1r ciclo Oscilador Armonico

[Zotyx]

Buenas, este es un problema que me aparecio en un parcial de mecanica pero que no pude resolver. Me gustaria obtener algun tipo de orientacion para resolverlo y entenderlo como medio de estudio ya que es posible que uno similar aparezca en el examen final. Gracias.

PD: Es el problema 10.12 del libro Kleppner.

[pod]

Re: Oscilador Armonico

¿Qué es lo que has intentado y dónde te atascas?

[Zotyx]

Re: Oscilador Armonico

Para la parte a he intentado plantear la ecuacion del oscilador forzado tomando Xa como solucion a modo de buscar una igualdad entre los terminos para demostrar su validez y a partir de ello buscar una manera de demostrar que X(t)=Xa+Xb es tambien solucion, sin embargo no comprendo muy bien como al sumarle Xb tambien podria ser solucion. Estoy suponiendo que al decirme que Xb satisface la ecuacion de movimiento de un oscilador libre puede ser cualquier solucion a una ecuacion diferencial de segundo orden homogenea. Ademas esta el dato de que X(t)=Xa pero despues de un tiempo muy largo, no se si esto quiera decir que desmostrando que Xa es solucion estaria lista la primera parte o simplemente sea una condicion. Sinceramente no se si estoy comprendiendo bien el ejercicio ya que no se me da muy bien el ingles.

[pod]

Re: Oscilador Armonico

Para la parte a he intentado plantear la ecuacion del oscilador forzado tomando Xa como solucion a modo de buscar una igualdad entre los terminos para demostrar su validez y a partir de ello buscar una manera de demostrar que X(t)=Xa+Xb es tambien solucion, sin embargo no comprendo muy bien como al sumarle Xb tambien podria ser solucion. Estoy suponiendo que al decirme que Xb satisface la ecuacion de movimiento de un oscilador libre puede ser cualquier solucion a una ecuacion diferencial de segundo orden homogenea.

$x_b$ no es una solución a una ecuación diferencial homogénea cualquiera. Es la solución a la ecuación diferencial del mismo oscilador armónico que estás considerando, sólo que quitando el término de forzamiento. Es decir, se cumplen las ecuaciones

$$\begin{aligned}<br /> \ddot x_a + 2 \gamma \omega_0 \dot x_a + \omega_0^2 x_a & = F_0 \cos \omega t \ , \\<br /> \ddot x_b + 2 \gamma \omega_0 \dot x_b + \omega_0^2 x_b & = 0 \ . \\<br /> \end{aligned}$$

A partir de estas dos ecuaciones, y usando las propiedades de linealidad, es muy sencillo ver que $x = x_a + x_b$ es solución de la ecuación completa.

Ademas esta el dato de que X(t)=Xa pero despues de un tiempo muy largo, no se si esto quiera decir que desmostrando que Xa es solucion estaria lista la primera parte o simplemente sea una condicion. Sinceramente no se si estoy comprendiendo bien el ejercicio ya que no se me da muy bien el ingles.

Esto no es una condición a imponer. Es lo que uno espera que pase: el comportamiento a largo plazo no debería depender de los detalles iniciales. El forzamiento y la fricción se encargan de atenuar a lo largo del tiempo las características de la posición inicial.

Cuando tengas la solución completa lo verás: las soluciones homogeneas $x_b$ (que tienes escritas en algún lado del libro o apunte que has escaneado) van siempre multiplicadas por una exponencial decreciente, que hace que $x_b\to 0$.

[Zotyx]

Re: Oscilador Armonico

Una cosa, las constantes $\gamma$ y $\omega_o$ a que son iguales? Es que tengo entendido que $\omega_o$=$\sqrt{k/m}$ y $\gamma$=$\beta$/2m, pero no se si en este caso tambien se cumpla. La confusion me surge debido a que mi profesor siempre ha llamado $\omega_1$ a $\gamma$ y en este problema $\omega_1$ aparece posteriormente y supongo que no sera la misma constante.

[pod]

Re: Oscilador Armonico

Una cosa, las constantes $\gamma$ y $\omega_o$ a que son iguales? Es que tengo entendido que $\omega_o$=$\sqrt{k/m}$ y $\gamma$=$\beta$/2m, pero no se si en este caso tambien se cumpla. La confusion me surge debido a que mi profesor siempre ha llamado $\omega_1$ a $\gamma$ y en este problema $\omega_1$ aparece posteriormente y supongo que no sera la misma constante.

Los parámetros de la ecuación son los que tu dices. Salen directamente de aplicar la segunda ley de Newton al oscilador amortiguado.

Luego, depende de la notación de tu profesor; lo que ocurre es que la frecuencias que aparece en la solución del oscilador amortiguado ya no es igual a $\omega_0$, si no que depende de $\gamma$. Por eso se le suele dar un nombre a la frecuencia que aparece en la solución, e imagino (no estoy seguro) que eso es lo que tu profesor llama $\omega_1$. Si es eso, entonces (para el caso infra-amortiguado)

$$\omega_1 = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2 } .$$

Es fácil entender de donde sale esto: la fricción frena un poco el oscilador y hace que la frecuencia sea un poco más baja.