Olimpiada Otro problema de gravitacion

[Visitante]

Tengo dificultades cn otro problema de gravitacion, esta vez es de la fase local, canarias ull 2005 (link que deje en el ultimo hilo de gravitacion)
El problema 3. Apartado d es el que me tiene confuso. Como voy a hacer un tunel donde gsea el mismo en la superficie y en el tunel y encima en la superficie valga g/2 cuando ya vale g. La verdad es que pueden enunciar mejor los problemas.
Por curiosidad paranel apartado 2 el periodo es 1,42 h? Y en el 3 media hora?
Tambien tengo otro duda, pueden entender cual es la formula en el problema 1 apartado 2?

[Weip]

Re: Otro problema de gravitacion

Hola. Lo primero de todo es que deberías volver a poner el link al problema. Piensa que dentro de un tiempo encontrar el otro hilo sin decir el nombre será imposible. Después, creo que te refieres al segundo ejercicio, no al tercero. Respecto al apartado 4 en principio no veo nada incoherente pero no sé si entiendo bien tu duda. En otros apartados ya se han taladrado otros túneles. Este es otro más. Lo del segundo apartado no lo sé, tampoco tengo calculadora a mano... Respecto al problema 1 apartado 2 la fórmula se ve poco pero es:

$\dst\frac{\mathrm{d} U}{\mathrm{d} V}=\dst\frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2$

Te la explico. $U$ es la energía potencial electrostática y $V$ el volumen. $\dst\frac{\mathrm{d} U}{\mathrm{d} V}$ expresa la energía potencial electrostática almacenada en cierto volumen. Se le llama densidad de energía electrostática. La demostración la puedes encontrar en cualquier libro de electromagnetismo de primero de carrera. Si mal no recuerdo en el Alonso y Finn está.

[Visitante]

Re: Otro problema de gravitacion

Hola. Lo primero de todo es que deberías volver a poner el link al problema. Piensa que dentro de un tiempo encontrar el otro hilo sin decir el nombre será imposible. Después, creo que te refieres al segundo ejercicio, no al tercero. Respecto al apartado 4 en principio no veo nada incoherente pero no sé si entiendo bien tu duda. En otros apartados ya se han taladrado otros túneles. Este es otro más. Lo del segundo apartado no lo sé, tampoco tengo calculadora a mano... Respecto al problema 1 apartado 2 la fórmula se ve poco pero es:

$\dst\frac{\mathrm{d} U}{\mathrm{d} V}=\dst\frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2$

Te la explico. $U$ es la energía potencial electrostática y $V$ el volumen. $\dst\frac{\mathrm{d} U}{\mathrm{d} V}$ expresa la energía potencial electrostática almacenada en cierto volumen. Se le llama densidad de energía electrostática. La demostración la puedes encontrar en cualquier libro de electromagnetismo de primero de carrera. Si mal no recuerdo en el Alonso y Finn está.

Lo que me parece incoherente es como hacer un tunel donde g sea igual en la superficie y dentro del tunel.

Pd: cuando pueda pongo el link pero ahora estoy a varios km de distancia para poder hacerlo.

[Breogan]

Re: Otro problema de gravitacion

Hola:


Si queres obtener mas y mejor ayuda, no solo deberías colocar un link, hay muchos foreros que rehuyen o les da paja buscar el problema en un enlace, por lo menos deberías transcribirlo en su totalidad o pegar una copia de este.
Cuando surgen dudas en la interpretación del enunciado es realmente importante tener este en el cuerpo del hilo.

Por otra parte LWdF trata de generar contenido lo mas permanente posible, que sirva como material de consulta para cualquier interesado en cualquier momento; si tenes en cuenta que los enlaces externos pueden cambiar con el tiempo, te podes imaginar que el presente hilo (y otros que vi que también abriste de esta forma) dentro de un cierto tiempo va a ser incomprensible, al no poder hallar el enunciado en la web, para quien quiera consultarlo.

Agrego copia del enunciado:



Y siempre agrega tus dudas y tus intentos de solución.

Suerte

- - - Actualizado - - -

........El problema 3. Apartado d es el que me tiene confuso. Como voy a hacer un tunel donde gsea el mismo en la superficie y en el tunel y encima en la superficie valga g/2 cuando ya vale g. La verdad es que pueden enunciar mejor los problemas.......

Si con apartado d te referís al apartado 4 del problema 3, resulta que este esta bien expresado y creo que tenes un error de interpretación de este.
No se como explicarlo de forma que sea claro, así que si te quedan dudas después de que lo intente no dudes en preguntar.
En este modelo esférico simple de la Tierra, en todo punto de la superficie de esta la gravedad tiene siempre el mismo valor y su dirección siempre es radial; pero como la aceleración de la gravedad es un vector, resulta que lo podes proyectar en cualquier otra dirección y esto es lo que dice el enunciado: "...la aceleración de la gravedad en la dirección del túnel y a la altura de la superficie es g/2 ...."
Es decir que el enunciado te dice que en un punto de la superficie la aceleración de la gravedad en la dirección radial vale g, y en ese mismo punto pero en la dirección del tunel vale g/2, implícitamente te dan el angulo entre el radio y el túnel en un punto de la superficie:

$\dst \frac g 2 = g \ cos \theta$

$\dst cos \theta = \frac 1 2$

s.e.u.o.

