Secundaria Energía mecánica

[The Higgs Particle]

Hola, tengo esta duda:

Cuando empleamos la fórmula $\Delta {E}_{c } = - \Delta {E}_{p} + {W}_{NC }$, entiendo que está "preparada" para usarse con magnitudes escalares, ¿no?
Al calcular el ${W}_{c } = - \Delta {E}_{p }$, tenemos que ${W}_{c } = \dst\int \limits_{a}^{b} \vec{F} \cdot d\vec{r}$.

Y aquí viene lo que yo creo que es el por qué: $\vec{F} = \vec{P} = m \cdot \vec{g}$, y $\vec{g} = -9'81\vec{j} \to \vec{F} = - (mg) \vec{j}$. Entonces $F = - \sqrt{{m}^{2} \cdot {g}^{2 }}$; por lo tanto: $F = - mg$ y, al sustituir (suponiendo que $g = cte.$ y que nos movemos sólo en un eje, en el $OY$): ${W}_{c } = - mg \cdot \dst\int \limits_{{h}_{a }}^{{h}_{b }}(dh) \to W = - mg \cdot {[h]}^{{h}_{b }}_{{h}_{ a}}$.

Definiendo $h = {h}_{b} - {h}_{a }$: ${W}_{c } = -m \cdot ({h}_{b }- {h}_{a }) \to {W}_{c} = - \Delta {E}_{p }$.


Entonces, para expresar $W = {W}_{C } + {W}_{NC}$ con vectores sería (suponiendo que actúa el rozamiento): $\frac{1}{2 }m \cdot ({\vec{{v}_{b }}}^{ 2} - {\vec{{v}_{a }}}^{2 }) = m \cdot \vec{g} \cdot h + \vec{{F}_{ roz}} \cdot \Delta \vec{r}$. Que nos llevaría a la misma de arriba: $\frac{1}{2}m \cdot ({{v}_{b }}^{2 } - {{v}_{a }}^{2 }) = - mgh + {F}_{roz } \cdot \Delta r \cdot cos (\theta )$. Pero como el rozamiento forma un ángulo de 180º con el sentido del movimiento: $\frac{1}{2}m \cdot ({{v}_{b }}^{2 } - {{v}_{a }}^{2 }) = - mgh - {F}_{roz } \cdot \Delta r$

Muchas gracias!!

[Weip]

Re: Energía mecánica

Vamos a ver, aquí hay demasiadas cosas a comentar. Espero no dejarme ninguna.

Lo primero, la energía y el trabajo son escalares. Así que una ecuación que contenga estos términos será escalar siempre. Luego, has puesto: $\vec{g}=-\vec{j}$ y eso no es verdad. Lo correcto es $\vec{g}=-9,8\vec{j}$ para la superfície de la Tierra (si es a otras alturas ya sabes lo que hay que usar supongo). También escribes que $F = - \sqrt{{m}^{2} \cdot {g}^{2 }}$, que no es cierto porque al tomar módulos el signo negativo desaparece.

Ya puedes ver que el resto está mal. Una última cosa, en $- m \cdot {[h]}^{{h}_{b }}_{{h}_{ a}}$ te has olvidado la aceleración de la gravedad. Además el signo menos sobra. Si quieres te puedo poner la demostración correcta, por si tienes dudas acerca de esto.

[Julián]

Re: Energía mecánica

Entiendo que preguntas por qué es el trabajo de la fuerza conservativa igual al negativo de la variación de la energía potencial. Si es así es más facil de lo que piensas, todo parte de la definición de energía potencial.

Energía potencial es el trabajo de la fuerza conservativa en llevar el cuerpo desde la posición actual $\vec{r}$ hasta la posición que se toma como referencia $\vec{{r}_{ref}}$

$\dst {W}_{c} = {\int}_{\vec{r}}^{\vec{{r}_{ref}}} \vec {F} . d \vec{r}$

Por la teorma de barrow:

$\dst {\int}_{\vec{r}}^{\vec{{r}_{ref}}} \vec {F} . d \vec{r} = {U}_{ref} - {U}_{r} = \Delta U$

Pero si vemos las expresiones de las fuerzas conservativas, como la fuerza eléctrica o la fuerza gravitatoria estas tienen la siguiente forma:

$\dst {\vec{F}_{e} } = - K \frac{Q q}{ {r}^{2}} \vec{r}$ ; $\dst {\vec{F}_{g} } = - G \frac{M m}{ {r}^{2}} \vec{r}$

El signo negativo de la fuerza es debido a que, para por ejemplo una masa, la dirección de la fuerza que una piedra siente por la tierra tiene la dirección opuesta a el vector posición que va desde la tierra(que para la piedra genera la fuerza) a la piedra.

