Secundaria Problema de gravitación universal

[Visitante]

Hola,

Hace tiempo que no toco la gravitación universal (varios meses) y me he puesto a hacer ejercicios para repasar, hay un problema cuya solución no aparece en el libro, me gustaría confirmar si el razonamiento es cierto:
Sea el problema:
Un meteorito de 400 kg de masa que se dirige directo, en caída libre, hacia la Tierra tiene una velocidad de 20m/s a una altura sobre la superficie terrestre h=500km
Determina:
a)La energía mecánica del meteorito a dicha altura.
b)La velocidad con la que impactará sobre la superficie terrestre despreciando la fricción con la atmósfera.
c)El peso del meteorito a dicha altura h.
($G=6,673*{10}^{ -11} N {m}^{2 }{kg}^{-2 },{M}_{tierra }=5,98*{10}^{24 }kg,{R}_{tierra }=6370 km$)
a) La energía mecánica o total es:
Sea ${E}_{ m1},{E}_{c } y {E}_{p }$ la energía mecánica, cinética y potencial respectivamente.
Entonces:
${E}_{ m}={E}_{ c}+{E}_{p }=\frac{-GMm}{2r }=-2.32*{10}^{10 }J$
b)He pensado hacerlo por la conservación de la energía, entonces tenemos que:
${E}_{ m1}={E}_{ m2}$
Donde la ${E}_{ m2}$ es la energía mecánica cuando golpea la Tierra.
Jugamos un poco
${E}_{ M1}=\frac{m{{v}_{ 2}}^{ 2}}{ 2}-\frac{G{M}_{T }{m}_{met }}{r }$
Esto implica:
${v}_{2 }=\sqrt{(\frac{2r{E}_{ m1}}{{m}_{met } }+2GM)/r}$
Se sustituye y despeja y resulta:
${v}_{2 }=3047,78 m/s$
c)Este creo que no hace falta pero bueno:
p=gm=3381,96N

No estoy seguro del b) porque el asteroide esta en caída libre y no describiendo una órbita alrededor del planeta, pero quisiera saber si mi razonamiento es correcto.

Pd:¿No sería un asteroide en vez de un meteorito antes de llegar a la Tierra?
Saludos,
Mavolex

[arivasm]

Re: Problema de gravitación universal

Tienes mal a). La energía mecánica que has puesto, $-G\frac{Mm}{2r}$ sólo es correcta para una órbita circular y no es el caso. Debes usar directamente $\frac{1}{2}mv^2-G\frac{Mm}{r}$.

b) Es correcto, salvo el error arrastrado de a)

c) No he verificado la cifra. Pero, ¿has tenido en cuenta que g es $G\frac{M}{r^2}$ y no la superficial (9,8 m/s²)? Imagino que sí.

PD: Añado, está claro que en c) no has usado el valor superficial.

[Visitante]

Re: Problema de gravitación universal

Acabo de corregirlo en mis cálculos, gracias.

[Alriga]

...Un meteorito de 400 kg de masa que se dirige directo, en caída libre hacia la Tierra, tiene una velocidad de 20 m/s a una altura sobre la superficie terrestre h=500 km.

Determina:

a) La energía mecánica del meteorito a dicha altura.

b) La velocidad con la que impactará sobre la superficie terrestre despreciando la fricción con la atmósfera.

c) El peso del meteorito a dicha altura h...

Usaremos como datos:

Constante de gravitación universal $G=6.6743\cdot 10^{-11}$ unidades del SI

Masa de la Tierra $M=5.972\cdot 10^{24}$ kg

Radio de la Tierra $R=6371000 \ m = 6371 \ km$

Altura inicial $h=500000 \ m = 500 \ km$

Velocidad inicial del meteorito $v_1=20$ m/s

Masa del meteorito $m=400$ kg

a) La energía mecánica inicial será la suma de la energía cinética más la potencial gravitatoria

$E=\dfrac 1 2 m v_1^2-\dfrac{GMm}{R+h}$

Poniendo números:

$E=-23.2041\cdot 10^9$ J


b) La conservación de la energía nos permite escribir que en el momento del impacto la energía mecánica es la misma que la inicial:

$E=\dfrac 1 2 m v_2^2-\dfrac{GMm}{R}$

La energía específica es:

$\epsilon = \dfrac E m$

$\epsilon = -58.0102\cdot 10^6$ J/kg

$\epsilon = \dfrac{v_2^2}2-\dfrac{GM}{R}$

Despejamos la velocidad:

$v_2=\sqrt{2 \left ( \epsilon + \dfrac{GM}{R} \right )}$

Poniendo números:

$v_2=3018$ m/s


c) El peso del meteorito a la altura h

$P=m g_h$

$P=m \ \dfrac{GM}{(R+h)^2}$

$P=3377$ N

Saludos.