1r ciclo Tiro vertical con resistencia del aire

[Castelao]

¿Alguién sabría como calcular la velocidad final a la que llega al suelo un cuerpo de masa constante $m$ que se lanza verticalmente con una velocidad $v_0$, sabiendo que sobre ella actúan al gravedad y la resistencia del aire, dada por $F=-m\alpha v$, con $\alpha$ constante? He probado varias cosas pero conducen a resultados extremadamente complicados de calcular.

[Weip]

Re: Tiro vertical con resistencia del aire

¿Quieres la fórmula final para hacer cálculos prácticos o te enseño todo el proceso de resolución de la ecuación diferencial?

[Castelao]

Re: Tiro vertical con resistencia del aire

Si no es molestia, todo. La ecuación diferencial la he resuelto, pero no avanzo. Gracias.

He llegado a:

$\frac{2gln(g)}{\alpha^2}+\frac{1}{ \alpha}(v_0-v_f)=\frac{g}{\alpha^2 }ln\left[(g+\alpha v_0)(g-\alpha v_f)\right]$

Se puede simplificar, obviamente, ¿pero cómo sacar de aquí $v_f$?

[Weip]

Re: Tiro vertical con resistencia del aire

De acuerdo, pues empecemos. Supongamos que tenemos una fuerza de rozamiento hacia arriba de la forma $m \alpha \vec{v}$ (si no es molestia la considero positiva) y el peso del cuerpo $-m\vec{g}$. Aplicando la segunda ley de Newton, hemos de resolver:

$m\vec{a}=-m\vec{g}+m\alpha \vec{v}$

Arreglando un poco la ecuación:

$\dst\frac{d\vec{v}}{dt}=-\vec{g}+\alpha \vec{v}$

Reorganizamos la expresión para poder integrar:

$\dst\frac{d\vec{v}}{-\vec{g}+\alpha \vec{v}}=dt$

$\dst\int ^{\vec{v}}_{\vec{v}_0}\dst\frac{d\vec{v}}{-\vec{g}+\alpha \vec{v}}=\dst\int ^{t}_{t_0} dt$

$\dst\frac{1}{\alpha} \ln \dst\frac{-\vec{g}+\alpha \vec{v}}{-\vec{g}+\alpha \vec{v_0}}=\Delta t$

Finalmente despejamos la velocidad:

$v=\dst\frac{1}\alpha}(e^{\alpha \Delta t}(-\vec{g}+\alpha\vec{v_0})+\vec{g})$

Si hay algún paso que no has entendido dímelo y lo comentamos con más profundidad.

PD: He visto tu expresión demasiado tarde. Pero bueno, diría que te debes haber equivocado al integrar porque te sale algo un poco raro.

[Castelao]

Re: Tiro vertical con resistencia del aire

A esa ecuación llegué, pero el problema que tengo es que en el enunciado del problema, que me he olvidado de poner completo, se me pide dejar $v_f$ en función únicamente de $v_0, \alpha$ y $g$. He intentado sacar $\Delta t$ a partir de la altura pero me queda una ecuación del tipo $ae^x+bx+c=0$ y no sé cómo sacar de ahí $x$. De todas formas gracias.

Se llega a que el tiempo de subida, si no me he equivocado, es $t_{sub}=-\frac{1}{\alpha } ln\frac{g}{\alpha v_0 +g }$. Mi idea entonces es a partir de la ecuación dada por Weip (que es la misma usada para hallar lo anterior, con alguna modificación: $t_0=0$, plantear una ecuación escalar para la subida y otra para la bajada), hallar la ecuación de la trayectoria ascendida $y=y(t)$, substituir en ella $t_{sub}$, obteniendo por tanto $h$. Después se resuelve la ecuación de bajada $\dot v=-\alpha v+g$ y se de aquí se halla a su vez $y=y(t)$ para la bajada, se iguala a $h$ y se obtiene $t_{bajada}$. Esto se substituye en la ecuación que proporciona la velocidad de bajada, lo que proporciona $v_f$.

