62.5 \cdot \text{m} = 187.5 \cdot \text{m}$

$E_m(V = V_f/2) = m \cdot g \cdot h_v + m \cdot {V_f}^2 / 8 = E_m(\text{FINAL}) = m \cdot {V_f}^2 / 2$
$m \cdot g \cdot h_v + m \cdot {V_f}^2 / 8 = m \cdot {V_f}^2 / 2$
$\frac{m \cdot g \cdot h_v + m \cdot {V_f}^2 / 8}{m} = \frac{m \cdot {V_f}^2 / 2}{m}$
$g \cdot h_v + {V_f}^2 / 8 = {V_f}^2 / 2$
$h_v = \frac{{V_f}^2 / 2 - {V_f}^2 / 8}{g} = \frac{4 \cdot {V_f}^2 / 8 - {V_f}^2 / 8}{g} = \frac{3 \cdot {V_f}^2 / 8}{g}$
$h_v = \frac{3 \cdot {V_f}^2}{8 \cdot g} = \frac{3 \cdot 70^2}{8 \cdot 9.8} \cdot \text{m}$
$h_v = \frac{3 \cdot 4900}{78.4} \cdot \text{m} = \frac{14700}{78.4} \cdot \text{m} = 187.5 \cdot \text{m}$

La ventaja de este método es que simplifica la parte de cálculo y aumenta la precisión de los resultados.

[...]En la última parte del comentario dices "lo importante es entender que la suma se mantiene constante a lo largo de todo el trayecto, igual a la energía mecánica de la maleta.", sin embargo, la suma $gh+\frac{1}{2}{v}^{2}$ no es igual a la energía mecánica, sino a la energía mecánica partido la masa[...]

Mis disculpas, pensé, podríamos sobreentender que siempre dividimos por la masa.

[fuentes225]

Re: Problema caída libre

Muchísimas gracias una vez más @MrM , tus explicaciones son perfectas y lo he entendido perfectamente todo. Como nota, en mi planteamiento habia eliminado las masas de la fórmula porque al despejar h me quedaba h=$\frac{Em-\frac{1}{2 }m\frac{V}{2 }^2}{ m g}$. Por lo que al obtener masa en el numerador y denominador, estás desaparecerían. Muchas gracias por tu ayuda nuevamente

En varias cosas. En la expresión de h has puesto $\frac{{v}^{2}}{2}$, aunque la expresión correcta sería ${(\frac{v}{2})}^{2}$. O, lo que es lo mismo, $\frac{{v}^{2}}{{2}^{2}}$.

Además, al despejar las masas han desaparecido. Vamos a despejar h en la expresión $E_m=mgh+\frac{1}{2}m{(\frac{v}{2})}^{2}$. En principio lo voy a hacer de modo sistemático, pero si tienes alguna duda sobre algún paso dímelo y te lo explicaré.
$E_m=mgh+\frac{1}{2}m{(\frac{v}{2})}^{2} \Rightarrow E_m=m(gh+\frac{1}{2}{(\frac{v}{2})}^{2}) \Rightarrow \frac{E_m}{m}=gh+\frac{1}{2}{(\frac{v}{2})}^{2}$

$\frac{E_m}{m}-\frac{1}{2}{(\frac{v}{2})}^{2}=gh \Rightarrow h=\frac{\frac{E_m}{m}-\frac{1}{2}{(\frac{v}{2})}^{2}}{g}$

Despejando, obtenemos h=187,56, que es el resultado correcto.

Ahora bien, ¿por qué a ti te ha dado 62,5m?
Muy sencillo, tú has utilizado una versión "simplificada" de la ecuación ${v_f}^{2}={v_0}^{2}+2a(x-x_0) \Rightarrow {v_f}^{2}={v_0}^{2}+2a\Delta x$. El "h" que tú has calculado no es la altura a la que se encuentra el objeto, sino la distancia que recorre desde que es lanzado del helicóptero hasta que alcanza una velocidad de 35m/s (la distancia recorrida se expresa como $\Delta x=x_f-x_0$). Como el helicóptero se encuentra a 250m y la maleta recorre 62,5m, su altura será de h=250-65,2=184,8 (hay un ligero error en el cálculo de esta medida, probablemente por los decimales que hemos tomado al calcularla, pero no es nada importante).

Ayer no me di cuenta de que habías considerado que la altura era la distancia recorrida, lo siento.

Por lo tanto, la solución final sería que está a una altura de 184,8m.




La masa no es necesaria en el apartado a), pero sí en el apartado b). Aquí ya no podemos igualar las fórmulas de energía cinética y potencial, sino que tenemos que hacer $E_m=E_p+E_c$.

Esto puede expresarse de dos maneras:
$E_m=mgh+\frac{1}{2}m{v}^{2}$ o $\frac{E_m}{m}=gh+\frac{1}{2}{v}^{2}$. Ambas fórmulas son equivalentes, pero en ambas aparece la masa. En la última parte del comentario dices "lo importante es entender que la suma se mantiene constante a lo largo de todo el trayecto, igual a la energía mecánica de la maleta.", sin embargo, la suma $gh+\frac{1}{2}{v}^{2}$ no es igual a la energía mecánica, sino a la energía mecánica partido la masa ($gh+\frac{1}{2}{v}^{2}=\frac{E_m}{m}$), lo cual nos lleva nuevamente a una expresión en la que aparece la masa.

Un saludo.