Divulgación Ejercicio con choque elástico frontal.

[inakigarber]

Buenas noches;
Planteo este problema con que me he encontrado en el Tippler y con cuya solución no estoy de acuerdo.
Una partícula de masa $m_1$ que se mueve a velocidad $V_1$ realiza un choque elástico frontal con una masa estacionaria $m_2$ ¿En que condiciones será mayor la energía impartida a $m_2$ a) $m_2\ll m_1$, b) $m_1=m_2$ c) $m_2\gg m_1$. La solución que da el libro es la b). Yo no lo he visto así. Yo razono que el caso correcto es el a)
Ciertamente, en el segundo caso, de acuerdo con el libro, toda la energía cinética pasa de la masa $m_1$ a la $m_2$. Por tanto la transferencia de energía será del 100% pero...
Volvamos al caso a) puesto que la masa $m_2\ll m_1$. La masa $m_1$ no vera apenas modificada su velocidad $V_1i \approx V_1f$ dado que la diferencia de velocidades con que se alejan las partículas tras la colisión es igual a la diferencia de velocidades con que se acercaban antes de colisionar, la velocidad final de la segunda partícula será $V_2f\approx2V_i$ y por tanto su energía cinética sería

$$E_cf\approx\frac{m_2(2V_1)^2}{2}\approx 2m_2V_i^2$$

¿No podría ser mayor la energía impartida en este caso que en el segundo?
Saludos y gracias

[Breogan]

Re: Ejercicio con choque elástico frontal.

Hola:

En la siguiente frase de tu mensaje anterior ya te respondes:

.......Volvamos al caso a) puesto que la masa $m_2\ll m_1$. La masa $m_1$ no vera apenas modificada su velocidad $V_1i \approx V_1f$ ........

Por lo cual la energía cinética final de la masa 1 sera aproximadamente igual a su energía cinética inicial, y por conservación de la energía mecánica la diferencia entre estas dos, es la energía cinética que adquiere la masa 2, y esta diferencia sera cada vez menor cuanto menor sea la masa 2.

En el caso de que la masa 2 fuera mucho mas grande que la masa 1, es aplicable un razonamiento similar.
En algunos casos es muy útil (aunque a veces peligroso) hacer el análisis cuando m2 tiende a valores extremos, en este caso 0 e infinito.

s.e.u.o

Suerte

[inakigarber]

Re: Ejercicio con choque elástico frontal.

Buenas noches;
Tal vez me haya confundido, pero quiero saber donde. Vamos a ver.

He calculado la velocidad del centro de masas respecto al observador. Considerando que este se encuentra en el sistema de referencia de m_1. Me ha salido una velocidad;

$$V_{cm2}=\frac{Vm_1}{m_1+m_2}$$

V=Velocidad de m_1 respecto a m_2 y al observador.

$$P_{cm2}=\frac{V*m_2*m_1}{m_1+m_2}$$

Como respecto al centro de masas ambos momentos son iguales, tenemos;

$$P_{cm2}=\frac{V*m_2*m_1}{m_1+m_2}$$

Velocidad de la masa m_1 respecto al Cm

$$V_{cm1}=\frac{Vm_2}{m_1+m_2}$$

Tras la colisión ambas masas se alejaran respecto al centro de masas con la misma velocidad y los mismos momentos invertidos.
Las velocidades finales en el sistema de referencia del observador me salen;

$$V_{m1f}=\frac{V(m_1-m_2)}{(m_1+m_2)}$$

$$V_{m2f}=\frac{2Vm_2}{(m_1+m_2)}$$

Sustituyendo por números haciendo y calculando la energía final m_2=1000Kg, V=3m/s, m_1=1Kg V=0.
Me sale que la energía final de la partícula m_2 es de 17,964 Julios.
Haciendo m_2=m_1=1 Kg V_2=3m/s y V_1=0
Me sale

$$E_{cf}=\frac{m_1V^2}{2}=\frac{1*3^2}{2}=\frac{9}{2}$$

Lo cual me da un valor menor de energía transferida a la masa m_2. Si bien es cierto que cuando ambas masas son iguales la transferencia de masa es máxima (100%)
¿es equivocado mi razonamiento?
Saludos y gracias.

[arivasm]

Re: Ejercicio con choque elástico frontal.

Entiendo que la intención del enunciado es diferente de cómo lo enfocas tú: la $m_1$ es una cantidad fija, mientras que la variable es la $m_2$. De esta manera, la cantidad de energía total disponible antes de la colisión (parte de la cual se transfiere a la masa 2) es siempre la misma.

Es lógico que si inviertes las condiciones del problema entonces la cantidad de energía que se transfiere aumenta con la disponible inicialmente.

Así pues, en mi opinión simplemente es una cuestión de interpretación del enunciado. Desde luego, tal como lo conté al principio, la energía transferida es $\dst \Delta K=\frac{1}{2}m_1V^2\frac{4m_1m_2}{(m_1+m_2)^2}$, que se puede escribir, introduciendo $x=m_2/m_1$, como $\dst \Delta K=\frac{1}{2}m_1V^2\frac{4x}{(1+x)^2}$, cuyo máximo corresponde a $x=1$, es decir $m_2=m_1$

[inakigarber]

Re: Ejercicio con choque elástico frontal.

Buenas tardes;
Copio imagen con el enunciado:

En el enunciado no se menciona cual de ambas masas es variable. Por tanto, me da la impresión de que ambas interpretaciones son válidas. Tanto la de que la móvil es la masa fija como la contraria, como lo había interpretado yo. En ambos casos a igualdad de masas la transferencia de energía sería del 100% de la partícula móvil a la fija, totalmente de acuerdo. Si fuera válida mi interpretación del enunciado ¿seria correcto mi desarrollo?
Un saludo y gracias.
P.D. A veces soy un poco tiquismiquis, estoy buscando las cinco patas al gato.

[arivasm]

Re: Ejercicio con choque elástico frontal.

Con tu interpretación del enunciado es obvio que cuanto mayor sea $m_1$ mayor será la energía transferida a una $m_2$ fija.

Las velocidades que pones son en todo caso correctas y respecto de la cantidad de energía transferida es, como señalé antes, $\dst \Delta K=\frac{1}{2}m_1V^2\frac{4m_1m_2}{(m_1+m_2)^2}$