1r ciclo Ecuación de trayectoria.

[Mossy]

Buenas,

Tengo un problema con un ejercicio de cinemática. Dice así:

"Un punto cuya posición inicial es $x=0$, $y=b$, tiene una velocidad inicial $v_o$ paralela al eje OX dirigida en el sentido positivo y está sometido a una aceleración paralela al eje OY dirigida en el sentido negativo, siendo $a_y = -k^2y$. Hallar: a) la ecuación de la trayectoria; b) la hodógrafa del movimiento; c) el tiempo transcurrido desde el instante inicial hasta que el móvil corta al eje OX."

El problema lo tengo para sacar la ecuación de la trayectoria. Me dicen que $a_y = \frac{\mathrm{dv_y} }{\mathrm{dt} } = \frac{\mathrm{d^2y} }{\mathrm{dt^2} }= -k^2 y$

Luego me queda la siguiente ecuación diferencial

$\ddot y$ $+ k^2y = 0$

El problema es que no nos enseñaron a resolver este tipo de ecuaciones, sólo las de primer orden por separación de variables. Me dicen que la solución es $y = b \cos(kx/v_o)$. Hay algún método para llegar a esa solución sin resolver la ecuación diferencial? Se me está escapando algo?

Gracias de antemano,

Un saludo.

[Becquerel]

Re: Ecuación de trayectoria.

Hola Mossy,

¿Algún método para llegar al resultado sin resolver la ecuación? Fíjate en una cosa: piensa cuáles son las funciones de variable real que si las derivas dos veces obtienes la misma que al principio pero con el signo cambiado. Seguro que en seguida ves que son las funciones trigonométricas seno y coseno. Con esto, no te hará falta ningún método matemático complicado para resolverla, lo puedes hacer inmediatamente

De todos modos, como consejo personal, deberías familiarizarte con este tipo de ecuaciones diferenciales porque son tipiquísimas. Es la ecuación diferencial del oscilador armónico ideal, así que no la olvides!

Si no entendiste, dímelo sin problemas.

Un saludo,

B.

[Al2000]

Re: Ecuación de trayectoria.

Mossy, me apunto con todo lo que te indicó Becquerel y añado un tip: Empieza diciendo "Ensayemos la solución $y_{(t)} = A \, \mathrm {sen} \, \omega t + B \cos \omega t$..." y llévalo hasta sus últimas consecuencias. Con los datos que te dan podrás determinar $A$, $B$ y $\omega$. Será divertido.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[felmon38]

Re: Ecuación de trayectoria.

Mossy, si aplicas el teorema de la energía cinética te evitas tener que resolver la ecuación diferencial.
Saludos

[Mossy]

Re: Ecuación de trayectoria.

Becquerel, Al: lo que pasa es que para eso tendría que conocer la solución de la ecuación, y si me plantasen este ejercicio en un examen no tendría la solución. Por eso preguntaba si había un método sin tener que resolver la ecuación diferencial.

De todas maneras, he ido a hablar con la profesora al despacho y me dijo "Vaya, pues no, yo también lo hice resolviendo la ecuación diferencial" y le pregunté que cómo hacíamos, porque aún no cursamos la asignatura de ecuaciones diferenciales, y me dijo que no me preocupase que de poner un ejercicio así en un examen sería otra más sencilla (por separación de variables).

Mossy, si aplicas el teorema de la energía cinética te evitas tener que resolver la ecuación diferencial.
Saludos

¿Con el teorema de la energía cinética te refieres al de las fuerzas vivas? ¿Cómo podría utilizar ese teorema para sacar la ecuación de trayectoria?

[Al2000]

Re: Ecuación de trayectoria.

Disculpa, Mossy, tal vez tenemos una diferencia de criterios. El método de tanteo y error es seguramente el primero y precursor de cualquier otro método. Por lo que a mi respecta, considero mas loable conseguir una solución haciendo un tanteo a partir de una suposición educada que solucionar el problema aplicando un método aprendido de memoria y que seguramente alguien antes que nosotros consiguió haciendo alguna suposición educada.

Becquerel te dio una pauta muy importante que te permite, con el simple conocimiento del comportamiento de las funciones trigonométricas, hacer una suposición educada de cómo debe ser la solución. Si tu obtienes la solución de $y_{(t)}$ podrás obtener la ecuación de la trayectoria pues $x_{(t)}$ lo conoces a partir de lo básico de cinemática. Por otra parte, necesitarás conocer $y_{(t)}$ para responder el inciso c), a menos que luego de tener la ecuación de la trayectoria desandes el camino para hallarla a partir de $x_{(t)}$.