De esta manera, usando por ejemplo la fuerza gravitatoria:

$\dst {\int}_{\vec{r}}^{\vec{{r}_{ref}}} \vec {F} . d \vec{r}= {\int}_{\vec{r}}^{\vec{{r}_{ref}}} - G \frac{M m}{ {r}^{2}} \vec{r} . d \vec{r}= - {\int}_{\vec{r}}^{\vec{{r}_{ref}}} G \frac{M m}{ {r}^{2}} \vec{r} . d \vec{r}$

El signo negativo es lo mismo que cambiar los límites de integración por lo tanto:

$\dst {W}_{c} =- {\int}_{\vec{r}}^{\vec{{r}_{ref}}} G \frac{M m}{ {r}^{2}} \vec{r} . d \vec{r} = {\int}^{\vec{r}}_{\vec{{r}_{ref}}} G \frac{M m}{ {r}^{2}} \vec{r} . d \vec{r}= {U}_{r} - {U}_{ref} = - \Delta U$

También como puedes observar, las energías y trabajos son cantidades escalares y si te fijas en los integrandos existe un producto punto entre el vector fuerza y el vector posición o desplazamiento. Esto es porque no se pueden integrar vectores. Pero si la proyección del vector en otro, que es una magnitud escalar.

[Weip]

Re: Energía mecánica

Esto es porque no se pueden integrar vectores.

Los vectores sí se pueden integrar, si no mal iría la física. Lo aclaro por si The Higgs Particle interioriza esta frase sin tener en cuenta el contexto, que al principio todo esto es un lío.

[Julián]

Re: Energía mecánica

No se pueden. En todo caso lo que se integra son o cada una de sus componentes o el producto punto. Así por ejemplo en una integral de linea se hace el producto punto del vector con respecto al vector desplazamiento, físicamente sería si el vector es la fuerza la forma de calcular el trabajo. La integral del producto punto de un vector con el diferencial de área da el flujo en esa superficie del vector.

[Umbopa]

Re: Energía mecánica

No se pueden. En todo caso lo que se integra son o cada una de sus componentes o el producto punto. Así por ejemplo en una integral de linea se hace el producto punto del vector con respecto al vector desplazamiento, físicamente sería si el vector es la fuerza la forma de calcular el trabajo. La integral del producto punto de un vector con el diferencial de área da el flujo en esa superficie del vector.

Una integral es una suma, y como los vectores se pueden sumar también se pueden integrar. Un ejemplo es el centro de masas de un cuerpo

$\vec{r}_{cm} = \frac{ \int \rho(\vec{r}) \hspace{0.1cm} \vec{r} \hspace{0.1cm} dV}{M}$

[Weip]

Re: Energía mecánica

No se pueden. En todo caso lo que se integra son o cada una de sus componentes o el producto punto. Así por ejemplo en una integral de linea se hace el producto punto del vector con respecto al vector desplazamiento, físicamente sería si el vector es la fuerza la forma de calcular el trabajo. La integral del producto punto de un vector con el diferencial de área da el flujo en esa superficie del vector.

Si no se pudiera, no podrías integrar la velocidad respecto el tiempo por ejemplo. Obviamente se puede, es una función integrable. Eso no quiere decir que lo que dices del producto punto no esté bien, solo digo que yo puedo integrar un vector perfectamente siempre que se cumplan las condiciones necesarias (y en el caso que nos ocupa, se cumplen). Los vectores se integran componente a componente, tal como dices. ¿Eso no es integrar un vector? También puedes tener más cosas aparte de productos punto, que se pueden integrar perfectamente.

Una integral es una suma, y como los vectores se pueden sumar también se pueden integrar. Un ejemplo es el centro de masas de un cuerpo

$\vec{r}_{cm} = \frac{ \int \rho(\vec{r}) \hspace{0.1cm} \vec{r} \hspace{0.1cm} dV}{M}$

Hombre, igual el razonamiento está un poco cogido con pinzas jajaja. Es una suma más un límite. Y a partir de ahí, la definición acepta vectores.

[Umbopa]

Re: Energía mecánica

Hombre, igual el razonamiento está un poco cogido con pinzas jajaja. Es una suma más un límite. Y a partir de ahí, la definición acepta vectores.

