Divulgación Consulta sobre colisiones perfectamente inelasticas y pendulo balistíco

[inakigarber]

Buenas tardes, os planteo este problema con cuya solución no estoy de acuerdo.
"Se dispara un proyectil de masa $m_1$ con una velocidad vsobre un péndulo balístico que tiene masa $m_2$. El péndulo esta sujeto a una varilla muy ligera de longitud L que puede girar por su otro extremo. El proyectil se detiene en el péndulo. Hallar la velocidad mínima v para que el péndulo llegue a describir una circunferencia completa."
La solución que da el libro es; [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
A mi no me sale igual.
Para describir un circulo la altura del sistema bala-péndulo será;

$$h=2gL(m_b+m_p)$$

La velocidad mínima necesaria para alcanzar esta altura;

$$=\sqrt{2gh}=\sqrt{2g 2L}=2\sqrt{gL}$$

Dado que los momentos inicial y final son iguales entonces tendremos;

$$m_bv=2(m_b+m_p)\sqrt{gL}$$

Por tanto;
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] Con lo cual, el resultado no me cuadra.
¿En que me equivoco? ¿esta mal el resultado del libro?
Saludos y gracias.

[felmon38]

Re: Consulta sobre colisiones perfectamente inelasticas y pendulo balistíco

Puede que no te salga porque has supuesto que los momentos de la cantidad de movimiento en el instante anterior al choque y después de haber dado una vuelta completa son iguales y no tienen por que ya que sobre el sistema actúa la tensión de la cuerda cuyo impulso, proyectado sobre la horizontal, no tiene por que ser nulo.
Saludos

[inakigarber]

Re: Consulta sobre colisiones perfectamente inelasticas y pendulo balistíco

Creo que hay un error en el solucionario.
Los pasos que sigue el solucionario son los siguientes;

$$m_1v=(m_1+m_2)V$$

$$v=\left(1+\frac{m_1}{m_2}\right)V$$

Dado que la energía se conserva, entonces trendremos;

$$-\frac{1}{2}\left(m_1+m_2\right)V^2+\left(m_1+m_2 g 2L\right)=0$$

$$V=\sqrt{gl}\left(1+\frac{m_1}{m_2}\right)$$

A mi me parece que este paso final esta equivocado. Me sale;

$$V=2\sqrt{gl}\left(1+\frac{m_1}{m_2}\right)$$

¿es así?

[felmon38]

Re: Consulta sobre colisiones perfectamente inelasticas y pendulo balistíco

Inaki..., a la ecuación que pone el solucionario como suma de las energías, le falta la energía potencial de 1. Creo que en la ecuación final que pones es v en vez de V.

[Breogan]

Re: Consulta sobre colisiones perfectamente inelasticas y pendulo balistíco

Hola:

Revisa las siguientes formulas porque me parece que no son dimensionalmente correctas (solo que tengan algunos coeficientes dimensionales que no veo, no explicitos):

$$h=2gL(m_b+m_p)$$

$$-\frac{1}{2}\left(m_1+m_2\right)V^2+\left(m_1+m_2 g 2L\right)=0$$

Dado que el péndulo balístico esta sometido a la fuerza de la gravedad y a una fuerza central debida a la varilla de sujeción no se conservan ni el momento lineal ni el angular.
Sin embargo si consideramos que el choque es instantáneo podemos aplicar la conservación del momento lineal entre el instante inmediatamente anterior al choque y el instante inmediatamente posterior a este.
De esta consideración surge que:

$$\dst m_1 v = (m_1 + m_2) V$$

despejando:

$$\dst V = \frac{m_1}{m_1 + m_2} \ v$$

Como la fuerza central no puede realizar trabajo y la otra fuerza es la de la gravedad, que es conservativa, resulta que se debe conservar la energía mecánica del conjunto para todo instante después del choque.
Por otra parte el enunciado nos pide calcular la velocidad mínima necesaria para tener una trayectoria circular del péndulo, y como el péndulo esta vinculado por una varilla rígida la velocidad mínima en el punto superior debe ser igual a cero.
Si en vez de una varilla fuera un hilo la velocidad en el punto superior de la trayectoria debe ser distinta de cero, si fuera cero no se completaría la circunferencia, es mas es totalmente incompatible la trayectoria circular vertical, con la velocidad cero en su punto superior con este tipo de vinculo.

Tomando la referencia para la altura en el punto inferior de la trayectoria:

$\dst E_{ci} + E_{pi} = E_{cf} + E_{pf}$

$$\dst \frac 1 2 (m_1 + m_2) V^2 + 0 = 0 + (m_1 + m_2) \ g \ 2L$$

Operando:

$$\dst V^2 = 4 \ g \ L$$

Despejando:

$$\dst V = 2 \ \sqrt{g \ L}$$

Reemplazando (2) en (1) tenemos:

$\dst 2 \ \sqrt{g \ L} = \frac{m_1}{m_1 + m_2} \ v$

Y por ultimo queda:

$$\dst \boxed{v = 2 \ \sqrt{g \ L} \left( 1 + \frac {m_2}{m_1} \right)}$$

Por lo cual a mi me da tu mismo resultado Iñaki.

s.e.u.o.

Suerte

[inakigarber]

Re: Consulta sobre colisiones perfectamente inelasticas y pendulo balistíco

A mi me sigue saliendo el mismo resultado. Los solucionarios de los libros a veces también están equivocados.
Saludos y gracias.