Secundaria Duda acerca del péndulo simple

[Visitante]

Hola,
Últimamente he estado estudiando el M.A.S. y he visto la deducción del período del péndulo simple $T=2\pi\sqrt{\frac{l}{ g}}$
Mi duda es la siguiente:
En la deducción se pone el ángulo ($\theta\leqslant 30º$) en radianes porque es aproximadamente igual al valor del seno de dicho ángulo, pero, ¿Por qué no ponen simplemente el seno? ¿No sería más fácil?

[Weip]

Re: Duda acerca del péndulo simple

No sé qué deducción has visto, pero lo que usualmente se hace es plantear la segunda ley de Newton y resolver la ecuación diferencial que queda. La cosa es que si aproximas el seno, la ecuación que te queda es mucho más fácil, y es justamente la de un MAS. Si no, pues te toca complicarte la vida. Te aseguro que esto se vuelve increíblemente difícil en comparación a la ecuación diferencial de un MAS. La ecuación la puedes ver aquí en el apartado "Ecuación del movimiento". Más abajo puedes ver el resultado final del período.

[arivasm]

Re: Duda acerca del péndulo simple

En la deducción se pone el ángulo ([Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] )...

Sólo quiero aportar que en rigor sólo se tiene un MAS si $\theta\to 0$ y la tradicional expresión para el período $T=2\pi\sqrt{l/g}$ diferirá más cuanto mayor sea la amplitud angular. La expresión para una amplitud ordinaria se puede obtener con series (la puedes ver aquí). En definitiva, poner el límite de validez en 30º es una aproximación más burda que si se pone en 20º, que es más burda que si se pone en 10º, que es más burda que si se pone en 5º,...

Conclusión: si, por ejemplo, se quiere medir la gravedad con un péndulo simple la amplitud angular debe ser la más pequeña posible que permita realizar medidas. Por cierto, en mi opinión 30º ya empieza a ser grande, pues, como puedes comprobar con la ecuación que te mencioné antes, el período ya es casi un 2% mayor que el esperado con la expresión para el MAS (y que será un error sistemático, pues afectará a todas las medidas que se realicen -si todas tienen una amplitud de 30º-).

[visitante20160513]

Re: Duda acerca del péndulo simple

Hay otros muchos ejemplos más adecuados que el péndulo simple para aprender el M.A.S. porque sencillamente el movimiento de un péndulo no es de forma estricta un M.A.S. Aunque si puede realizarse la aproximación:

$x\approx Senx$

entonces la solución es un movimiento armónico simple, por eso es necesario esa aproximación. Es por ejemplo el caso de los relojes de péndulo cuya oscilación es pequeña frente a su longitud. Si planteas la ecuación del movimiento verás como ya te han dicho que si no se realiza esa aproximación el problema es bastante más complejo. Si no tienes conocimientos, aunque sea elementales, de ecuaciones diferenciales es complicado explicarte el motivo.

Salu2, Jabato.

[Visitante]

Re: Duda acerca del péndulo simple

Si tengo conocimientos de ecuaciones diferenciales.

[Weip]

Re: Duda acerca del péndulo simple

Si tengo conocimientos de ecuaciones diferenciales.

Las ecuaciones diferenciales son todo un mundo, así que mejor dinos exactamente el nivel para adecuar la respuesta. De todas formas si sabes resolver ni que sea las sencillas, ya puedes ver que el poner $\sin \theta$ en vez de $\theta$ complica bastante el asunto. De hecho puedes probar a resolverla haciendo $a=v \dst\frac{dv}{d \theta}$ y llegarás a una integral elíptica de primera especie.

[visitante20160513]

Re: Duda acerca del péndulo simple

Si obtienes la ecuación diferencial del péndulo simple llegas a lo siguiente:

$l\theta''+gSen(\theta)=0$

ecuación que no se corresponde con un MAS y que además no tiene una solución simple. Sin embargo al hacer la aproximación indicada, suponiendo que las oscilaciones del péndulo son pequeñas, obtienes una ecuación que se corresponde con un MAS y cuya solución te conduce a la archiconocida expresión del periodo del péndulo:

$l\theta''+g\theta=0\qquad\to\qquad T=2\pi\sqrt{\displaystyle\frac{l}{g}}$

Salu2, Jabato.

[Samir M.]

Re: Duda acerca del péndulo simple

También puedes intentar reducir la ecuación original sin aproximar a una ecuación de primer orden usando el lema de la energía.