Secundaria E. Potencial gravitatoria

[Jorge 2014]

Hola!! Tengo 2 dudas:

1.Si quiero carcular el trabajo realizado por el campo gravitatorio para mover a un cuerpo de masa m desde b hasta a (donde b es mayor, mas lejano que a), tenemos: [teniendo en cuenta que $\vec{{u}_{r }}$ y el $d \vec{r}$ forman 180º]

${W}_{b \to a} = \dst\int \limits_{b}^{a} (\vec{F} \cdot d \vec{r}) = \dst\int \limits_{b}^{a} (-GMm / {r}^{2} \cdot \vec{{u}_{r }} \cdot d \vec{r}) = GMm \cdot (\frac{-1}{{r}_{a}} - \frac{-1}{{r}_{b}}) \to {W}_{b \to a} = \Delta Ep$, ¿pero no era el trabajo realizado por el campo justo lo contrario?

2. ¿Cual es la definición de energía potencial g.: el W realizado por el campo para traer un objeto desde el infinito hasta un punto P o desde un punto P hasta el infinito?

Gracias!!

[Singularity]

Re: E. Potencial gravitatoria

El trabajo realizado por el campo corresponde a una disminución de la energía potencial (o sea, un incremento negativo). Creo que debe haber un signo menos, si sacas $-GMm$ fuera de la integral ya te queda el signo negativo, y luego sería $-GMm(\frac{1}{r_{a}}-\frac{1}{r_{b}})$. Que de hecho puedes hacerlo después de integrar, sacar los menos fuera del paréntesis.

Referente a lo segundo, tu estás definiendo "incremento de potencial" (si es del infinito a un punto) o "disminución de potencial" (del punto al infinito). Pero no defines potencial en si, si no su variación

Espero haberte ayudado en algo.

Saludos.

[Weip]

Re: E. Potencial gravitatoria

La cuestión no es sacar el factor -GMm para que quede negativo, el problema es que la fórmula está mal. La correcta es esta, que ya lleva de serie el signo menos por definición:

$W = -\dst\int \limits_{b}^{a} \vec{F} \cdot d \vec{r}$

[Jorge 2014]

Re: E. Potencial gravitatoria

Pero entonces ${W}_{a \to b}$ es el que sale $\Delta Ep$

[Weip]

Re: E. Potencial gravitatoria

Pero entonces ${W}_{a \to b}$ es el que sale $\Delta Ep$

Claro, si intercambias los límites de integración la integral cambia de signo, en eso no hay problema. La definición que te he puesto la puedes ver aquí, en el apartado "energía potencial asociada a campos de fuerza". No te confundas con la $a$ y la $b$.

Edito: Ahora que me fijo has dicho que quieres calcular el trabajo entre $b$ y $a$ con $b$ mayor que $a$, entonces la $b$ va arriba y la $a$ abajo. Pero que vamos el orden con que lo hagas solo te cambia el signo. Lo digo para que seas consciente de lo que estás haciendo.

[Jorge 2014]

Re: E. Potencial gravitatoria

¿Entonces cuándo sale negativo? Cuando el trabajo lo realiza el campo; es decir, cuando éste es positivo (se acerca a la Tierra, por ejemplo), el W del campo es $- \Delta Ep$, y cuando el desplazamiento tiene lugar en sentido contrario, cuando el trabajo lo realiza una fuerza se signo opuesto a Fg (trabajo del campo negativo), entonces Wcampo = $\Delta Ep$. ¿Es así?

[Weip]

Re: E. Potencial gravitatoria

¿Entonces cuándo sale negativo? Cuando el trabajo lo realiza el campo; es decir, cuando éste es positivo (se acerca a la Tierra, por ejemplo), el W del campo es $- \Delta Ep$, y cuando el desplazamiento tiene lugar en sentido contrario, cuando el trabajo lo realiza una fuerza se signo opuesto a Fg (trabajo del campo negativo), entonces Wcampo = $\Delta Ep$. ¿Es así?

Saldrá negativo cuando tenga que salir, depende de la fuerza que tengamos. En el caso de la gravedad, la energía potencial es negativa. Si tu quieres calcular la energía potencial entre dos puntos, la integral lleva un signo menos. Si inviertes los límites de integración tal como estás haciendo, pues se vuelve positiva. ¿Cuál es la correcta? Las dos, el problema es que no eres consciente de que estás invirtiendo los límites.

Conclusión: es como dices, pero ten en cuenta como lo has de calcular sobre el papel. Vamos, que has de usar un solo criterio de signos y ya está. Al principio has dicho que ibas a calcularlo desde $b$ hasta $a$ con $b$ mayor que $a$ pero luego lo has hecho al revés.

[visitante20160513]

Re: E. Potencial gravitatoria

Entender el concepto es sencillo si aplicamos la definición del trabajo realizado por una fuerza.