[Breogan]

Re: Tiro vertical con resistencia del aire

Hola:

Primero la fuerza del rozamiento con el aire es siempre opuesta a la velocidad de la masa m, es similar al caso del resorte donde la fuerza siempre se opone al desplazamiento. Teniendo en cuenta esto la ED del movimiento queda:

$\dst a = - g - \alpha v$

$\dst \frac {dv}{-(g + \alpha v)} = dt$

$\dst \int \frac {dv}{-(g + \alpha v)} = \int dt$

$\dst - \frac {ln (g + \alpha v)}{\alpha} = t + C$

$\dst ln (g + \alpha v) = - \alpha t + C_1$

$\dst g + \alpha v = C_2 \ \ee ^{- \alpha t}$

$\dst v = C_3 \ \ee ^{- \alpha t} - \frac g {\alpha}$

$\dst t=0 \quad \Rightarrow \quad v = v_0$

$\dst v_0 = C_3 \ - \frac g {\alpha}$

$\dst C_3 \ = v_0 + \frac g {\alpha}$

Por lo cual:

$$\dst v = \left( v_0 + \frac g {\alpha} \right) \ \ee ^{- \alpha t} - \frac g {\alpha}$$

Ahora integramos nuevamente para hallar la ecuación de la posicion:

$\dst \int dy = \int \left[ \left( v_0 + \frac g {\alpha} \right) \ \ee ^{- \alpha t} - \frac g {\alpha} \right] dt$

tomando un SR con el semieje y+ hacia arriba.

$\dst y =- \frac 1 {\alpha} \left( v_0 + \frac g {\alpha} \right) \ \ee ^{- \alpha t} - \frac g {\alpha} t + C_4$

$\dst t=0 \quad \Rightarrow \quad y =y_0$

$\dst y_0 =- \frac 1 {\alpha} \left( v_0 + \frac g {\alpha} \right) + C_4$

$\dst C_4 = y_0 + \frac 1 {\alpha} \left( v_0 + \frac g {\alpha} \right)$

y la ecuación del desplazamiento queda:

$\dst y =- \frac 1 {\alpha} \left( v_0 + \frac g {\alpha} \right) \ \ee ^{- \alpha t} - \frac g {\alpha} t + y_0 + \frac 1 {\alpha} \left( v_0 + \frac g {\alpha} \right)$

$$\dst y = y_0 + \frac 1 {\alpha} \left( v_0 + \frac g {\alpha} \right) \ \left( 1 - \ee ^{- \alpha t} \right) - \frac g {\alpha} t$$

Ya con la ecuación del desplazamiento y la de la velocidad, y con un poco de álgebra creo que es posible llegar a la solución del problema propuesto.

$\dst \left\{ \begin{aligned} t=0 \ & \Rightarrow \ y = 0 \ ; \ v = v_0 \\ t=t_1 \ & \Rightarrow \ y = y_{max} \ ; \ v = 0 \\ t=t_2 \ & \Rightarrow \ y = 0 \ ; \ v = v_f \end{aligned}$

Por las dudas revisa a fondo mi procedimiento matemático, ya que lo hice directamente en LaTex en la PC, y se me puede haber escapado algún horror.

s.e.u.o.

Suerte

[Castelao]

Re: Tiro vertical con resistencia del aire

Aún así debes considerar una ecuación (escalar) de bajada y otra de subida, $a=+g-\alpha v$ y $a=-g- \alpha v$, si no lo haces vectorialmente.

[visitante20160513]

Re: Tiro vertical con resistencia del aire

[FONT=Verdana]"A esa ecuación llegué, pero el problema que tengo es que en el enunciado del problema, que me he olvidado de poner completo, se me pide dejar [/FONT][FONT=Verdana] en función únicamente de [/FONT][FONT=Verdana] y [/FONT][FONT=Verdana, Arial, Tahoma, Calibri, Geneva, sans-serif]".[/FONT]

Una duda, ¿la altura inicial debe considerarse dato del problema o no? porque está claro que la velocidad final dependerá de cual sea esa altura. Si no es así el problema estaría mal planteado y no puede resolverse.

Salu2, Jabato.

[Castelao]

Re: Tiro vertical con resistencia del aire

Mis disculpas por el despiste. Aclararé el enunciado: "un cuerpo de masa constante $m$ es lanzado hacia arriba desde el suelo ($y_0=0$) con una velocidad inicial $v_0$. El cuerpo está sometido a la fuerza de la gravedad y a la resistencia del aire ($F=-m \alpha v)$, $\alpha=C^{te}$. Obtener $v_f$ en función de $\alpha$, $v_0$ y $g$."


