Divulgación Problema con diagrama de cuerpo libre de una ferza

[inakigarber]

Buenas noches;
Tengo un problema que no se como afrontar;
Una fuerza en el plano xy viene dada por F=(Fo/r)(yi-xj) en donde Fo es una constante y $r=\sqrt{x^2+y^2}$ ....
El problema pide una serie de resultados para cuyo desarrollo quisiera trazar un diagrama de fuerzas, supongo que obedece a una circunferencia,pero no acierto en como visualizar esas fuerzas.
¿Alguien podría darme un ejemplo de fuerza que se adapte a dicha expresión?
Gracias.

[arivasm]

Re: Problema con diagrama de cuerpo libre de una ferza

No tiene pinta de que sea cuestión de usar un diagrama de fuerzas (¿en el ejercicio hay más fuerzas presentes?). Más bien parece un ejercicio teórico. ¿Por qué no pones el enunciado completo?

[inakigarber]

Re: Problema con diagrama de cuerpo libre de una ferza

No tiene pinta de que sea cuestión de usar un diagrama de fuerzas (¿en el ejercicio hay más fuerzas presentes?). Más bien parece un ejercicio teórico. ¿Por qué no pones el enunciado completo?

De acuerdo;
Una fuerza en el plano xy viene dada por F=(Fo/r)(yi-xj) en donde Fo es una constante y a) demostrar que el modulo de esta fuerza es Fo y su dirección es perpendicular a r =xi+yj b) determinar el trabajo realizado por esta fuerza sobre una partícula que se mueve en un circulo de radio =5 metros centrado en el origen, ¿Es conservativa esta fuerza?
Quisiera saber ¿puede expresarse en un diagrama de fuerzas esta fuerza?
Un saludo y gracias.

[sater]

Re: Problema con diagrama de cuerpo libre de una ferza

Buenas, el problema es puramente teorico. Si te fijas, ka fuerza es en realidad un campo vectorial, a cada punto donde la partícula se halle le hará corresponder un vector luego el diagrama de fuerzas solo tendría sentido puntualmente (y el ejercicio no esta pensado para esto). Lo mas que podrías hacer es representar ese campo para hacerte una idea de como afectará a la partícula si es lo.que te interesa.
Un saludo

[arivasm]

Re: Problema con diagrama de cuerpo libre de una ferza

Como dice sater, no necesitas diagrama alguno.

Para el apartado a) simplemente usa que $F = \frac{F_0}{r}|y\vec\imath-x\vec\jmath|$. Es inmediato ver que $|y\vec\imath-x\vec\jmath|=r$ de modo que $F=F_0$. Para la segunda parte lo más directo es demostrar la nulidad del producto escalar $\vec F\cdot\vec r=0$.
Para el b) se puede tomar el atajo de que como la fuerza es perpendicular a r, y lo mismo sucede con los desplazamientos infinitesimales $\dd\vec l$ sobre un círculo(*), y por otra parte su módulo es $F_0$ entonces el trabajo realizado será $\int \vec F\cdot\dd \vec l=\int F_0\,\dd l=F_0 \int \dd l=F_0\,2\pi r$.

*Prefiero escribir $\dd\vec l$ y no $\dd\vec r$ para no liarnos después con la letra $r$ que expresa distancia al origen.

Otra alternativa sería hacerlo de manera explícita, pero entonces quizá lo más cómodo sea usar coordenadas polares. Si quieres tomar este camino dínoslo.