El trabajo realizado por el campo es el trabajo que realiza la fuerza que ejerce el campo y vale:

$W=\displaystyle\int_a^b Fds$

El trabajo realizado contra el campo es el trabajo que realiza una fuerza opuesta al campo y vale:

$W=\displaystyle\int_a^b (-F)ds$

conceptos ambos que son muy fáciles de entender y de recordar. No conviene aprenderse nada de memoria en este oficio.

Si lo que se desea es calcular el trabajo realizado contra el campo debemos utilizar la fuerza opuesta al campo, por lo tanto:

${W}_{b \to a} = \displaystyle\int_{b}^{a} (-\vec F\cdot d\vec r) = GMm\displaystyle\int_{b}^{a}\displaystyle\frac{dr}{r^2} = -GMm\cdot\left(\frac{1}{{r}_{a}}-\frac{1}{r_b}\right)=-\Delta E_p$

y además tener en cuenta que:

$d(1/r)=-dr/r^2$

Salu2, Jabato.

[Jorge 2014]

Re: E. Potencial gravitatoria

Vale, a ver si esto está bien:

Supongamos dos puntos, $a$ y $b$. El punto $b$ está más alejado que el $a$. Por ello, ${Ep}_{b} > {Ep}_{a}$. En concreto: ${Ep}_{B} = -500 J$ y ${Ep}_{A}=-200 J$.
Si tengo que calcular el trabajo realizado por el campo, para mover un cuerpo de masa $m$ de $b$ a $a$ (por la fuerza de gravedad):

1. Por un lado, sé (por habérmelo aprendido de memoria), que ${W}_{campo} = - \Delta Ep = -[{Ep}_{A} - {Ep}_{B}] = -[-200 - (-500)] = -300 J$

2. Pensando por mí mismo: $W=\displaystyle\int_b^a (\vec{F}_{g} \cdot d \vec{r})$. Y sé que $\vec{F}_{g} = \frac{-GMm}{{r}^{2}}$ y que el desplazamiento $d \vec{r}$, al realizarse de $b \to a$, tiene el mismo sentido que la fuerza de gravedad (para ahora el producto escalar). Por lo tanto: $W = \displaystyle\int_b^a (\frac{-GMm}{{r}^{2}} \cdot \vec{{u}_{r}} \cdot d \vec{r}) \to W = GMm \cdot \displaystyle\int_b^a (\frac{1}{{r}^{2}}) = GMm \cdot {[\frac{-1}{r}]}^{a}_{b} =$$\frac{-GMm}{{r}_{a}} - \frac{-GMm}{{r}_{b}} = \Delta Ep \to {W}{campo} = -200 - (-500) = 300J$

¿Cuál es el correcto?

- - - Actualizado - - -

${W}_{b \to a} = \displaystyle\int_{b}^{a} (-\vec F\cdot d\vec r) = GMm\displaystyle\int_{b}^{a}\displaystyle\frac{dr}{r^2} = -GMm\cdot\left(\frac{1}{{r}_{a}}-\frac{1}{r_b}\right)=-\Delta E_p$

Jabato, si desarrollo tu último paso yo tengo: $\frac{-GMm}{{r}_{a}} - \frac{-GMm}{{r}_{b}}$, y como $\frac{-GMm}{{r}_{a}} = {Ep}_{a} = Ep. final$ y $\frac{-GMm}{{r}_{b}} = {Ep}_{b} = Ep. inicial \to {W}_{b \to a} = {Ep}_{a} - {Ep}_{b} = \Delta Ep$. ¿Por qué no me sale?

[visitante20160513]

Re: E. Potencial gravitatoria

Vamos a ver, no es lo mismo el trabajo del campo que es el que realiza el campo aplicado, que el trabajo contra el campo que es el que realiza una fuerza opuesta al campo. Si aplicas la fórmula que obtuve en mi mensaje anterior estás calculando el trabajo contra el campo:

$W+\Delta E_p=0$

¿Qué es lo que se pretende calcular? Porque si lo que quieres calcular el trabajo realizado por el campo, según afirmas en tu último mensaje, no puedes usar esa ecuación sino esta otra:

$W=\Delta E_p$

El trabajo realizado por el campo siempre es opuesto al trabajo realizado contra el campo. La fuerza que debes usar en cada caso es distinta.

En el apartado 1 estás calculando el trabajo contra el campo, porque usas la fórmula que deduje yo, pero en el apartado 2 estás calculado el trabajo realizado por el campo, porque la fuerza que usas es la fuerza que ejerce el campo. (???). Por eso obtienes valores con signo opuesto. ¿Te aclaras o no te aclaras?

Para que lo entiendas:

En el apartado 1 estás calculando: $\displaystyle\int_{b}^{a} (-\vec F\cdot d\vec r)$ que es el trabajo realizado contra el campo.

En el apartado 2 estás calculando: $\displaystyle\int_{b}^{a} (\vec F\cdot d\vec r)$ que es el trabajo realizado por el campo.

Salu2, Jabato.

[Weip]

Re: E. Potencial gravitatoria

Los dos son correctos. Estás obteniendo resultados distintos para cosas distintas, no hay problema con eso. Mal iríamos si fueran iguales.

