Secundaria Energía mecánica MAS

[The Higgs Particle]

Hola, voy a intentar hallar la expresión de la energía mecánica del MAS. Por favor, sed lo más "tiquismiquis" posibles .

Como la fuerza que actúa es la fuerza elástica, que es conservativa, podemos afirmar lo siguiente: $\Delta Em = 0$. La energía mecánica se expresa de la siguiente forma, que utilizaremos más adelante:

$Em = Ec + Ep =$ (1)

Sabiendo que $y = A \cdot sen (\omega t + {\phi}_{0 })$, puedo calcular la velocidad, ya que $v = \frac{dy}{dt} = A \omega \cdot cos(\omega t + {\phi}_{0 })$. Así, $Ec = \frac{1}{2} m {v}^{2} \to Ec = \frac{1}{2}m [{A \omega \cdot cos (\omega t + {\phi}_{0 })]}^{2}$. Entonces:

$Ec = \frac{1}{2 }m{A}^{2}{\omega}^{2}{cos}^{2} (\omega t + {\phi}_{0 })$ (2)

Ahora, para la energía potencial elástica: $Ep (2) - Ep (1) = - {\int}^{2}_{1} (\vec{F} \cdot d\vec{y})$, de donde $\vec{F} = - ky \vec{j}$ y $d\vec{y} = dy \vec{j}$. Por lo tanto: $Ep (2) - Ep(1) =$ [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] $k \cdot {[\frac{{y}^{2}}{2}]}^{2}_{1} = \frac{1}{2}k{y}_{b}^{2} - \frac{1}{2}k {y}_{1}^{2}$. Suponiendo que ${y}_{1} = 0$; es decir, que (1) es la posición de equilibrio, tenemos que:

$Ep =\frac{1}{2} k {y}^{2}$
.

Además, puesto que sabemos que $y = A \cdot sen (\omega t + {\phi}_{0 })$, y que: ${F}_{e}=- k y$; $F=m \cdot a$, y $a= \frac{dv}{dt} = - A {\omega}^{2} \cdot sen(\omega t + {\phi}_{0 }) = - {\omega}^{2} y$; $F = - m \cdot {\omega}^{2} y \to - k y = - m \cdot {\omega}^{2} y \to k =m {\omega}^{2}$ $(N/m)$, llegamos a:

$Ep = \frac{1}{2} m {\omega}^{2} \cdot {A}^{2}{sen}^{2}(\omega t + {\phi}_{0})$ (3)

Sustituyendo (2) y (3) en (1): $Em = \frac{1}{2 }m{A}^{2}{\omega}^{2}{cos}^{2} (\omega t + {\phi}_{0 }) + \frac{1}{2} m {\omega}^{2} \cdot {A}^{2}{sen}^{2}(\omega t + {\phi}_{0}) \to$ $Em = \frac{1}{2}m {\omega}^{2}{A}^{2} \cdot ({sen}^{2}(\omega t + {\phi}_{0}) + {cos}^{2} (\omega t + {\phi}_{0})) = \frac{1}{2}m {\omega}^{2}{A}^{2}.$

Para concluir, podemos decir:

$\boxed{Em = \frac{1}{2}k{A}^{2}}$ $(J)$

[alexpglez]

Re: Energía mecánica MAS

Yo no sé ponerme tiquismiquis.. Además hay otra forma más sencilla de hacerlo, sabes que como la energía mecánica se conserva, sólo hace falta calcular un máximo de energía cinética o potencial. Teniendo la expresión de la fuerza F=-Kx, se puede sacar la energía potencial, V=kx^2/2, y cómo x es la amplitud en un máximo y la energía cinética es 0 en un máximo. E=kA^2/2
Está bien según mi punto de vista

[The Higgs Particle]

Re: Energía mecánica MAS

Sí, soy consciente. Es cierto que es mucho más fácil hacer, por ejemplo: $v = A \omega \cdot cos(\omega t + {\phi}_{0})$, de donde se ve que ${v}_{max} = A \omega \to {Ec}_{max} = \frac{1}{2} m {(A \omega)}^{2} =\frac{1}{2}m{A}^{2}{\omega}^{2}$ $(J)$, y si te piden la energía potencial en un tiempo determinado, saber que $Ep (t)= {Ec}_{max} - {E}{c} (t)$, y fuera.

Pero lo que necesito es saber hacer el desarrollo completo, puesto que es lo que mi profesor me exige.

[Weip]

Re: Energía mecánica MAS

A por los detalles:

Como la fuerza que actúa es la fuerza elástica, que es conservativa, la energía mecánica es constante:

$Em = Ec + Ep = cte. \to \Delta Em = 0$ (1)

La parte izquierda de la implicación no se traduce necesariamente con lo de la derecha. Eso solo me dice que en un cierto punto la energía mecáncia $E_m$ es constante pero en otro sitio es posible que no lo fuera y globalmente tendría que $\Delta E_m \neq 0$ (aunque no es el caso de la fuerza elástica). Con la condición de que la fuerza es conservativa ya tienes directamente
$\Delta E_m =0$.

Por lo tanto: $Ep (2) - Ep(1) =$ $- {\int}^{2}_{1} (-ky \cdot dy)$

Aquí no dejas claro si "$\cdot$" es un producto escalar o un producto entre escalares porque usas la misma notación para los dos.

A mi me han pedido que sea tiquismiquis y lo he sido, pero decir que el desarrollo está muy bien hecho.

Finalmente, te digo como numerar ecuaciones correctamente. Has de poner [TEX=1]f(x)=x[/TEX ], que sin el espacio resulta en:

$$f(x)=x$$

Espero haberte ayudado.

[The Higgs Particle]

Re: Energía mecánica MAS

Gracias por contestar Weip, me has ayudado mucho, como siempre

Sólo tengo una duda: ¿cómo debería haber puesto lo primero?

[Weip]

Re: Energía mecánica MAS

Gracias por contestar Weip, me has ayudado mucho, como siempre

Sólo tengo una duda: ¿cómo debería haber puesto lo primero?

Lo deberías haber puesto así: La fuerza elástica es una fuerza conservativa, entonces $\Delta E_m = 0$ (si quieres poner la flechita en vez del "entonces" pues también puedes). A lo que me refiero es que la hipótesis de $E_m=E_c+E_p= \text{cte}$ sobra. Es información adicional. La condición de que la fuerza es conservativa es más fuerte que la de $E_m=\text{cte}$. Pero tampoco le des mucha importancia. Ningún profesor te haría esta crítica porque es demasiado rebuscada.

[The Higgs Particle]

Re: Energía mecánica MAS

Lo he retocado un poco, pero manteniendo (1) porque lo uso al final, a ver si está mejor.

[alexpglez]

Re: Energía mecánica MAS

Por cierto, poniéndonos tan tiquismiquis, habría que demostrar también por qué la fuerza del MAS es conservativa, y por qué tal fuerza implica tal ecuación de movimiento..

[Weip]

Re: Energía mecánica MAS

Por cierto, poniéndonos tan tiquismiquis, habría que demostrar también por qué la fuerza del MAS es conservativa, y por qué tal fuerza implica tal ecuación de movimiento..

Ya ves, y si quisiéramos hacerlo de forma simple usaríamos cálculo en varias variables (The Higgs Particle, el "$\nabla$" que preguntabas el otro día entraría en juego).

Por aportar otra observación excesiva. Antes has puesto una $\to$ para una implicación lógica cuando has de usar $\Rightarrow$. En fin mejor paro porque parezco un desgraciao haciendo estas críticas jajaja. Para excusarme diré que me han pedido que sea así de perfeccionista.