Secundaria Gravedad, interior de la tierra

[FeynmanDLuis]

Hola,

¿sería correcto decir que la intensidad del campo gravitatorio terrestre aumenta a medida que nos alejamos del centro terrestre y nos acercamos a la superficie hasta llegar a ser 9,8 m/$s^2$, o disminuye hasta llegar a ser -9,8$m/s^2$ ?
Yo pienso que aumenta hasta que tiene un valor de 9,8. Si estuviera en forma vectorial podría ser negativo, pero el valor escalar aumenta, no disminuye.

Gracias por tu atención

[The Higgs Particle]

Re: Gravedad, interior de la tierra

La gravedad sobre la superficie de la superficie la conoces: $P = {F}_{g} \to {g}_{0} = \frac{GMm}{{r}^{2}}$, disminuyendo con el cuadrado de la distancia (sólo se anula en el infinito).
La masa de la Tierra es: $M = \frac{4}{3} \cdot \pi {R}^{3 } \rho$, donde $\rho$ es la densidad de la tierra. Fíjate que es un caso idealizado, ya que consideramos la densidad uniforme. Si ahora tomamos la esfera del interior de la tierra, con un radio $r < R$ (la esfera roja), tenemos que su masa es $m = \frac{4}{3} \cdot \pi {r}^{3} \cdot \rho$.

Dividiendo miembro a miembro ambas expresiones, despejando $m$ y sustituyéndolo en la expresión de $g$, se tiene que:

$g = G \cdot \frac{M \cdot {r}^{3}}{{r}^{2} \cdot {R}^{3}} = G \frac{M}{ {R}^{2}} \cdot \frac{r}{R} = {g}_{0} \cdot \frac{r}{ R}$. Podemos, por lo tanto, concluir:

$g = {g}_{0} \cdot \frac{R - h}{R} = {g}_{0} \cdot (1 - \frac{h}{R})$

Es decir, a medida que se profundiza en el interior de la Tierra el valor de $g$ disminuye, anulándose en el centro de la Tierra, donde $h = R$. Se ve muy bien en esta gráfica:

Si quieres más información, puedes consultar aquí.

Un saludo.

PD.: Si hablas de módulos de vectores, por lo que me han enseñado, no puedes decir que son negativos. En la fuerza de gravedad (en notación vectorial),$\vec{{F}_{g}} = \frac{-GMm}{{R}^{2}} \cdot \vec{{u}_{r}}$ , el signo "-" sólo hace referencia a que la fuerza de gravedad tiene el sentido contrario a $\vec{{u}_{r}}$

[visitante20160513]

Re: Gravedad, interior de la tierra

Bueno, ese es un modelo ideal, basado en una tierra con su masa uniformemente distribuida pero ... ¿la realidad como es? ¿Realmente existe un punto donde la gravedad se anule (aunque no sea en el centro)? ¿Es una cierta región? La verdad es que no sabemos gran cosa de la gravedad en el centro de la tierra.

Salu2, Jabato.

[Visitante]

Re: Gravedad, interior de la tierra

Bueno, ese es un modelo ideal, basado en una tierra con su masa uniformemente distribuida pero ... ¿la realidad como es? ¿Realmente existe un punto donde la gravedad se anule (aunque no sea en el centro)? ¿Es una cierta región? La verdad es que no sabemos gran cosa de la gravedad en el centro de la tierra.

Salu2, Jabato.

Estoy con Jabato, no es más que un modelo ideal como ha dicho, aparte de que esta muy simplificado.
La única forma de saberlo es adentrándose en el interior de la Tierra pero ello es muy complicado, sabemos más del espacio exterior que de lo que esta debajo de nosotros.

[arivasm]

Re: Gravedad, interior de la tierra

Hay diversos modelos para la Tierra que proporcionan respuestas a la pregunta de Jabato y que están basados, entre otros aspectos, en la propagación de ondas sísmicas. Uno de ellos es el PREM (Preliminary reference Earth model), de 1981, que predice la siguiente dependencia para la gravedad con la distancia al centro (fuente: http://en.wikipedia.org/wiki/Structu...arth#Structure)

[visitante20160513]

Re: Gravedad, interior de la tierra

Observa la escala de la gráfica. ¿A una distancia de 1 metro del centro de la tierra cual es el campo gravitatorio? ¿Es que acaso la tierra tiene centro? ¿donde está situado?