Así lo veo: Breogán ha calculado $v=v(t)$ e $y=y(t)$ para la subida, resultando en

$$v(t)=\biggl(v_0+\frac{g}{\alpha}\biggl)e^{-\alpha t}-\frac{g}{\alpha}$$

Y

$$y(t)=\frac{1}{\alpha } \biggl(v_0+\frac{g}{\alpha}\biggl) (1-e^{-\alpha t})-\frac{g}{\alpha }t$$

Haciendo $v(t=t_1)=0$ en la primera ecuación hayamos el tiempo de subida $t_1$. Substituyendo este valor en la segunda ecuación hayamos la altura $h$.

Ahora debemos plantear la ecuación de bajada, y operar de la misma forma que para la de subida. Ahora la ecuación es $a=-\alpha v+g$. Se obtiene

$$v(t)=\frac{g}{\alpha}(1-e^{-\alpha t})$$

Y

$$y(t)=h-\frac{g}{\alpha^2 }(e^{-\alpha t}+ \alpha t-1)$$

Entonces, si en esta última ecuación hacemos $y(t=t_2)=0$ podremos hallar el tiempo de bajada $t_2$, ya que conocemos todo. Luego sólo habría que substituir $t_2$ en la ecuación (3), y obtendríamos la velocidad final $v_f$. El problema surge al intentar despejar $t_2$ en (4).

P.D. Supongo que debe existir una solución ingeniosa para evitar gran parte del cálculo matemático implicado, que hace extremadamente difícil el despejar $t_2$.

[visitante20160513]

Re: Tiro vertical con resistencia del aire

La segunda ley de Newton nos conduce a una EDO lineal de segundo orden:

$h''+\alpha h' +g=0$

el problema se reducirá pues a resolverla, aplicar condiciones de contorno (posición y velocidad iniciales) y por último establecer el valor que hace que la altura del objeto vuelva a anularse en un instante posterior al inicial. Bastará entonces hallar la velocidad en ese instante, no veo dificultades en hacerlo.

El polinomio característico es:

$r^2+\alpha r=0\qquad\to\qquad r_1=0\qquad r_2=-\alpha$

por lo que la solución es:

$h=Ae^{-\alpha t}+B-gt/\alpha\qquad\to\qquad v=dh/dt=-A\alpha e^{-\alpha t}-g/\alpha$

y ahora solo es necesario imponer que la altura inicial es $h=0$ y la velocidad inicial es $v_o$ de lo que fácilmente se deduce que:

$A=-(v_o\alpha+g)/\alpha^2\qquad\qquad B=-A=(v_o\alpha+g)/\alpha^2$

¿En que instantes se anula la altura? Evidentemente en $t=0$ y en un segundo instante que denominaré $t=t_1$.


¿Cuanto vale la velocidad en $t_1$? Esa es la solución buscada, aunque por el tipo de las expresiones algebraicas obtenidas no parece fácil despejar $t_1$ y por lo tanto no va ser fácil obtener su expresión algebraica en fucnción de los parámetros solicitados.

Salu2, Jabato.

[Breogan]

Re: Tiro vertical con resistencia del aire

Hola:

Primero: Castelao no se necesitan dos ecuaciones (escalares) para describir el movimiento, si la ecuación hallada esta bien describe la totalidad del movimiento de la masa m, tanto de subida como de bajada (en este ultimo caso, la velocidad v tendrá un valor negativo acorde al SR elegido).

El procedimiento indicado por Jabato es mucho mas elegante, y debería dar el mismo resultado que por el otro método.

