1r ciclo Prob.Cinemática, planteamiento erróneo.(duda)

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Hola. Por alguna razón el otro día me puse a hacer problemas de la cinemática más básica: cuerpos en caída libre con aceleración constante.
El caso es que encontré un problema que no conseguía resolver, o más bien, que no conseguía resolver satisfactoriamente. Me explico:

Antes de nada el problema fue extraído del libro "FISICA UNIVERSITARIA VOLUMEN 1" del capítulo 2 problema 2.91
(Nótese que dicho libro contiene los resultados del problema, pero no la solución desarrollada).(El enunciado lo dejo al final del post).

La cuestión es que, a la hora de resolver el problema, hago un planteamiento correcto pero muy poco eficiente llegando a unas ecuaciones gargantuescas que resolví utilizando la computación de mi calculadora gráfica y obteniendo el resultado correcto. El problema es que es obvio que el problema no está planteado para ser resuelto de forma tan aparatosa, pero no veo cómo simplificar el planteamiento.

El enunciado es el siguiente: (simplificado)

Hombre salta en el segundo cero desde lo alto de la torre CN (553m) (se deja caer libremente sin rozamiento).(aceleración g constante)
5 segundos después hombre con cohete a la espalda se tira a una velocidad desconocida (k)desde la torre para salvar al primero . (aceleración g constante).
Cuando el hombre con cohete alcanza al hombre sin cohete, acciona el cohete provocando una aceleración vertical hacia arriba (cte) cuya valor máximo es 5 veces g (para evitar herir al hombre).
El hombre con cohete y el hombre sin cohete alcanzan el suelo a velocidad nula. (0)
Las preguntas son :
¿A qué altura mínima deberá Rocketeer (el hombre con cohete) alcanzar al otro?
¿Qué velocidad inicial lleva?

Mi planteamiento es el siguiente:
buscamos X2, la distancia (medida desde el punto cero que he situado en lo alto) a la que el hombre con cohete alcanza al otro para luego hacer 553-X2 y obtener la altura.
Planteamos T= t-5 (para el tiempo)
Decimos X2= k T + g/2 T^2
y
0 = (k^2 +2g X2)^2 + 10g (X2-553)
Obtenemos T en función de k y X2 en funcion de k o ambas en función de T , las metemos en la ecuación igualada a cero y nos da un monstruo infernal que, de ser resuelto, da la solución.
Tiene que haber mas facil, pero no lo veo.


Si alguien quisiera ayudarme le estaría muy agradecido.
Gracias por vuestro tiempo, en cualquier caso.

[pod]

Re: Prob.Cinemática, planteamiento erróneo.(duda)

Para este problema, lo mejor es utilizar la ecuación del MRUA independiente del tiempo (es una ecuación que tiene cierta mala fama, pero en una dimensión funciona bien):

$$v^2 - v_0^2 = 2 a \Delta x\ .$$

En este problema tendrás tes ecuaciones. La primera, para el hombre que se cae:

$$v_\text{h,f}^2 = -2 g (h_e-h) \ ,$$

donde $v_\text{h,f}$ es la velocidad final del hombre, y $h_e$ la altura del encuentro. La ecuación de la caída del cohete (apagado),

$$v_\text{c,f}^2-v_0^2 = - 2 g (h_e-h) \ .$$

Y, la última, para el frenazo con los dos a la vez. La verdad es que no me queda muy claro cual debe ser la velocidad inicial de este tramo, supongo que lo más correcto sería calcular la velocidad final de la colisión entre el hombre y su salvador. En cualquier caso, llamaré a esta velocidad $v_1$,

$$-v_1^2 = 10 g (-h_e) \ .$$

Incógnitas: $v_\text{h,f}$, $v_\text{c,f}$, $h_e$ y $v_0$ ($v_1$ lo considero sabido, en función de las otras velocidades). Necesitamos una última ecuación para tener tantas ecuaciones como incógnitas. Es sencillo, tenemos las dos ecuaciones de la velocidad,

$$\begin{aligned}<br /> v_\text{h,f} & = -g t \ , \\<br /> v_\text{c,f} & = v_0 - g(t-t_0) \ .<br /> \end{aligned}$$

Donde, claro, $t_0 = 5\mathrm{s}$. Nos engorra el tiempo, pero podemos restar:

$$v_\text{c,f} - v_\text{h,f} = v_0 + g t_0 \ .$$

Ahora sí, cuatro ecuaciones para cuatro incógnitas.

[299792458]

Re: Prob.Cinemática, planteamiento erróneo.(duda)

Había puesto una respuesta desarrollada con cálculos y clara pero la mierda del navegador me ha hecho 'la 3 -14' y ya no tengo ganas de repetirlo.

Básicamente el problema es que al tener la ecuación 5-b sin elevar al cuadrado, cuando empiezas a sustituir acaba saliendo un cacharro enorme
ya que o
-expresas Vo = f(V,cf) y luego elevas
o
- expresas Vo2 = f(Vc,f2) y haces raíz.
Y vuelvo al problema inicial, ecuaciones verdaderas pero enormes de resolución complicada. (lo mismo que me pasaba en un principio, pero un poco menos).

¿no?

{{he supuesto que al chocar el 'salvador' con el 'suicida' la velocidad resultante es la misma que la del salvador que le arrastra sin resistencia alguna)}}
No sé, supongo que algo raro le pasa a mi cerebro cuando intento hacer este problema en particular...

Muchas Gracias en cualquier caso .

[299792458]

Re: Prob.Cinemática, planteamiento erróneo.(duda)

PD:
La verdad es que este problema me resulta preocupante, resuelvo 2 docenas de problemas de mecánica teórica presuntamente complicados(que es lo que estoy estudiando para septiembre) y cuando, henchido de orgullo (y satisfacción), me digo 'voy a volver a echarle un ojo al problemilla ese,tan tonto', me paso 40 minutos pensando y vuelvo a caer en los mismos chorizos ecuacionales.

[pod]

Re: Prob.Cinemática, planteamiento erróneo.(duda)

Bueno que salgan expresiones largas no es necesariamente malo, a veces las cosas son así.

En cualquier caso, la ecuación 5 no necesitas tocarla más; solo es necesaria para deducir la 6. Cosas que puedes probar:

- Con la simplificación que haces, puedes deshacerte de la velocidad del salvador sumando 3 y 4.

- El segundo miembro de 2 y 3 es idéntico, puedes igualar las dos ecuaciones.

En cualquier caso, resolver numéricamente las ecuaciones no es ninguna desgracia ni mancha en tu expediente