La tierra ni siquiera es esférica, es absolutamente irregular con una corteza muy rugosa, ni tiene su masa uniformemente distribuida, es más su masa se mueve porque una parte es líquida, y además el campo gravitatorio en su interior no solo es el derivado de su masa, los demás astros también afectan al campo gravitatorio en su interior y además dichos astros también se mueven, así que los modelos están bien, pero la realidad supera casi siempre a la ficción. Yo hablo de la realidad, no de ningún modelo. Como afirma malevolex habría que ir allí y ver lo que pasa pero eso parece que está complicadillo.

Salu2, Jabato.

[arivasm]

Re: Gravedad, interior de la tierra

Observa la escala de la gráfica. ¿A una distancia de 1 metro del centro de la tierra cual es el campo gravitatorio?

Minúsculo: unos 4 micrómetros/s²

¿Es que acaso la tierra tiene centro? ¿donde está situado?

La tierra ni siquiera es esférica, es absolutamente irregular con una corteza muy rugosa

La corteza apenas tiene una oscilación en altitud de unos 20 km, perfectamente despreciables frente a los 6370 km de radio.

además el campo gravitatorio en su interior no solo es el derivado de su masa, los demás astros también afectan al campo gravitatorio en su interior y además dichos astros también se mueven, así que los modelos están bien, pero la realidad supera casi siempre a la ficción. Yo hablo de la realidad, no de ningún modelo.

La ciencia, en especial la Física, siempre opera sobre modelos!

Por cierto, si alguien quiere ver otros más modernos, tiene una buena colección de ellos aquí: http://ds.iris.edu/ds/products/emc-earthmodels/

[Visitante]

Re: Gravedad, interior de la tierra

Ahora que me acuerdo, se me olvidó mencionar que la Tierra no es esférica, es más bien un elipsoide.

[arivasm]

Re: Gravedad, interior de la tierra

La diferencia entre los semiejes del elipsoide terrestre es de apenas 21 km, de manera que pasa lo mismo que señalé antes: es despreciable frente a los 6378 km del radio medio. Con esto quiero decir que es prácticamente irrelevante para la cuestión del hilo, que es la dependencia de g con la profundidad. La clave fundamental no es, por tanto, la forma sino la composición, en concreto la densidad.

Una pregunta interesante es si existirá algún punto en el que la gravedad sea nula. Entiendo que la respuesta es un sí: la gravedad es $\vec g = -\vec \nabla \varphi$, donde $\varphi$ es el potencial gravitatorio, y éste necesariamente poseerá un mínimo local en algún punto del interior, ya que es una función continua y que toma valores menores en el interior que en la superficie.

[Emilio Rey]

La fuerza de gravedad en el interior de la Tierra

En un libro de astronomía leí que la fuerza de la gravedad alcanza un máximo en la superficie de la Tierra. A tapir de ahí decrece a medida que se recorta el radio hasta llegar a cero en el centro de la tierra. La otra parte de la función ya es bien conocida por todos: La fuerza gravitatoria disminuye al aumentar la distancia siempre que sea mayor al radio de la Tierra. El mismo libro atribuye a Gauss el descubrimiento y demostración del hecho pero no figura en el texto.
Me gustaría conocer la explicación a este hecho y el trabajo de Gauss (La gráfica relaciona la fuerza de la gravedad con la distancia)

[arivasm]

Re: La fuerza de gravedad en el interior de la Tierra

En primer lugar comentarte que la gravedad no necesariamente es máxima en la superficie. Por ejemplo, sucede así si el planeta posee densidad uniforme, cosa que no pasa con la Tierra. Si la densidad es variable entonces puede ocurrir perfectamente que la gravedad máxima no esté en la superficie, sino en puntos del interior.

Para entenderlo, pondré un ejemplo un tanto exagerado: imagínate un planeta cuyo núcleo fuese extraordinariamente denso, y que estuviese rodeado por un material bastante liviano. La gravedad máxima no sería en la superficie del planeta, sino muy cerca del límite donde la densidad cambie.

Por sencillez volvamos al caso del planeta con densidad uniforme. Como la gravedad en cualquier lugar es la suma de las gravedades que producen las partículas que componen el planeta, una vez que sales del mismo todas ellas tienen una componente hacia el centro del mismo y por eso el resultado de esa suma apunta hacia ese lugar (las componentes horizontales se anulan debido a pares de partículas situadas simétricamente respecto del eje que va desde el centro hasta el punto en cuestión, no como las verticales, que se refuerzan mutuamente). En cambio, a medida que te introduces en el planeta hay más y más partículas atrayendo "por encima". De hecho, en el centro la gravedad es cero: cada partícula tiene una simétrica respecto del centro que anula su contribución a la gravedad en ese lugar.

