Coeficiente de rozamiento en rampa curva

[juan lopez]

Re: Coeficiente de rozamiento en rampa curva

Hola Breogan:
Muchas gracias, ahora me pongo con la EDO ,por fin ya entiendo el planteamiento,espero que tu y felmon , disculpeis mi ignorancia y mis ganas de aprender,perdonar por haberos dado tanto trabajo. Si resuelvo la EDO y llego al final del planteamiento lo transcribire .
Un saludo

[Al2000]

Re: Coeficiente de rozamiento en rampa curva

Yo deseo proponerles una solución y dejo a criterio de ustedes si les parece razonable o no.

Como ya se ha dicho en mensajes anteriores, la primera condición para la rampa sin fricción nos permite calcular la constante del resorte usando la conservación de la energía. Hice el cálculo y obtuve $k = 336.90 \,\mathrm{N/m}$.

También se ha dicho que las dos siguientes condiciones permiten calcular el trabajo de la fuerza de fricción. Mis cálculos dan, en valor absoluto, $W_1 = 65.31\,\mathrm{J}$ y $W_2 = 24.07\,\mathrm{J}$.

Y entonces aquí viene la sustancia del problema. El trabajo que hace la fuerza de fricción se puede escribir como

$$W = \int \boldsymbol f \boldsymbol \cdot d \boldsymbol \ell + \mu m g x$$

donde la integral representa el trabajo hecho en la parte curva de la rampa y la parte recta de longitud indeterminada hasta justo el punto en donde está el resorte. El segundo término representa el trabajo hecho en el trozo recto y horizontal en el cual se comprime al resorte. Pero la fuerza de fricción es proporcional al coeficiente de fricción y la masa del cuerpo. Entonces, si dividimos la expresión anterior por el producto de $\mu$ y $m$, lo que queda dependerá solamente de la forma y extensión de la rampa:

$$\frac W {\mu m} = \int \frac { \boldsymbol f} {\mu m} \boldsymbol \cdot d \boldsymbol \ell + g x$$

Aplicando la ecuación anterior a la información dada y restando, el valor de la integral desaparece y se obtiene al reacomodar:

$$\mu = \frac {\dst \frac {W_1}{m_1} - \frac {W_2}{m_2}}{g (x_1 - x_2)}$$

Hice los cálculos y obtengo un valor de $\mu = 0.37$, que al menos parece un valor legítimo

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[felmon38]

Re: Coeficiente de rozamiento en rampa curva

AI, considero encomiable tu esfuerzo, pero no estoy de acuerdo con tu solución porque f depende de la velocidad al cuadrado en el punto considerado por lo que no es la misma en las dos condiciones. Yo me he rendido y solo veo la solución por cálculo numérico.
Saludos

Lo he resuelto numéricamente utilizando los resultados de AI y me sale μ=0.275

[Breogan]

Re: Coeficiente de rozamiento en rampa curva

Hola:

Gracias Al, como siempre vas con toda la razón; aunque por buscarle el pelo al huevo te faltaría demostrar que las integrales no dependen de la masa de prueba, es decir que la evolución cinemática de la masa no depende del valor de esta.

Haciendo mio, con tu permiso, tu método parto de la ultima expresión de mi mensaje anterior:

$\dst - \mu \ m \ R^2 \ \int_{\theta_0}^{\theta_f} \dot {\theta}^2 \ d \theta - \mu \ m \ g \ R \ \int_{\theta_0}^{\theta_f}sen \theta \ d \theta = E_{Mf} - E_{Mi}$

aclaro que en todo mi desarrollo anterior me olvide de considerar el trabajo de la fuerza de rozamiento en la parte horizontal donde esta el resorte, modifico el mensaje anterior y en este lo agrego por decreto:

$\dst - \mu \ m \ R^2 \ \int_{\theta_0}^{\theta_f} \dot {\theta}^2 \ d \theta - \mu \ m \ g \ R \ \int_{\theta_0}^{\theta_f}sen \theta \ d \theta - \mu m g x_f = E_{Mf} - E_{Mi}$

$\dst - \underbrace{ \mu \ R^2 \ \int_{\theta_0}^{\theta_f} \dot {\theta}^2 \ d \theta}_{I_1} - \underbrace{ \mu \ g \ R \ \int_{\theta_0}^{\theta_f}sen \theta \ d \theta }_{I_2} - \mu g x_f = \frac {E_{Mf} - E_{Mi}} m$

como se ve de la ecuación diferencial de mi mensaje anterior resulta que $\theta = \theta (t)$ y no depende del valor de la masa, por lo cual las integrales de la ecuación anterior son iguales en ambas experiencias, por lo cual:

$\dst \begin{aligned} m_1: \quad & - I_1 - I_2 - \mu g x_1 = \frac {E_{Mf}^1 - E_{Mi}^1} {m_1} \\ m_2: \quad & - I_1 - I_2 - \mu g x_2 = \frac {E_{Mf}^2 - E_{Mi}^2} {m_2} \end{aligned}$

Restando la 2º a la 1º tenemos:

$\dst \mu g (x_2 -x_1) = \frac {E_{Mf}^1 - E_{Mi}^1} {m_1} - \frac {E_{Mf}^2 - E_{Mi}^2} {m_2}$

y finalmente:

$\dst \mu = \frac { \dst \frac {E_{Mf}^1 - E_{Mi}^1} {m_1} - \frac {E_{Mf}^2 - E_{Mi}^2} {m_2}}{ g (x_2 -x_1)}$

que salvo un signo (y no puedo ver donde esta el error) es el resultado que indico AL. Nuevamente las gracias para el.

Del resultado se ve también que el coeficiente de rozamiento en esta experiencia no depende del radio de la pista curva, ni del angulo abarcado por esta (si me apuran diría que ni depende de su forma circular, habría que probarlo) siempre y cuando el $\Delta h$ sea el mismo.

s.e.u.o.

Suerte