Suerte

[Richard R Richard]

Re: Otro problema de gravitacion

para el punto 1 la gravedad la sacas por mecanica newtoniana con

$g_{sup}=\dfrac{GM}{R^2}$

la densidad te dicen que es constante, masa contenida en unvolumen de radio r sera


$\rho=\dfrac{M}{\frac43 \pi R^3}= \dfrac{M_r}{\frac43 \pi r^3}$

de aqui $M_r=M\dfrac{r^3}{R^3}$

$g_r=\dfrac{GM_r}{r^2}=G M \dfrac{r^3}{r^2R^3}=\dfrac{rGM}{R^3}=\dfrac{r}{R}g_{sup}$


en el punto 2 aplica el periodo del pendulo.

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] 1h 24'36''

para el 3 cuando r es minima es perpendicular al tunel entonces si graficas te queda un triangulo rectangulo de lados [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

de aqui por trigonometria $\sin \alpha =\frac 12 \Rightarrow \alpha= 30$°

La nueva longitud del tunel es $L=\sqrt {3} R$

la descomposicion de g en la direccion del tunel es $g_{\alpha}=\cos \alpha . g_{sup}=\dfrac{\sqrt {3}}2g_{sup}$

para calcular el periodo

$T=2\pi\sqrt{\dfrac{R}{g_{\alpha}}}=2\pi\sqrt{\dfrac{\dfrac{\sqrt {3}}{2}R}{\dfrac{\sqrt {3}}2g_{sup}}}=2\pi\sqrt{\dfrac{R}{g_{sup}}}=$ 1h 24'36''


en el punto 4 ya te dan $\alpha$ sacas [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

de nuevo el radio minimo estara cuando el tunel es perpendicular al radio asi sacas [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

con un planteo similar al anterior

T=1h 24'36''


saludos

[Visitante]

Re: Otro problema de gravitacion

Si con apartado d te referís al apartado 4 del problema 3, resulta que este esta bien expresado y creo que tenes un error de interpretación de este.
No se como explicarlo de forma que sea claro, así que si te quedan dudas después de que lo intente no dudes en preguntar.
En este modelo esférico simple de la Tierra, en todo punto de la superficie de esta la gravedad tiene siempre el mismo valor y su dirección siempre es radial; pero como la aceleración de la gravedad es un vector, resulta que lo podes proyectar en cualquier otra dirección y esto es lo que dice el enunciado: "...la aceleración de la gravedad en la dirección del túnel y a la altura de la superficie es g/2 ...."
Es decir que el enunciado te dice que en un punto de la superficie la aceleración de la gravedad en la dirección radial vale g, y en ese mismo punto pero en la dirección del tunel vale g/2, implícitamente te dan el angulo entre el radio y el túnel en un punto de la superficie:

$\dst \frac g 2 = g \ cos \theta$

$\dst cos \theta = \frac 1 2$

s.e.u.o.

Suerte

Ahhh. Eso ya resuelve mi duda, pensaba que se referia a g radial, que tonto por mi parte xd.
Como ya he dicho lo que he intentado lo publicare en unos dias, me es imposible escribir las formulas con el movil.
PD: Richard he estado viendo un poco tu solucion pero no estoy de acuerdo con tu procedimiento. No creo que sea analogo al periodo del pendulo porque g no es constante, de otro modo yo lo he hecho igualando la ley de hooke y la fuerza de gravitacion universal, luego sustituyo K por w2m y w p8r 2pi/T y despejo T. Llego a la conclusion que el periodo es el mismo que si estuviese en orbita circular a una distancia igual al radio terrestre.

[Richard R Richard]

Re: Otro problema de gravitacion

Malevolex no es un invento lo que hice y es correcto

Si usas $F=K\cdot \Delta x$ de la ley de Hooke

entonces aplicas$\dfrac{\partial^2 x}{\partial t^2}=-K x$

en el caso de la bola

$F = m \cdot g_{sup} =K\cdot \Delta x= K R$

de alli $\dfrac Km=\dfrac {g_{sup}}R$

entonces obtienes $T=2\pi\sqrt{\dfrac mK}=2\pi\sqrt{\dfrac {R}{g_{sup}}}=<br />$1h 24'36'

Es conocido el dato de que no importa como se haga la cuerda que una dos puntos de la tierra el tiempo que se tarda en cruzar es 42 minutos y otros 42 en volver

saludos

[Visitante]

Re: Otro problema de gravitacion

Pero aun asi no estoy de acuerdo co n que se puede usar la formula del pendulo/muelle, es una m.a.s. cierto pero no demuestra que esa sea el periodo. Yo lo hice asi:
$kR=G\dst\frac{mM}{ R2}$
Como
[TEX(]\frac{2\pi}{ T})2m=k[/TEX]
Resulta
$T=2\pi R\sqrt{\frac{R}{ GM}}$

[Richard R Richard]

Re: Otro problema de gravitacion

Miralo de esta manera la ecuacion diferencial del muelle es

$\dfrac{\partial^2 x}{\partial t^2}=-\dfrac{K}{m} x$

La ecuacion que resuelve el problema es

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

tienen la misma forma las dos llegan a una ecuacion de la forma

$x=A \sin (\omega t + \Phi)$

y

$r=B \sin (\omega t + \Phi)$

para este caso $T= 2 \pi \sqrt{\dfrac{R}{g_{sup}}}$

no se como es lo que te has planteado , pero cree que esto es asi.

