Otras carreras Movimiento Relativo

[CoquinUY]

Hola gente! Còmo están? Bueno estoy necesitando una pequeña ayudita en el siguiente problema:
"[FONT=TimesNewRoman]Un anillo de masa [/FONT][FONT=TimesNewRoman,Italic]m [/FONT][FONT=TimesNewRoman]desliza con roce despreciable a lo largo de un aro circular de radio [/FONT][FONT=TimesNewRoman,Italic]R[/FONT][FONT=TimesNewRoman], con una velocidad angular $\theta_0$ [/FONT][FONT=TimesNewRoman]constante,relativa a el. A su vez, el aro gira con una velocidad angular $\omega$[/FONT][FONT=TimesNewRoman]constante, [/FONT][FONT=TimesNewRoman]alrededor de un eje horizontal que pasa por el centro del aro. Si cuando el aro está pasando por la posición[/FONT]
[FONT=TimesNewRoman]horizontal el ángulo $\theta$ [/FONT][FONT=TimesNewRoman,Italic]es igual a [/FONT][FONT=Symbol]π[/FONT][FONT=TimesNewRoman,Italic]/4 [/FONT][FONT=TimesNewRoman]calcule para ese instante la velocidad y aceleración de la partícula en un sistema fijo externo"[/FONT]
Creo que ya se por donde sale, Roverbal y Coriolis pero me mareo cuando planteo los sistemas de versores.
Agradecería la ayuda.
SAludos!
P.D: Adjunto la figura del problema

[escarabajo]

Re: Movimiento Relativo

Hola.

Yo tomaría dos sistemas: $\{i,j,k\}$ y $\{e_r,e_{\phi},e_k\}$

$e_k=k$

El primero solidario a la guia, y el segundo el sistema en coordenadas polares que nos permitirá expresar la posición y velocidad relativa a la guia de la masa m.

El versor i será la dirección del eje respecto al que gira la guia, el j será perpendicular al i contenido en el plano de la guía, y k el normal a los 2 anteriores.

Ubicando la masa m con un ángulo$\theta$(de modo que ese es el ángulo que forma el radio vector que ubica a la masa con el eje j) entonces:

$\displaystyle e_r=cos\theta j+\sin\theta i \Rightarrow \boxed{\frac{de_r}{d_t}=\dot{\theta}e_{\theta}-w\cos\theta k}$

$\displaystyle e_{\theta}=-\sin\theta j+\cos\theta i \Rightarrow \boxed{\frac{de_{\theta}}{d_t}=-\dot{\theta}e_r+w\sin\theta k}$

En estas derivadas hay que considerar que j es un versor movil(rota con velocidad angular w entorno a la dirección i). En cambio i sería fijo.

Ahora, planteamos la posición de la partícula en estos sistemas y hacemos las derivadas:

$r(t)=Re_r$

$v(t)=R(\dot{\theta}e_{\theta}-w\cos\theta k)$

$a(t)=R[\dot{\theta}(-\dot{\theta}e_r+w\sin\theta k)+w\dot{\theta}\sin\theta k-w^2\cos \theta j]$

Acomodando:

$a(t)= -R\dot{\theta}^2e_r+2w\dot{\theta}R\sin\theta k-Rw^2\cos\theta j$


¿Estara bien esto che? mmmm... Lo que faltaría es evaluar la velocidad y la aceleración. Espero que tengas la solución a mano a ver si te coincide.

Voy a pensarlo para aplicar directamente roverbal y coriolis a ver si da lo mismo.

Saludos.

[pod]

Re: Movimiento Relativo

No creo que tengas que aplicar Coriolis y todo eso, ya que el sistema externo fijo no está rotando, es perfectamente inercial.

Como marcas "otras carreras" no se muy bien si conocerás el grupo de rotaciones, pero si es así, es muy sencillo: solo tienes que componer dos rotaciones (es decir, multiplicarlas). Primero tienes la rotación de la bolita verde al rededor del aro, en el plano OXY, y luego la rotación del aro en si, en el plano OXZ (suponiendo que el eje de rotación sea el eje Y). Eso te dará la posición en función del tiempo, y puedes sacar la aceleración derivando un par de veces.

Si no sabes lo que es el grupo de rotaciones, por favor postea y procuraré explicartelo con un lenguaje más sencillo.

[escarabajo]

Re: Movimiento Relativo

Hola Pod.

A mi me intersaría saber que es eso del grupo de rotaciones, si podés explicarlo muy agradecido de mi parte.

A propósito, ¿el resultado que expuse yo es correcto? Porque la verdad es que me dejó dudas.

Saludos.

[pod]

Re: Movimiento Relativo

Hola Pod.

A mi me intersaría saber que es eso del grupo de rotaciones, si podés explicarlo muy agradecido de mi parte.

Es la forma matemático-riguroso-aburrida de estudiar las rotaciones de vectores. Supongo que si estás interesado, podrías preguntar en el foro de álgebra lineal.

A propósito, ¿el resultado que expuse yo es correcto? Porque la verdad es que me dejó dudas.

Saludos.

Pues en principio tiene buena pinta, pero no he tenido paciencia de entrar en los detalles. Es más rápido hacer el cálculo con el grupo de rotaciones y ver si da lo mismo.

Bueno, la posición inicial forma un ángulo $\pi/4$ en el plano OXY (bueno, en realidad tendría que usar primas, por que estos ejes están girando...), por lo que el vector inicial es

$$\vec r = \begin{pmatrix} \frac{R}{\sqrt2} \\ \frac{R}{\sqrt2} \\ 0 \end{pmatrix}\ .$$

La rotación de la bolita verde en el plano OXY, y el ángulo de rotación es $\theta = \dot\theta_0 t$, por lo que la matriz asociada a la rotación es:

$$\begin{pmatrix} <br /> \cos \dot\theta_0 t & -\sin \dot\theta_0 t & 0 \\<br /> \sin \dot\theta_0 t & \cos \dot\theta_0 t & 0 \\<br /> 0 & 0 & 1 <br /> \end{pmatrix}$$

La rotación del anillo grande se hace en torno del eje X, y su ángulo de rotación es $\theta' = \omega_0 t$, por lo que la matriz asociada es:

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\<br /> 0 & \cos \omega_0 t & -\sin \omega_0 t \\<br /> 0 & \sin \omega_0 t & \cos \omega_0 t <br /> \end{pmatrix}$$

La posición final se obtiene con un simple producto de matrices:

$$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix} =<br /> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\<br /> 0 & \cos \omega_0 t & -\sin \omega_0 t \\<br /> 0 & \sin \omega_0 t & \cos \omega_0 t <br /> \end{pmatrix}<br /> \begin{pmatrix} <br /> \cos \dot\theta_0 t & -\sin \dot\theta_0 t & 0 \\<br /> \sin \dot\theta_0 t & \cos \dot\theta_0 t & 0 \\<br /> 0 & 0 & 1 <br /> \end{pmatrix}<br /> \begin{pmatrix} \frac{R}{\sqrt2} \\ \frac{R}{\sqrt2} \\ 0 \end{pmatrix}$$

Hacer este producto de matrices te dará la posición en función del tiempo respecto del eje de rotación exterior fijo. Sólo queda derivar. Si te da lo mismo, significa que seguramente los dos lo hemos hecho bien. Sino, seguro que alguno nos hemos equivocado

[escarabajo]

Re: Movimiento Relativo

Gracias Pod. ¡Nunca se me había ocurrio utilizar las matrices de rotación de álgebra, no entendía a qué le llamábas a grupo de rotaciones, pero viendo el planteo más o menos sé por donde va la cosa.

Saludos.