[inakigarber]

Re: Problema con diagrama de cuerpo libre de una ferza

Creo que intentare seguir el camino que me habéis propuesto. Me hubiera gustado comparar esta situación con un ejemplo real que me permitiera visualizarlo mejor.
Saludos

[inakigarber]

Re: Problema con diagrama de cuerpo libre de una ferza

Buenas noches; No he acertado a imaginarme una fuerza que cumpla esa formula.
Finalmente, he decidido copiar el solucionario del libro, lo explicare a mi manera.
$\vec{F}=\frac{F_o}{r}(yi-xj)$ donde $F_o===>constante$ y $r=\sqrt{x^2+y^2}$
Esta fuerza se descompondrá en dos proyecciones;
$F_x=-\frac{F_o}{r}x$ y $F_y=\frac{F_o}{r}y$

$$\left\vert{F} \right\vert={\sqrt{\left(-\frac{F_o}{r}x\right)^2+\left(\frac{F_o}{r}y\right)^2}}=\frac{F_o}{r}\sqrt{y^2+x^2}$$

Como $r=\sqrt{y^2+x^2}$, entonces tendremos $\boxed{\left\vert{F} \right\vert{=F_o}}$
El producto escalar de F_o y r será;
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
como $i^2=j^2=1$ y $ij=ji=0$
Entonces;

$$\boxed{\vec{Fr}=\left(\sqrt{F_o}{r}\right)(xy-xy)=0}$$

Lo que ocurre es que no he conseguido plasmar esto en unas imágenes que me permitieran dar un contenido físico a las ecuaciones arriba escritas y creo que no lo he entendido.

Un saludo.

[sater]

Re: Problema con diagrama de cuerpo libre de una ferza

Puntualización: Técnicamente, $F_x$ será la que acompañe a $\hat{\imath}$ y $F_y$ a $\hat{\jmath}$ luego creo que lo has escrito al revés.
Ahora te repito, si te das cuenta te dan un campo vectorial y te hacen preguntas netamente teóricas (quieren ver si es conservativo). Es un problema enteramente de cálculo multivariable y la interpretación física es la que se hace en cálculo de la integral de una fuerza en una trayectoria o la del rotacional de la fuerza.
Un saludo

[arivasm]

Re: Problema con diagrama de cuerpo libre de una ferza

Lo que ocurre es que no he conseguido plasmar esto en unas imágenes que me permitieran dar un contenido físico a las ecuaciones arriba escritas y creo que no lo he entendido.

Esta aplicación online puede ayudarte: http://kevinmehall.net/p/equationexp...ctorfield.html

En este caso, ésta es la representación del campo de fuerza:

No te fijes en el vector dibujado en (0,0). Está claro que no está definido para ese punto y que se trata de un bug de la aplicación. Lo digo porque da una falsa sensación de que las líneas de fuerza son espirales, cuando en realidad son círculos. Si omites ese vector lo verás más claramente.

[inakigarber]

Re: Problema con diagrama de cuerpo libre de una ferza

Gracias;
Me recuerda a las líneas de fuerza magnética provocadas por una conductor lineal por el que circula una corriente continua. ¿Sería este el caso?

[arivasm]

Re: Problema con diagrama de cuerpo libre de una ferza

En primer lugar, el matiz es que no hay líneas de fuerza magnética, pues ésta depende de la velocidad de la partícula que la experimenta, de manera que no es única.
Aunque tiene un buen parecido con las líneas de campo magnético de un conductor rectilíneo dirigido según Z, hay una diferencia fundamental: el módulo es independiente de la distancia, mientras que en el caso del conductor es inversamente proporcional a la distancia.

Como se ha dicho anteriormente es un ejercicio teórico, de esos que uno (aquí el profe o el autor del libro) se saca de la manga sin preocuparse demasiado de cómo debería ser el dispositivo real que causase tal cosa.

Por cierto, es interesante la pregunta final del enunciado, acerca de si es una fuerza conservativa o no, pues equivale a preguntarse si se podrá definir o no una energía potencial, lo que simplificaría los cálculos para los movimientos bajo dicha fuerza. Por supuesto, la respuesta es un no.

[inakigarber]

Re: Problema con diagrama de cuerpo libre de una ferza

En primer lugar, el matiz es que no hay líneas de fuerza magnética, pues ésta depende de la velocidad de la partícula que la experimenta, de manera que no es única.
Aunque tiene un buen parecido con las líneas de campo magnético de un conductor rectilíneo dirigido según Z, hay una diferencia fundamental: el módulo es independiente de la distancia, mientras que en el caso del conductor es inversamente proporcional a la distancia.