¿ el límite de una suma sigue siendo una suma no xD ?

[Weip]

Re: Energía mecánica

¿ el límite de una suma sigue siendo una suma no xD ?

Me refería a que el hecho de que los vectores puedan sumarse no quiere decir que se puedan integrar. Pero es igual, entiendo lo que quieres decir.

[The Higgs Particle]

Re: Energía mecánica

[...] has puesto: $\vec{g}=-\vec{j}$ y eso no es verdad. Lo correcto es $\vec{g}=-9,8\vec{j}$ [...] Una última cosa, en $- m \cdot {[h]}^{{h}_{b }}_{{h}_{ a}}$ te has olvidado la aceleración de la gravedad

Eso ya está corregido, gracias

Pero me dijeron que $v = \pm |\vec{v}|$, por eso he puesto $F = -\sqrt{{m}^{2} \cdot {g}^{2}}$ y no $|\vec{F}| = \sqrt{{g}^{2} \cdot {m}^{2}}$, ¿es incorrecto aplicarlo aquí?

[Weip]

Re: Energía mecánica

Eso ya está corregido, gracias

Pero me dijeron que $v = \pm |\vec{v}|$, por eso he puesto $F = -\sqrt{{m}^{2} \cdot {g}^{2}}$ y no $|\vec{F}| = \sqrt{{g}^{2} \cdot {m}^{2}}$, ¿es incorrecto aplicarlo aquí?

Si esa es la notación que usáis en clase, úsala. Yo no tengo práctica con ella (nunca la he usado), así que mejor que te conteste algún otro usuario. Desde mi punto de vista es una notación confusa, porque ¿con qué criterio estás priorizando un signo respecto al otro? Obviamente si tomas módulo te ha de quedar positivo, pero no sabría decirte porqué está mal usando esa notación.

[The Higgs Particle]

Re: Energía mecánica

Fue la que me dijo Felmon el otro día: http://forum.lawebdefisica.com/threa...una-fuerza-Cte (#8)

- - - Actualizado - - -

No sé, me ha parecido útil porque si suponemos que $v = |\vec{v}|$ y ponemos un vector según sus componentes, como por ejemplo, $\vec{v}= {v}_{x}\vec{i} + {v}_{y}\vec{j} + {v}_{z}\vec{k}$, estaríamos obligándolo a tener todas sus componentes positivas ya que, como tú has dicho, el módulo debe ser positivo; pero si, por el contrario, lo ponemos con el otro criterio, $v = \pm |\vec{v}|$, las componentes ya tienen "libertad" para ser positivas o negativas.

[felmon38]

Re: Energía mecánica

Hola Higgs, yo te dije que:

"Para mí F_x= $\pm$|F_x|, ahora, si en clase lo hacéis de otra manera, no me hagas caso."

Es decir la componente del vector F en el eje de las x es $\pm$ el módulo de dicha componente. Estaba hablando de componentes, de ahí el subíndice x.

Saludos

[Julián]

Re: Energía mecánica

Pues, muestrame un ejemplo en donde integras un vector. Decir que los vectores se integran componente por componente, que es o que yo mencioné al principio, es debido a que el integrando de una integral debe ser una magnitud escalar. Por ejemplo físicamente:

$\dst \vec{v}(t) = < {v}_{x}(t), {v}_{y}(t), {v}_{z}(t)> = < \int {a}_{x} dt , \int {a}_{y} dt , \int {a}_{z} dt >$

Los valores ${a}_{x} , {a}_{y}, {a}_{z}$ , por más que sean componentes de un vector son magnitudes escalar. Al igual que las componentes de $\vec{v}$

${v}_{x}(t)=\int {a}_{x} dt$ ; ${v}_{y}(t)=\int {a}_{y} dt$ ; ${v}_{z}(t)=\int {a}_{z} dt$

[The Higgs Particle]

Re: Energía mecánica

Es decir, que eso sólo es válido para las componentes, ¿no?

Y todo esto me ha hecho que me surja la duda sobre lo que he puesto antes, si expresamos un vector como $\vec{v}= {v}_{x}\vec{i} + {v}_{y}\vec{j} + {v}_{z}\vec{k}$ pero suponemos que $v = |\vec{v}|$, entonces no damos lugar a que las componentes sean negativas, ya que ${v}_{x } = |\vec{{v}_{x }}|$ y $|\vec{{v}_{x }}| \geqslant 0$.