[Jorge 2014]

Re: E. Potencial gravitatoria

Perdonad que no os haya contestado hasta ahora, pero he tenido muchos exámenes.

Es lógico que ${Wcampo}_{a \to b} = - {Wexterior}_{a \to b}$. También he pensado que, al ser conservativo, ${Wcampo}_{a \to b} = - {Wcampo}_{b \to a}$, pero es que como en clase me habían dicho SIEMPRE ${Wcampo} = - \Delta Ep$, y eso me hacía dudar.

El ejemplo que puse antes me he dado cuenta de que era imposible, ya que si el punto $B$ está más alejado que el $A,$ ${Ep}_{b} > {Ep}_{a}$. Por lo tanto, ${Ep}_{b} = -200 J$ y ${Ep}_{a} = -500J$ y no al revés.

Si se mueve de B a A:
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , y como [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] que, en términos de energía potencial, [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] . Y en este ejercicio concreto: [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] .

Entonces, [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Si se mueve de A a B:
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , y como [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] que, en términos de energía potencial, [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] . Y en este ejercicio concreto: [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] .

Entonces, [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Es decir, me sale algo muy raro: que $Wcampo > 0$ siempre. ¿Es esto posible?

[Weip]

Re: E. Potencial gravitatoria

Perdonad que no os haya contestado hasta ahora, pero he tenido muchos exámenes.

Es lógico que ${Wcampo}_{a \to b} = - {Wexterior}_{a \to b}$. También he pensado que, al ser conservativo, ${Wcampo}_{a \to b} = - {Wcampo}_{b \to a}$, pero es que como en clase me habían dicho SIEMPRE ${Wcampo} = - \Delta Ep$, y eso me hacía dudar.

El ejemplo que puse antes me he dado cuenta de que era imposible, ya que si el punto $B$ está más alejado que el $A,$ ${Ep}_{b} > {Ep}_{a}$. Por lo tanto, ${Ep}_{b} = -200 J$ y ${Ep}_{a} = -500J$ y no al revés.

Si se mueve de B a A:
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , y como [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] que, en términos de energía potencial, [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] . Y en este ejercicio concreto: [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] .

Entonces, [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Si se mueve de A a B:
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , y como [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] que, en términos de energía potencial, [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] . Y en este ejercicio concreto: [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] .

Entonces, [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Es decir, me sale algo muy raro: que $Wcampo > 0$ siempre. ¿Es esto posible?

Creo que como hemos dicho tantas cosas que te has liado. El trabajo que hace el campo es igual a menos el incremento de energía potencial. El problema es que no pones el signo adecuado. El trabajo que hace el campo para ir de $a$ a $b$ es:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

El incremento de energía potencial se define como:

$\Delta E_p=-\displaystyle\int_a^b (\vec{{F}_{g}}\cdot d\vec{r})$

Si tienes claro esto, pasemos a la cuestión central. En el primer apartado afirmas que:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Y en el segundo:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Pero esto está mal porque [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] . Lo correcto sería:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Fíjate en los signos, en las $a$ y en las $b$.

[Jorge 2014]

Re: E. Potencial gravitatoria

Pero qué he hecho mal en la segunda expresión? Lo que yo quiero demostrar es que el $Wcampo = - \Delta Ep$, por lo que no puedo partir de ello

[Weip]

Re: E. Potencial gravitatoria

Pero qué he hecho mal en la segunda expresión? Lo que yo quiero demostrar es que el $Wcampo = - \Delta Ep$, por lo que no puedo partir de ello

Te explico porqué está mal. Sé que me voy a repetir pero quiero dejar todo claro. El trabajo del campo para ir de $a$ hasta $b$ es:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

El trabajo del campo para ir de $b$ hasta $a$ es:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

¿Qué diferencia las dos expresiones? Los límites de integración, que están girados. ¿Como se relacionan las dos integrales? Si recuerdas de la asignatura de matemáticas, puedes girar los límites de integración cambiando el signo de la integral. Es decir:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Teniendo en cuenta esto, tenemos que:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Por lo tanto:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Sabiendo esto, relee mi anterior mensaje. Te darás cuenta de que afirmas que:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Que no es cierto.

Por último, decir que el hecho de que:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Es una elección tuya. Lo importante es que el signo cambie si lo calculas al revés. Bien podrías decir que:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Pero entonces:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Lo digo porque me parece no eres consciente de esta elección. Antes has dicho que tu profesor dice que $W=-\Delta E_p$ siempre, y es cierto, pero es que si cambias el signo de una de las integrales pues tendrás que cambiar también el signo de $-\Delta E_p$.

PD: Aquí no estás demostrando que $W_{Campo}=-\Delta E_p$. La demostración supongo que la has dado en clase. Por eso lo estoy usando como un resultado conocido, tu también lo estás haciendo.

PD2: Espera un poquito al leer mi mensaje que aún estoy editando algunos despistes.