1r ciclo Ejercicio de dinámica

[MrM]

Yo lo he resuelto así:

a) $\bar{F}=(K_1+K_2\sqrt{y})\hat{\imath}+K_3t\hat{\jmath}=m\bar{a} \Rightarrow \bar{a}=\frac{K_1+K_2\sqrt{y}}{m}\hat{\imath}+\frac{K_3t}{m}\hat{\jmath}$.

b) $\bar{a}=\frac{\mathrm{d\bar{v}} }{\mathrm{dt} } \Rightarrow \int\bar{a}dt=\int d\bar{v} \Rightarrow \bar{v}=\frac{K_1t+K_2t\sqrt{y}}{m}\hat{\imath}+\frac{K_3{t}^{2}}{2m}\hat{\jmath}$.

c) $\bar{v}=\frac{\mathrm{d\bar{r}} }{\mathrm{dt} }\Rightarrow \int\bar{v}dt=\int d\bar{r} \Rightarrow \bar{r}=\frac{K_1{t}^{2}+K_2{t}^{2}\sqrt{y}}{2m}\hat{\imath}+\frac{K_3{t}^{3}}{6m}\hat{\jmath}$.

Ahora bien, de esta última fórmula se deduce que $y=\frac{K_3{t}^{3}}{6m} \Rightarrow \sqrt{y}=\sqrt{\frac{K_3{t}^{3}}{6m}}$.

Sustituyendo esto en todas las fórmulas, obtenemos la aceleración, la velocidad, y la posición en función del tiempo.

$\bar{a}(t)=\frac{K_1+K_2\sqrt{\frac{K_3{t}^{3}}{6m}}}{m}\hat{\imath}+\frac{K_3t}{m}\hat{\jmath}$.

$\bar{v}(t)=\frac{K_1t+K_2t\sqrt{\frac{K_3{t}^{3}}{6m}}}{m}\hat{\imath}+\frac{K_3{t}^{2}}{2m}\hat{\jmath}$.

$\bar{r}(t)=\frac{K_1{t}^{2}+K_2{t}^{2}\sqrt{\frac{K_3{t}^{3}}{6m}}}{2m}\hat{\imath}+\frac{K_3{t}^{3}}{6m}\hat{\jmath}$.


Para las componentes intrínsecas de la aceleración, solo tengo que calcular el módulo de la velocidad y hacer $a_t=\frac{\mathrm{dv} }{\mathrm{dt} }$. Una vez que tenga la aceleración tangencial, bastará con aplicar la fórmula ${a}^{2}={a_t}^{2}+{a_n}^{2}$. Sin embargo, dado que es algo tedioso, no lo demostraré aquí. Solo quiero saber si lo que he hecho hasta ahora es correcto, o si hay un modo más sencillo de hacerlo.

Gracias y un saludo.

[pilimafiqui]

Re: Ejercicio de dinámica

Para mi es correcto y es como lo haría

[felmon38]

Re: Ejercicio de dinámica

MrM, V_x está mal porque y es variable, tal como la has calculado.
Saludos

[MrM]

Re: Ejercicio de dinámica

MrM, V_x está mal porque y es variable, tal como la has calculado.
Saludos

Si calculara y basándome en que $F_y=ma_y$ y que $a_y=\frac{\mathrm{{d}^{2}y} }{\mathrm{{dt}^{2}} }$, y luego sustituyera en $F_x$, ¿sí estaría bien no?

Quedaría [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] .

A partir de ahí, solo tengo que dividir por la masa (calculando así la aceleración), integrar respecto de t (calculando así la velocidad) e integrar respecto de t (calculando así la posición), ¿no?

[felmon38]

Re: Ejercicio de dinámica

O.K.
Saludos

[MrM]

Re: Ejercicio de dinámica

Otra duda: haciendo eso las soluciones a las que llego son muy complicadas. En concreto, son:
$\bar{a}(t)=\frac{k_1+k_2\sqrt{\frac{k_3{t}^{3}}{6m}}}{m}\hat{\imath}+\frac{k_3t}{m}\hat{\jmath}$

$\bar{v}(t)=\frac{5k_1t+2k_2\sqrt{\frac{k_3{t}^{5}}{6m}}}{5m}\hat{\imath}+\frac{k_3{t}^{2}}{2m}\hat{\jmath}$

$\bar{r}(t)=(\frac{k_1{t}^{2}}{2m}+\frac{4k_2\sqrt{\frac{k_3{t}^{7}}{6m}}}{35m})\hat{\imath}+\frac{k_3{t}^{3}}{6m}\hat{\jmath}$

Además, la aceleración tangencial me da demasiado larga, $a_t=\frac{\mathrm{dv} }{\mathrm{dt} }=\frac{2{k_1}^{2}t}{{m}^{2}}+\frac{{k_2}^{2}k_3{t}^{4}}{15{m}^{3}}+\frac{4k_1k_2\frac{5{t}^{4}}{2\sqrt{{t}^{5}}}\sqrt{\frac{k_3}{6m}}}{5{m}^{2}}+\frac{{k_3}^{2}{t}^{3}}{{m}^{2}}$.

Si encima tuviera que hacer ${a}^{2}={a_t}^{2}+{a_n}^{2}$ para calcular la aceleración normal, se haría imposible.

Seguramente me he equivocado en algo, o hay un procedimiento más sencillo. ¿Alguna idea?

[felmon38]

Re: Ejercicio de dinámica

MrM, ¡que lo vamos a hacer!. A lo mejor el problema trata un caso real que no entiende de simplificaciones. Pero se puede mejorar el aspecto de los términos p.e. expresando el exponente de t en forma de quebrado y agrupando los coeficientes de t en una única constante, así te quedará cada término más limpio. No hay que desarrollar las variables para que aparezca explícitamente t, porque si la expresión es larga, como en tu caso, se supone que el problema se resolverá por ordenador y ya se encargará este de desarrollar las variables y las constantes introducidas. No te he repasado los cálculos porque me equivoco mucho.

Saludos

[MrM]

Re: Ejercicio de dinámica

MrM, ¡que lo vamos a hacer!. A lo mejor el problema trata un caso real que no entiende de simplificaciones. Pero se puede mejorar el aspecto de los términos p.e. expresando el exponente de t en forma de quebrado y agrupando los coeficientes de t en una única constante, así te quedará cada término más limpio. No hay que desarrollar las variables para que aparezca explícitamente t, porque si la expresión es larga, como en tu caso, se supone que el problema se resolverá por ordenador y ya se encargará este de desarrollar las variables y las constantes introducidas. No te he repasado los cálculos porque me equivoco mucho.

Saludos

Vale, muchas gracias. Lo había preguntado porque en comparación con el resto de ejercicios que teníamos que entregar, los cálculos de este eran larguísimos y muy tediosos. He hablado con el profesor, y me ha comentado que salen tan largos porque él cogió el problema de internet, solo que en el problema original, la fuerza en el eje x era $F_x=k_1+k_2y$, y él lo modificó para que no encontráramos el problema buscando en google. No se dio cuenta de que, solo con añadir una raíz a la "y", el problema se volvía mucho más tedioso xD

Muchas gracias por todo, me has ayudado muchísimo.
Un saludo.