Asumiendo que la solución encontrada en mi anterior post esta bien, ya que nadie la objeto y yo no la revise. Parto de las ecuaciones (1) y (2), a saber:

$$\dst v = \left( v_0 + \frac g {\alpha} \right) \ \ee ^{- \alpha t} - \frac g {\alpha}$$

$$\dst y = y_0 + \frac 1 {\alpha} \left( v_0 + \frac g {\alpha} \right) \ \left( 1 - \ee ^{- \alpha t} \right) - \frac g {\alpha} t$$

Vamos aplicar distributiva a la (2):

$\dst y = y_0 + \frac {v_0} {\alpha} + \frac g {\alpha^2} - \underbrace {\left( \frac {v_0} {\alpha} + \frac g {\alpha^2} \right) \ \ee ^{- \alpha t} \right)}_{\dst (1) \to = \ \frac v {\alpha} + \frac g {\alpha^2}} - \frac g {\alpha} t$

por lo cual:

$\dst y = y_0 + \frac {v_0} {\alpha} + \frac g {\alpha^2} - \left( \frac v {\alpha} + \frac g {\alpha^2}} \right) - \frac g {\alpha} t$

$$\dst y(t) = y_0 - \frac 1 {\alpha} [ v(t) - v_0 ] - \frac g {\alpha} t$$

Ahora sabemos que en el instante t1 la masa m alcanza su máxima altura y_max, donde su velocidad es nula, usando (3) tenemos:

$\dst y_{max} = y(t_1) = \frac {v_0} {\alpha} - \frac g {\alpha} t_1$

y en el instante t2 la masa llega al suelo, t2-t1 es el tiempo que tarda la caída desde ymax partiendo de una velocidad nula, y en ese instante su velocidad es la velocidad final vf y su altura es nula, de (3) tenemos:

$\dst 0 = y(t_2 - t_1) = y_{max} - \frac {v_f} {\alpha} - \frac g {\alpha} (t_2 - t_1)$

reemplazando y_max en la ultima:

$\dst 0 = \frac {v_0} {\alpha} - \frac g {\alpha} t_1 - \frac {v_f} {\alpha} - \frac g {\alpha} t_2 + \frac g {\alpha} t_1$

$\dst 0 = \frac {v_0} {\alpha} - \frac {v_f} {\alpha} - \frac g {\alpha} t_2$

de donde :

$\dst t_2 = \frac {v_0 -v_f} g$

como ya se dijo en t2 se produce la llegada al suelo de la masa con velocidad vf, por lo cual teniendo en cuenta la (1) queda:

$\dst v_f = \left( v_0 + \frac g {\alpha} \right) \ \ee ^{- \alpha t_2} - \frac g {\alpha}$

y reemplazando t2:

$\dst \boxed{ v_f = \left( v_0 + \frac g {\alpha} \right) \ \ee ^{\dst - \alpha \frac {v_0 - v_f} g} - \frac g {\alpha}}$

Y esta es la expresión que debe satisfacer la velocidad final, no creo que se pueda presentar de una forma mas simple, pero intentarlo no cuesta nada.

Repito como en el anterior mensaje, y por las mismas razones, que revises todo el desarrollo matemático. Espero no haberme equivocado ....., pero si fuera así en algún paso, tenes que tener en cuenta que el procedimiento es similar al indicado.

s.e.u.o.

Suerte

[Castelao]

Re: Tiro vertical con resistencia del aire

Breogán, tienes razón, simplemente estaba aplicando el razonamiento que me parecía más simple. El procedimiento de Jabato es más elegante, pero, al igual que el mío o el tuyo, se topa con el problema de despejar ese tiempo (o esa velocidad final), cosa que no es nada fácil.

- - - Actualizado - - -

Rescato otra propuesta de solución:

Subida

$$\frac{dv}{dt }=\frac{dv}{ dy}\frac{dy}{ dt}=-\alpha v -g \to \frac{v dv}{-\alpha v -g }=dy$$

Integrando

$$\int_{v_0}^{0}\frac{v dv}{-\alpha v -g }=\int_0^h dy$$

Bajada

$$\frac{dv}{dt }=\frac{dv}{ dy}\frac{dy}{ dt}=-\alpha v +g \to \frac{v dv}{-\alpha v +g }=dy$$

Integrando

$$\int_{0}^{v_f}\frac{v dv}{-\alpha v +g }=\int_h^0 dy$$

Igualando

$$\int_{v_0}^{0}\frac{v dv}{-\alpha v -g }=-\int_{0}^{v_f}\frac{v dv}{-\alpha v +g }$$

La cual es una ecuación para $v_f$. La he resuelto (en mi segundo post, y no creo que lo haya hecho bien) y sigo sin poder despejar $v_f$.