Otras carreras Problema cinematica ¿Lo he resuelto bien?

[respectoaltiempo]

Una persona de altura l se encuentra situada a una distancia d de una farola de altura L. Dicha persona se aleja de la farola con velocidad constante v.

1.-Velocidad con la que la sombra de la cabeza se desplaza.
2.-Posición en función del tiempo de la sombra de la cabeza.

Hago un boceto
[IMG][/IMG]
(L-l)= h* sen(a)
d+v*t=h* cos(a) ,
luego
(L-l)/(d+ v*t) = tan(a)
Con esto puedo hallar el ángulo que forma la hipotenusa con la farola, es decir a = Arcotangente( (L-l)/(d+v*t))

Ahora, hallo s(t), es decir, la parte que es la sombra.

s(t)= h*sen(a)
l= h*cos(a)

s/l = tg(a)

Tenemos pues que la posición de la sombra de la cabeza será la parte de la sombra propiamente dicha s(t) más el espacio recorrido por la persona, d+v*t.

Es decir que será l*(tg(a) + d+v*t. O lo que es lo mismo, l*[(L-l)/(d+v*t)] +d + v*t.

Luego la velocidad a la que se aleja la sombra de la cabeza del origen será la derivada de lo anterior osea:

-[v*l*(L-l) / (d+v*t)^2] +v.

Vale, me dí cuenta de un error y ahora la posición de la sombra de la cabeza respecto al tiempo me sale

l(d+v*t) /(L-l) + (d+ v*t).

Pero lo que no entiendo es que la posición de la cabeza respecto al tiempo aumente de manera lineal, es decir, no es un movimiento acelerado y siempre tiene la misma velocidad... ¿Cómo puede ser eso? La sombra cada vez se alarga más por cada milímetro que se mueva la persona cuanto más lejos esté.

[Breogan]

Re: Problema cinematica ¿Lo he resuelto bien?

Hola:

La tangente de un angulo es igual al opuesto sobre el adyacente, en este caso (y partiendo del triangulo de arriba en tu dibujo) queda:

$\dst tan \ a = \frac {d + v \ t}{L - l}$

diferente a tu resultado, por eso acá me detengo con el análisis de tu solución.

Yo lo plantearía a partir de la siguiente igualdad de proporciones (manteniendo tu nomenclatura):

$\dst \frac {L}{s(t) + ( d + v \ t )} = \frac {l}{s(t)}$

No hace falta aclarar que no es la única igualdad de proporciones útil que se puede sacar del dibujo.

De esta ultima se despeja s(t), para luego derivarla respecto del tiempo y de esa forma obtener la velocidad de la sombra respecto del caminante.

$\dst L \ s(t) = l \ [s(t) + ( d + v \ t )]$

no sigo despejando y derivo directamente esta ultima respecto de t:

$\dst L \ \dot {s}(t) = l \ [\dot {s}(t) + v ]$

despejando:

$\dst \dot {s}(t) = \frac {l}{L-l} \ v$

que es la velocidad de la sombra respecto del caminante, si llamamos s1(t) a la posición de la sombra respecto del farol, se cumple que:

$\dst s_1(t) = s(t) + d + v \ t$

y las velocidades quedaran relacionadas por:

$\dst \dot {s}_1(t) = \dot {s}(t) + v$

y reemplazando s'(t) queda:

$\dst \dot {s}_1(t) = \frac {l}{L-l} \ v + v$

$\dst \boxed{ \dot {s}_1(t) = \frac {L}{L-l} \ v }$

El resto creo que es sencillo.

s.e.u.o.

Suerte

[respectoaltiempo]

Re: Problema cinematica ¿Lo he resuelto bien?

Gracias, ya lo he entendido pero aún tengo una pregunta. ¿La sombra no debería alejarse del hombre a una velocidad acelerada? Es decir, si el hombre se encontrase a muchísima distancia de la farola, al moverse unos cuantos pasos, la sombra debería alargarse muchísimo.

El ángulo a debería por tanto aumentar de forma cada vez más rápida.