Divulgación Problema de velocidad límite en un tubo de ensayo

[inakigarber]

Buenas noches os planteo este problema cuya solución no me cuadra.

Una muestra de aire que contiene partículas contaminantes de forma esférica (radio $r=10^{-5}m$, densidad $\sigma=2000Kg/m^3,$) situada en el aire $\mu=1.8x10^{-5}Ns/m^2$ se toma en un tubo de ensayo de 8cm de longitud. Este tubo se coloca en una centrifugadora, de modo que el punto medio del tubo de ensayo se encuentra a 12 cm del centro de la centrifugadora, la cual gira a la razón de 800 rmp. Estimar el tiempo necesario para que prácticamente todas las partículas contaminantes se sedimenten en el fondo del tubo de ensayo y comprobar el tiempo con el necesario para que una partícula contaminante caiga 8cm bajo la acción de la gravedad.

He tratado de resolverlo siguiendo los pasos siguientes.

1) Cálculo de la velocidad de rotación

$$\omega=\frac{800}{60}=13.3333 rps$$

$$V_l=13.3333*0.12=1.6m/s$$

2) Cálculo de la masa de una partícula

$$m_p=\frac{4\pi*(10^-5)^3*2000}{3}=8,3775*10^{-12} Kg$$

3) Cálculo de la fuerza centrifuga de la particula

$$F_c=\frac{m_p*V_l^2}{R}=\frac{8,3775*10^{-12}*1.6^2}{0.12}=1,7872*10^{-10}Nw$$

4) Cálculo de la velocidad terminal.
La velocidad terminal se dará cuando las fuerzas centrifuga y de Stokes se igualen. Luego;

$$\frac{m_p*V_l^2}{R}=6\pi\mu r v_t$$

despejando V_t y sustituyendo por sus valores

$$v_t=\frac{m_p*V_l^2}{6\pi\mu r R}=\frac{8,3775*10^{-12}*1.6^2}{6\pi 1.8*10^{-5}*10^{-5}*0.12}=0,05267m/seg$$

Lo cual para una distancia de 0.08 m (y suponiendo que la fuerza centrípeta fuera constante) da un tiempo de caída de;

$$T_c=\frac{0.08}{0,05267}=1,51875seg$$

El cual no me cuadra con el resultado del libro, que es de 38.5 m/seg
Supongo que he debido de meter la pata en algún lugar.
Sí alguien me lo explica. Un saludo y gracias.

[Al2000]

Re: Problema de velocidad límite en un tubo de ensayo

Toma en cuenta que:

- El símbolo de la unidad de masa es kg y no Kg.
- El símbolo de la unidad de fuerza es N y no Nw.
- El símbolo de la unidad de tiempo es s y no seg.
- La velocidad angular es $\dst \omega = 2 \pi f$. Tienes un error de un factor 2$\pi$ en la velocidad lineal calculada. Eso implica un error de $(2 \pi )^2$ en la velocidad terminal.
- El tiempo calculado con la corrección indicada es de $38.5\,\mathrm{ms}$ (milisegundos).

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[inakigarber]

Re: Problema de velocidad límite en un tubo de ensayo

Gracias por tu respuesta.
En mi ceguera no me había dado cuenta de que las revoluciones por minuto son una magnitud de frecuencia y no de velocidad. Además, al establecer la velocidad lineal de giro cometo un error ya que este valor debiera de multiplicarlo por $2\pi$ para obtener el valor de 10,053m/s que es el válido. De esta forma si se llega al valor real.
Así si, pero cuando uno se empeña en ver lo que no es y en no ver lo que es....

Un saludo y a seguir bien.