Otras carreras Coeficiente de rozamiento en rampa curva

[juan lopez]

Un bloque de masa m1 en reposo se deja caer libremente sobre una rampa curva desde una altura de 1m.
Al pie de la rampa hay un resorte con constante C.
El bloque se desliza sin rozamiento sobre la rampa y comprime el resorte una distancia x0.

El resorte se acopla a otra plataforma de la misma forma pero con coeficiente de rozamiento mu.

Sobre esta rampa se deja caer desde la misma altura de 1 m la masa m1 observándose ahora que la distancia de contracción del resorte es x1.

Cuando se deja caer sobre esta segunda rampa una masa m2 desde la misma altura se observa que la distancia de contracción del resorte es x2.

a) Determinar la constante c de resorte y b) el coeficiente de rozamiento mu de la segunda rampa.

DATOS: m1=10 kg x0=0,763
x1=0,441m m2:4 kg x2:0,3m


He calculado la cte. del resorte con el supuesto de no rozamiento, pero me encuentro con la dificultad de conseguir calcular el coeficiente de rozamiento ya que al ser la rampa curva no sé que expresión le pondré a la fuerza de rozamiento para poder despejar el coeficiente de los trabajos de rozamiento que se calculan en los supuestos 2 y 3.

Agradezco cualquier posible orientación,


Saludos.

[Samir M.]

Re: Coeficiente de rozamiento en rampa curva

¿Y con energías?

[juan lopez]

Re: Coeficiente de rozamiento en rampa curva

Hola:
Con energias ,es como lo estoy haciendo, y calcule los trabajos de rozamiento en ambos casos ,pero despues no encuentro com obtener una expresion que contenga al coeficiente para poder despejarlo

- - - Actualizado - - -

Hola :
Mi problema es como determinar una expresion para la fuerza de rozamiento del cuerpo con la rampa curva.
Agradeceria alguna indicacion de como resolverlo

[Breogan]

Re: Coeficiente de rozamiento en rampa curva

Hola:

En la primera experiencia obtienes la constante k del resorte, con los datos h, m1, y x0.

En las dos experiencias restantes, con la diferencia de energía entre el punto inicial y el final, solo se obtiene el trabajo total echo por la fuerza de rozamiento durante todo el movimiento.

Para obtener una expresión matemática de dicho trabajo tenes que tener en cuenta que dicha fuerza es proporcional a la reacción normal de la pista sobre el cuerpo, y esta depende en principio de la posición de este sobre dicha pista.
Esto es así porque la componente del peso en la dirección radial depende de la posición, y la fuerza centripeta, que depende de la velocidad tangencial, también depende de la posición.

$\dst |F_R| = \mu |N|$

$\dst |F_c| = |N| - |P_{\rho}|$

$F_R: \quad Fuerza \ de \ rozamiento$
$F_c: \quad Fuerza \ centripeta$
$P_{\rho}: \quad Componente \ radial \ del \ peso$

acá use módulos para que no sea ambiguo ante la elección de un SR.

Por ultimo tenes que plantear la forma diferencial del trabajo de las fuerzas no conservativas:

$\dst d W_{F_{nc}} = \vec F_R \ d \vec s$

Después de hallar la expresión matemática de la ecuación anterior que te permita integrarla, e integrándola vas a llegar una ecuación que te va a dar el trabajo total de la fuerza de rozamiento en función de dos incógnitas ($\mu , R$), y varias constantes.
Dado que tenes dos experiencias, vas a tener al final por la anterior ecuación, dos ecuaciones con dos incógnitas, lo resolves y ya esta.

Aclaro que este es un posible camino de solución, aunque no se si totalmente factible, porque no hice el problema.

Para empezar te recomiendo que hagas un dibujo que sea lo mejor posible, donde representes las variables geométricas y las fuerzas que actúan sobre la masa m1/m2, y definas tu sistema de coordenadas; para luego plantear las ecuaciones de equilibrio dinámico que te propuse anteriormente.

Si te surje alguna duda no dudes en preguntar, pero siempre es mejor postear lo que llevas hecho, porque sobre ello algún forero siempre te podrá ayudar mejor.

s.e.u.o.