Desconozco si fue Gauss el primero en estudiar la gravedad en el interior de la Tierra. Desde luego a él se le atribuye el teorema (aunque Lagrange lo descubrió unos cincuenta años antes) que permite calcular con facilidad dichos casos. Es un teorema general, y tiene una pinta tan fea como esto: $\oint \vec A\cdot\dd\vec S=\int\vec\nabla\vec A\ \dd V$, donde $\vec A$ es un campo vectorial cualquiera. La aplicación de ese teorema a los campos habituales conduce a una serie de resultados que los físicos llamamos "teorema de Gauss del campo gravitatorio", "teorema de Gauss del campo eléctrico" o "teorema de Gauss del campo magnético", pero no tengo nada claro que fuese el propio Gauss quien haya realizado todas esas aplicaciones (aunque tampoco es descartable).

El teorema de la divergencia no es de demostración inmediata. Obviamente requiere que se sepa antes qué es eso de la divergencia $\vec\nabla\vec A$ de un campo vectorial $\vec A$. La aplicación a la gravedad simplemente pasa por usar la ley de Newton.

De todos modos el teorema de Gauss del campo gravitatorio, $\oint \vec g\cdot\dd\vec S=-4\pi GM$, se puede ver sin necesidad de pasar por el teorema de la divergencia. De hecho, en segundo de bachillerato se hace, partiendo directamente de la ley de gravitación. Pero para entender la demostración hay que conocer antes otros conceptos como es el de flujo gravitatorio. Por ejemplo, aquí tienes una demostración a ese nivel: https://www.matematicasfisicaquimica...vitatorio.html.

Como es lógico, antes de poder aplicarlo al caso del planeta con densidad uniforme es imprescindible que entiendas esta última.

[Emilio Rey]

Re: La fuerza de gravedad en el interior de la Tierra

Tiene sentido a nivel intuitivo: en un cuerpo de densidad uniforme la partícula deja un volumen delante y otro detrás interaccionando con sus centros de gravedad, la resultante nos da la fuerza gravitatoria. En el caso que este en el centro los volúmenes son simétricos y la resultante cero
Considero que de este hecho es deducible que todas las partículas que componen el cuerpo participan de la interacción gravitatoria

[Alriga]

Re: La fuerza de gravedad en el interior de la Tierra

... La gráfica relaciona la fuerza de la gravedad con la distancia ...

Los cálculos se realizan mediante la integración de la aplicación del Teorema de Gauss como te ha explicado arivasm. Si se supone que la Tierra es una esfera de densidad uniforme, masa "M" y radio "R", la expresión que se obtiene para el módulo del campo gravitatorio en cualquier punto situado a una distancia "r" del centro de la esfera es:

Para

$$0 \leq r \leq R \quad \Rightarrow \quad \boldsymbol{g=\dfrac{G M}{R^3} r}$$

Para

$$r \geq R \qquad \Rightarrow \qquad \boldsymbol{g=\dfrac{G M}{r^2}}$$

El gráfico queda así:

... todas las partículas que componen el cuerpo participan de la interacción gravitatoria ...

Una puntualización, en mecánica newtoniana el modelo gravitatorio que se usa para cuerpos macroscópicos, como la Tierra, la Luna, el Sol o los planetas no es como "conjunto de partículas" sino como distribuciones de masa continuas, lo cual permite la aplicación del cálculo diferencial e integral a la solución de problemas gravitacionales complicados (ej. fuerzas de marea): como has visto, el Teorema de Gauss que te ha descrito arivasm es un teorema integral/diferencial.

Saludos.

[Jaime Rudas]

Re: La fuerza de gravedad en el interior de la Tierra

Para entenderlo, pondré un ejemplo un tanto exagerado: imagínate un planeta cuyo núcleo fuese extraordinariamente denso, y que estuviese rodeado por un material bastante liviano.

Bueno, en realidad, no es exagerado. Muchos planetas, incluida la Tierra, están rodeados por un material bastante más liviano que su núcleo: la atmósfera.

[arivasm]

Re: La fuerza de gravedad en el interior de la Tierra

De hecho los modelos que representan el interior de la Tierra, elaborados a partir de la información que proporcionan las ondas sísmicas, conducen a que la gravedad máxima no es la superficial, sino 10,7 m/s² a unos 3480 km del centro. La figura siguiente, que ya es un clásico, representa la dependencia entre ambas magnitudes, de acuerdo con el modelo PREM (Preliminary Reference Earth Model, de 1981):