Secundaria Velocidad de escape - integrales

[The Higgs Particle]

El trabajo que yo realizo para llevar al cohete desde la superficie de un planeta (de radio $R = {R}_{a}$) hasta un punto $P$ (en este caso $P = \infty$) es igual a la variación negativa de la energía cinética (ya que el campo se encarga de hacer que pierda velocidad): ${W}_{contra-campo} = - \Delta {E}_{c}$

Por lo tanto, ${W}_{contra-campo} = \dst\int \limits_{a}^{\infty} (\vec{F} \cdot d\vec{r})$.

$\vec{F}$ es la fuerza que yo realizo, la cual tiene el mismo módulo que la fuerza de la gravedad pero sentido opuesto: $\vec{F} = G \cdot \frac{Mm}{{R}^{2}} \cdot \vec{{u}_{r}} \to \vec{F} \cdot d\vec{r} = |\vec{F}| \cdot |d\vec{r}| \cdot cos (0$º$) = F \cdot dr$

Por lo tanto, $- \Delta {E}_{c} = GMm \cdot \dst\int \limits_{a}^{\infty}(\frac{1}{{R}^{2}} \cdot dr) = GMm \cdot {[\frac{-1}{R }]}^{\infty }_{a} = \frac{-GMm}{ {R}_{\infty }} + \frac{GMm}{{R}_{a }} \to - \Delta {E}_{c} = \frac{GMm}{{R}_{a} }$

Y como la velocidad de escape se define como la velocidad mínima para que un cuerpo escape de la gravedad del planeta, ${v}_{\infty} = 0$:

$\frac{1}{2 }m \cdot ({{v}_{e}}^{2 } - {{v}_{\infty}}^{2}) = \frac{GMm}{{R}_{a}} \to {v}_{e} = \sqrt{\frac{2GMm}{R}}$

¿Es correcto el procedimiento?

[Weip]

Re: Velocidad de escape - integrales

Antes de analizar tu razonamiento, hay un problema matemático. La integral con el intervalo no acotado (el infinito) es una integral impropia. Como tal, no puedes aplicar la regla de Barrow así como así, porque estarías dividiendo entre infinito y como sabes, no es una operación permitida. Tu integral debería hacerse de la siguiente forma:

$- \Delta {E}_{c} = GMm \cdot \dst\int \limits_{a}^{\infty}(\frac{1}{{R}^{2}} \cdot dr) =GMm \lim_{c \to \infty} \dst \int \limits_{a}^{c}(\frac{1}{{R}^{2}}dr)$

Ahora puedes hacer esa integral de Riemann y luego hacer el límite. El resultado será el mismo que el tuyo, pero entiende que tu procedimiento no era correcto.

Sé que tu esto no tienes porqué saberlo si vas a bachillerato, pero la integral tendrías que hacerla de esta forma. De estas resolverás pocas (o ninguna), así que tampoco te preocupes. Basta con que tengas cuidado con tus argumentos.

[visitante20160513]

Re: Velocidad de escape - integrales

Más sencillo es esto otro y no tienes que integrar nada, solo aplicar el teorema de la conservación de la energía directamente. Como la energía potencial en puntos muy alejados ($\infty$) debe ser nula y la energía cinética debe serlo también por la definición de velocidad de escape, entonces la energía mecánica en cualquier punto de la trayectoria debe anularse también y por ende en el punto inicial lo que nos conduce a:

$W_o=\displaystyle\frac{1}{2 }mv_e^2-\displaystyle\frac{GMm}{R_a}=0 \qquad\to\qquad v_e = \sqrt{\displaystyle\frac{2GM}{R_a}}=\sqrt{2gR_a}$

Salu2,Jabato.

[The Higgs Particle]

Re: Velocidad de escape - integrales

Gracias a ambos por contestar!!

Weip, ya sabes que me encanta aprender todo eso, por lo que te lo agradezco mucho Mejor aprenderlo ahora y tenerlo ya sabido. Gracias de nuevo!