Suerte

[juan lopez]

Re: Coeficiente de rozamiento en rampa curva

Hola:
¿como puedo expresar la fuerza de rozamiento en funcion de mu y el radio ?porque a mi me queda en funcion de alfa ,mu y r

[felmon38]

Re: Coeficiente de rozamiento en rampa curva

Hola:
Creo que depende de los tres factores
Saludos

[juan lopez]

Re: Coeficiente de rozamiento en rampa curva

Hola :esto es lo que hice lo , cuelgo por si a alguno se le ocurre algo para obtener esa fuerza de rozamiento. Gracias

[felmon38]

Re: Coeficiente de rozamiento en rampa curva

Si aplicas el teorema de la energía cinética desde que el bloque está arriba hasta que llega al angulo θ, te sale una ecuación integral que la diferencias y tendrás una ecuación diferencial entre v y θ, que te la dejo en tus manos.
Saludos

[juan lopez]

Re: Coeficiente de rozamiento en rampa curva

Hola
Sinceramente no entiendo lo que dices. No me tiene sentido.

[felmon38]

Re: Coeficiente de rozamiento en rampa curva

Tú has calculado el valor de la fuerza de rozamiento en un punto y te depende del ángulo y de la velcidad al cuadrado del bloque en ese punto. Si aplicas el teorema de la energía cinética entre el punto superior y ese punto, un miembro de la ecuación es la energía cinética que depende de la velocidad del bloque en dicho punto al cuadrado y los otro términos de la igualad son la integral del diferencial del trabajo que realiza la fuerza de rozamiento con signo menos más el trabajo del peso. Esta es la ecuación integral que te decía.
Saludos

[juan lopez]

Re: Coeficiente de rozamiento en rampa curva

Hola.
Sinceramente me form muy complicado hacerlo de esta manera ,espero que haya una forma más sencilla.

- - - Actualizado - - -

Hola
La ecuación una vez integrada me da Wr =mgh-1/2mv^2 y con eso no arreglo nada ,me parece.

[felmon38]

Re: Coeficiente de rozamiento en rampa curva

Juan, la ecuación que te debería salir aplicando la ecuación de la energía en un punto genérico y diferenciándola,también te sale proyectando, en un mismo punto genérico, las fuerzas que actúan sobre el bloque en dirección tangente a la trayectoria, porque el término de la aceleración es la aceleración tangencial, que es la derivada del módulo de la velocidad respecto del tiempo. Obtienes la misma ecuación diferencial entre la velocidad y el ángulo, que , resolviéndola, tienes la v en función del ángulo.
Saludos

[juan lopez]

Re: Coeficiente de rozamiento en rampa curva

Hola
Por muchas vueltas q le doy no llego a nada concreto
No podías indicarme las ecuaciones de partida.
Gracias

[felmon38]

Re: Coeficiente de rozamiento en rampa curva

Proyectando la ecuación fundamental de la Mecánica sobre la tangente:

v.$\dst\frac{dv}{d\theta }$ = R.g.cosθ - R.μ.g.senθ - μ.v^2.



que es la ecuación diferencial que te decía que dejaba en tus manos

Si no ecuentras una solución analítica, siempre la puedes resolver numéricamente con lo que obtienes v=v(θ) y así puedes calcular la fuerza de rozamiento en función de θ

Saludos

[Breogan]

Re: Coeficiente de rozamiento en rampa curva

Hola:

Juan disculpa por la demora.

Un comentario, se me hizo muy dificultoso leer el adjunto de tu mensaje #7, admito que se pueda no tener tiempo para transcribir un calculo en LaTex, pero por lo menos trata de poner las imágenes con la orientación que corresponde, y lo mas grandes que se pueda. Gracias.

Adjunto un dibujo para ensayar una solución sobre el movimiento solamente en la parte curva de la pista:

El equilibrio dinámico de la masa m esta dado por:

$\dst \sum_{\forall \ i} \vec F_i = m \vec a$

por el dibujo:

$\dst \vec N + \vec P + \vec F_r = m \vec a$

y tomando un SR polar podemos decir:

$\dst \left\{ \begin{aligned} \vec N & = N_{\rho} \ \hat u_{\rho} \\ \vec P & = P_{\rho} \ \hat u_{\rho} + P_{\theta} \ \hat u_{\theta} \\ \vec F_r & = F_r \ \hat u_{\theta} \\ \vec a & = a_{\rho} \ \hat u_{\rho} + a_{\theta} \ \hat u_{\theta} \end{aligned}$

que reemplazando la formula de equilibrio dinámico da:

$\dst N_{\rho} \ \hat u_{\rho} + P_{\rho} \ \hat u_{\rho} + P_{\theta} \ \hat u_{\theta} + F_r \ \hat u_{\theta} = m [a_{\rho} \ \hat u_{\rho} + a_{\theta} \ \hat u_{\theta}]$

dando lugar a dos igualdades escalares:

$$\dst \left\{\begin{aligned} N_{\rho} + P_{\rho} & = m a_{\rho} \\ P_{\theta} + F_r & = m a_{\theta} \end{aligned}$$

del dibujo:

$\dst P_{\rho} = m g sen \theta \quad y \quad P_{\theta} = m g cos \theta$

La fuerza de rozamiento esta dada por:

$\dst F_r = \mu N_{\rho}$

y del movimiento circular se sabe que:

$\dst a_{\rho} = - R \dot {\theta}^2 \quad y \quad a_{\theta} = R \ddot {\theta}$

reemplazando en (1) queda:

$\dst \left\{\begin{aligned} N_{\rho} + m g sen \theta & = - m R \dot {\theta}^2 \\ m g cos \theta + \mu N_{\rho} & = m R \ddot {\theta} \end{aligned}$

Despejando el valor de la normal en la 1º y reemplazando en la 2º queda:

$\dst N_{\rho} = - m R \dot {\theta}^2 - m g sen \theta$

$\dst m g cos \theta + \mu [ - m R \dot {\theta}^2 - m g sen \theta] = m R \ddot {\theta}$

Reordenando:

$\dst R \ddot {\theta} + \mu R \dot {\theta}^2 + \mu g sen \theta - g cos \theta = 0$

Que es una ecuación diferencial no lineal de 2º orden, que por lo menos yo no la se resolver. Si estuviera bien y tuviera solución analítica te daría como resultado el angulo como función del tiempo $\theta = \theta(t)$, con la condición de borde $\dot \theta (0) = 0$, y como parámetros te quedarían R y $\mu.$

Ahora aplicamos el teorema de las fuerzas vivas:

$\dst WF_{nc} = E_{Mf}-E_{M0}$

o en su forma diferencial:

$\dst dWF_{nc} = dE_M$

En este caso la única fuerza no conservativa que actua es la fuerza de rozamiento, entonces:

$\dst \vec F_r d \vec s= dE_M$

Basándome en el mensaje de Al, agrego el trabajo de la fuerza de rozamiento en la parte horizontal donde actúa el resorte, que no había tenido en cuenta. Para ello agrego otro SR (x , y), aunque no sea muy ortodoxo, en el extremo del resorte cuando este esta con su longitud nominal:

$\dst [\mu N_{\rho} \hat u_{\theta}] \ [R d \theta \hat u_{\theta}] + [- \mu m g \hat i] [dx \hat i] = dE_M \quad \Rightarrow \quad \mu N_{\rho} R d \theta - \mu m g dx = dE_M$

Reemplazando en la ultima el valor de la normal:

$\dst \mu [- m R \dot {\theta}^2 - m g sen \theta] R d \theta - \mu m g dx= dE_M$

$\dst - \mu \ m \ R^2 \ \dot {\theta}^2 \ d \theta - \mu \ m \ g \ R \ sen \theta \ d \theta - \mu m g dx = dE_M$

Si integramos la anterior entre el estado inicial (que llamaremos i), y el estado final ( que llamaremos f), queda:

$\dst - \int_i^f \mu \ m \ R^2 \ \dot {\theta}^2 \ d \theta - \int_i^f\mu \ m \ g \ R \ sen \theta \ d \theta - \int_i^f \mu m g dx= \int_i^f dE_M$

Los integrando de las dos primeras integrales solo existen en el intervalo $(\dst \theta_0 , \theta_f)$, y el integrando de la 3º integral solo existe en el intervalo $(x_i , x_f)$, por lo tanto:

$\dst - \mu \ m \ R^2 \ \int_{\theta_0}^{\theta_f} \dot {\theta}^2 \ d \theta - \mu \ m \ g \ R \ \int_{\theta_0}^{\theta_f}sen \theta \ d \theta - \mu m g (x_f - x_i) = E_{Mf} - E_{Mi}$

$x_i=0$

$\dst - \mu \ m \ R^2 \ \int_{\theta_0}^{\theta_f} \dot {\theta}^2 \ d \theta - \mu \ m \ g \ R \ \int_{\theta_0}^{\theta_f}sen \theta \ d \theta - \mu m g x_f = E_{Mf} - E_{Mi}$

En todo esto supuse que los angulos de inicio y final del movimiento pueden ser cualquiera siempre y cuando esten en el 3º cuadrante.

La 1º integral del 1º miembro creo que se podría resolver si se puede resolver la anterior ecuación diferencial, la 2º integral del 1º miembro es inmediata, y la energía mecánica inicial y final del 2º miembro corresponden a la energía potencial de la masa en el punto superior y la energía que acumula el resorte en el punto inferior, respectivamente.

Esto solo es un ensayo de solución, estaría bueno si alguien puede aportar algo mas. Gracias

s.e.u.o.

Suerte