En fin amigo, al final la decisión es tuya. Saludos,

$\mathcal A \ell$

PD. También es posible, y parecido a lo que te indica felmon38, hacer la transformación

$$\frac {d v_y}{dt } = -k^2 y \quad \Rightarrow \quad \frac {d v_y}{dy} \frac {dy}{dt} = -k^2 y \quad \Rightarrow \quad \frac {d v_y}{dy} v_y = -k^2 y$$

separar variables e integrar para obtener $v_y(y)$ y volver a separar variables e integrar de nuevo para obtener $y(t)$.

Bueno, suficiente, cambio y fuera

[felmon38]

Re: Ecuación de trayectoria.

Mossy, la fuerza que actúa sobre la partícula es $\vec{F}=-mky\vec{j}$, el trabajo que realiza esta fuerza desde el origen hasta el punto (x,y) es igual a la variación de la energía cinética. Haciendo la integral y sustituyendo x=v₀t, y $\dot{x}=$v₀, te sale una ecuación diferencial de primer orden que la puedes resolver separando variables.
Saludos

P.D. Esto es lo mismo que lo que te indica AI en su P.D.#6

[Mossy]

Re: Ecuación de trayectoria.

Vale, muchas gracias a ambos. Probaré con el cambio de variable, no parece complicado.

Al, respecto a lo del tanteo, reconozco que si sabes más o menos por dónde van los tiros puede estar bien, y como tú dijiste en el primer mensaje, ser divertido. En este caso, entiendo que la ecuación no es de lo más complicada y se podría tantear la solución. Sin embargo, no en todas las ecuaciones se puede tantear la solución tan fácilmente, ¿no crees?

Si me planteasen otra más complicada de tantear en el examen y no supiese resolver el problema por otra vía, estaría en un aprieto.

Saludos

[PedroAAI]

Re: Ecuación de trayectoria.

Hola Mossy, aunque no sea tu pregunta original te voy a dar una contestación que te puede ser útil. Si estás cursando en la USC esto lo aprenderás en Métodos matemáticos IV (en el segundo cuadrimestre).
Siempre que tengas una ED de la siguiente manera (ahora no me acuerdo su nombre ):

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] siendo las $a_i$ constantes, pruebas con la siguiente solución:

$$y=e^{kt}$$

Sustituyendo te queda una ecuación de grado n

$$a_1 +a_2 k +... +a_n k^n = 0$$

que si la resuelves te va a dar n valores de k ($k_i$). Tu solución será una combinación lineal de estos valores:

$$y=\sum_{i = 1}^n A_i e^{k_i t}$$

Ahora bien, pondré un ejemplo con el caso que pusiste (llamaré a tu k $\omega$ para no liarnos). Daré por conocida la fórmula de Euler ($e^{ix}=\cos x + i \sin x$):

$$1 y'' + \omega^2 y=0$$

Pruebo con:

$$y=e^{kt}$$

Sustituyendo te queda una ecuación de grado 2

$$k^2 + \omega^2= 0 \to k=\pm \sqrt{-\omega^2}=\pm i \omega$$

Sustituyendo en tu hipótesis.

$$y=A_1 e^{i \omega t}+A_2 e^{-i \omega t}=A_1 (\cos \omega t + i \sin \omega t)+ A_2(\cos -\omega t + i \sin -\omega t)$$

teniendo en cuenta que sin (-x)=-sin (x) y que cos(-x)=cos(x)

$$y=A_1 (\cos \omega t + i \sin \omega t)+ A_2(\cos \omega t - i \sin \omega t)=(A_1+A_2)\cos \omega t + i(A_1-A_2)\sin \omega t$$

Si llamamos $A=A_1 +A_2$ y$B=i(A_1-A_2)$ llegas a la solución de esta ecuación diferencial.

$$y=A \cos \omega t + B\sin \omega t$$

Con A y B dos constantes arbitrarias que las encontrarás a partir de las condiciones de contorno de tu problema. En tu caso y(0)=b y y'(0)=0.

Pues esto es todo, como te dijeron antes esta ecuación diferencial es importantísima y a lo largo de la carrera te la vas acabar aprendiendo de memoria.

EDITO: Esta ecuación diferencial es un poco más complicada que otras porque k es complejo. Normalmente tu k no es complejo y no tienes que utilizar la fórmula de Euler que te mencioné. Prueba con resolver con otras ecuaciones diferenciales del tipo que te dije y verás la utilidad de este método

Un saludo

[Mossy]

Re: Ecuación de trayectoria.

Hola, Pedro. Gracias por tu mensaje, ha quedado clara tu explicación. Probaré con otras ecuaciones a ver qué tal va el método.

Un saludo.