Como se ha dicho anteriormente es un ejercicio teórico, de esos que uno (aquí el profe o el autor del libro) se saca de la manga sin preocuparse demasiado de cómo debería ser el dispositivo real que causase tal cosa.

Por cierto, es interesante la pregunta final del enunciado, acerca de si es una fuerza conservativa o no, pues equivale a preguntarse si se podrá definir o no una energía potencial, lo que simplificaría los cálculos para los movimientos bajo dicha fuerza. Por supuesto, la respuesta es un no.

Creo que empiezo a tener las cosas mas claras. Había pensado que este era el caso de un ejercicio práctico, pero esta claro que no lo es. Por lo que respecta a tu tercer párrafo una partícula situada en el campo de esa fuerza tenderá a girar en el sentido contrario de las agujas del reloj (y cedería energía), en tanto que para hacerla girar en de sentido horario habría que aportar energía a la partícula. ¿es así?
Un saludo.

[arivasm]

Re: Problema con diagrama de cuerpo libre de una ferza

Por lo que respecta a tu tercer párrafo una partícula situada en el campo de esa fuerza tenderá a girar en el sentido contrario de las agujas del reloj (y cedería energía), en tanto que para hacerla girar en de sentido horario habría que aportar energía a la partícula. ¿es así?

No exactamente. Está claro que, por la 2ª ley de Newton, una partícula que se mueva sometida exclusivamente a ese campo de fuerzas poseerá una aceleración de módulo constante y dirección transversal a $\vec r$. Desde este punto de vista cuando al incluir la palabra "tender" construyes una expresión que es aceptable, aunque vete a ver tú cómo son las trayectorias en dicho campo.

Para aclararme: pensemos en el peso de un cuerpo (en un recinto pequeño, no en escala planetaria o mayor). También es constante, pero más sencillo: dirigido verticalmente hacia abajo. Si alguien dice "el peso de un cuerpo hace que sus movimientos tiendan a ir hacia abajo", por supuesto que es correcto si no hay más fuerzas, pero en ningún caso debe entenderse como que los movimientos sólo serán verticales.

En el caso del problema tuyo la cosa es más complicada, y me da la sensación de que una partícula que parta del reposo no se moverá en círculos, sino que seguirá una trayectoria espiral (el que la componente radial de la aceleración sea nula implica que $\ddot r=r\omega^2$, de manera que a medida que gane en velocidad angular también irá ganando en velocidad radial y entonces también en distancia al centro).

En lo que se refiere a la energía tras un giro en sentido horario la fuerza habrá realizado un trabajo positivo, mientras que en antihorario será negativo. ¿Significa eso que entrega energía? Mecánica desde luego (y entonces si no hay otras fuerzas, energía cinética, pues si otras fuerzas que sean conservativas no se podrá hablar de energía potencial).

Para el caso antihorario dices que habrá que aportar energía. Puede que sí o puede que no. Desde luego, si no hay más fuerzas la del enunciado consumirá energía cinética, pero eso mismo sucederá en cualquier caso en el que la fuerza resultante realice un trabajo negativo. Como la energía cinética no puede bajar de cero ciertamente podría suceder que la partícula se detenga (y tenga un punto de retroceso) antes de completar un giro

Por tanto, si la velocidad inicial es insuficiente y nos empeñamos en que realice un giro alrededor del origen en sentido antihorario sí sería necesario el concurso de otra fuerza. Pero nada impide, al menos así a ojo*, que la velocidad inicial sea suficientemente adecuada como para que la partícula gire, ciertamente perdiendo velocidad, esos 360º alrededor del origen, y sin el concurso de otras fuerzas.

*Me crea inseguridad el hecho de que las trayectorias no serán precisamente circulares, por lo que quizá habría que pensar con algo más de calma cómo serán exactamente.