1r ciclo Problema de coordenadas polares

[Neilandio]

El enunciado del problema dice:

[FONT=arial]Un auto de masa m₁ gira por una pista horizontal describiendo una circunferencia de radio R con velocidad angular ω₀ = (1/2)(μ_e(g/R))^1/2. A t=0, el auto cruza el eje x y comienza a acelerar según d²θ/dt²=γ(dθ/dt) (o sea que la aceleración angular es igual a gamma por la velocidad angular) sin variar el radio de giro, de tal manera que al cabo de una vuelta exacta derrapa.

Escribir las ecuaciones de Newton y calcular γ en función de datos.
Datos: μ_e [/FONT][FONT=arial][FONT=arial]μ_d g R[/FONT]

[FONT=arial]Yo tomé un eje de coordenadas con el cero en el centro de la circunferencia y luego use coordenadas polares para escribir las ecuaciones de newton:
En el versor theta el modulo de la fuerza me da: [/FONT][/FONT][FONT=arial][FONT=arial]
F=mR[/FONT][/FONT][FONT=arial]γ(dθ/dt)
Yo considero que F es la fuerza que me esta acelerando el auto.
En el versor r el modulo de la fuerza me da:
-μ_emg=-mR(dθ/dt)²
Evidentemente de la dirección de z podemos sacar que N=mg (que ya fue reemplazado en la ecuación anterior).En la dirección de r la única fuerza que me actúa es la centrípeta que en este caso es la fuerza de resistencia (o eso creo yo). Pero a partir de acá no se que hacer para sacar γ. Ayuda por favor. [/FONT]^{[FONT=arial]
[/FONT]}

[Al2000]

Re: Problema de coordenadas polares

Una idea... justo en el instante antes de derrapar, la fuerza de fricción es la máxima posible y sería la fuerza centrípeta del movimiento:

$$\mu_e m g = m \omega_f^2 R$$

y el valor de la velocidad angular $\omega_f$ en ese instante lo puedes calcular a partir del valor de la aceleración angular que te dan:

$$\frac {d \omega }{dt} = \gamma \omega \quad \Rightarrow \quad \omega = \omega_0 \ee ^{\gamma t} \quad \Rightarrow \quad \theta = \frac {\omega_0} \gamma \left(\ee ^{\gamma t} - 1\right)$$

y cuando el auto describa una vuelta completa, tienes que

$$2 \pi = \frac {\omega_0} \gamma \left(\ee ^{\gamma T} - 1\right) \quad \Rightarrow \quad \omega_0 \ee ^{\gamma T} = 2 \pi \gamma + \omega_0 \quad \Rightarrow \quad \omega_f = \omega_0 \ee ^{\gamma T} = 2 \pi \gamma + \omega_0$$

¿Te sirve?

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Neilandio]

Re: Problema de coordenadas polares

Si me sirvio, muchas gracias.

[Al2000]

Re: Problema de coordenadas polares

Disculpa, quiero pensar otra cosa, tal vez tu también. En mi mensaje anterior me olvidé por completo de la aceleración tangencial, $\alpha R$. Hay que pensar cómo afecta la respuesta.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[felmon38]

Re: Problema de coordenadas polares

Siguiendo con la observación de Al, las fuerzas exteriores que actúan sobre el auto son la normal N, la fuerza de rozamiento, f,, y el peso ( que se anula, en este caso, con la normal). Aplicando la ecuación de que la resultante de las fuerzas exteriores que actúan sobre un mullticuerpo es igual a su masa por la aceleración del centro de gravedad del sistema :

f_r =m.a_G=m.(a_n+a${\tau}_{ }$) .(letras en negrita, vectores)

El deslizamiento se produce cuando f_r iguale a N$\mu$, luego la condición para que empiece a deslizar es:

(g.$\mu$)²=a_n²+a${\tau}_{ }$²

Saludos