[Visitante]

Re: Otro problema de gravitacion

Miralo de esta manera la ecuacion diferencial del muelle es

$\dfrac{\partial^2 x}{\partial t^2}=-\dfrac{K}{m} x$

La ecuacion que resuelve el problema es

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

tienen la misma forma las dos llegan a una ecuacion de la forma

$x=A \sin (\omega t + \Phi)$

y

$r=B \sin (\omega t + \Phi)$

para este caso $T= 2 \pi \sqrt{\dfrac{R}{g_{sup}}}$

no se como es lo que te has planteado , pero cree que esto es asi.

Pero no entiendo por que mi procedimiento es incorrecto.

[Richard R Richard]

Re: Otro problema de gravitacion

Pero aun asi no estoy de acuerdo co n que se puede usar la formula del pendulo/muelle, es una m.a.s. cierto pero no demuestra que esa sea el periodo. Yo lo hice asi:

$$kR=G\dst\frac{mM}{ R^2}$$

Como

$$(\frac{2\pi}{ T})^2m=k$$

Resulta

$$T=2\pi R\sqrt{\frac{R}{ GM}}$$

Modifique tus formulas creo no haberle cambiado el sentido,

De (1) sale $KR=mg_{sup}$ o $\dfrac mK=\dfrac {R}{g_{sup}}$

De (2) [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] Resultado correcto

De (3) [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] Tambien correcto

pero si el resultado numerico no te da aproximado a 1h 24'36' ,pues dices

Por curiosidad paranel apartado 2 el periodo es 1,42 h? Y en el 3 media hora?

es que hay error en las cuentas no en el modelo.

[Visitante]

Re: Otro problema de gravitacion

Modifique tus formulas creo no haberle cambiado el sentido,

De (1) sale $KR=mg_{sup}$ o $\dfrac mK=\dfrac {R}{g_{sup}}$

De (2) [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] Resultado correcto

De (3) [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] Tambien correcto

pero si el resultado numerico no te da aproximado a 1h 24'36' ,pues dices



es que hay error en las cuentas no en el modelo.

Espera es qu3e interpretaba 1,42h como 1 h y 42 min cuando en realidad no lo son, me confundi al pasar h a min, respecto al apartado 3 es que por aquel entonxes no lo entendia bien. Gracias.

[jovenpadawan]

Re: Otro problema de gravitacion

de aqui

Retomando el hilo...

No entiendo la razon por la que conviertes M en Mr y R en r... no entiendo la diferencia ni a que se debe...

Y esta formula :



No se de donde sale ni que representa...

Del mismo modo, no entiendo la diferencia entre "g sup" y "g r"...La gravedad de la superficie sera la del radio no?

Gracias de antemano

[Richard R Richard]

Re: Otro problema de gravitacion

Retomando el hilo...

No entiendo la razon por la que conviertes M en Mr y R en r... no entiendo la diferencia ni a que se debe...

Hola lo que hice en ese paso es obtener el valor de la densidad de una esfera de radio r que sera la unica encargada de proporcionar gravedad en el interior de la tierra precisamente a ese radio, pues el casquete esferico superior se compensa siempre no aporta gravedad.

Asi la densidad que la suponemos constante en todo el planeta (solo para el problema), debe ser igual a la masa contenida en la esfera de radio r sobre su volumen y tambien igual a la masa del planeta dividido su volumen eso es lo que representa esta ecuación



$\rho=\dfrac{M}{\frac43 \pi R^3}= \dfrac{M_r}{\frac43 \pi r^3}$

Y esta formula :



No se de donde sale ni que representa...

sale de despejar los dos últimos términos de la la ecuación anterior(los $\frac43 \pi$ se simplifican y a $r^3$ lo pasas del tercer término donde esta dividiendo al segundo multiplicando.

lo que obtienes es la masa de la esfera de radio r que provoca la gravedad bajo tus pies si estuvieras en el interior de la tierra a una distancia r del centro.

en el interior de la tierra la gravedad desciende linealmente con el radio hasta hacerse 0 en el centro. lo que estamos haciendo es buscar esa funcion usando el radio r y a los datos que se obtengan del enunciado como parametros.

Del mismo modo, no entiendo la diferencia entre "g sup" y "g r"...La gravedad de la superficie sera la del radio no?

Gracias de antemano

$g_{sup}$ seria la gravedad en la superficie provocada por la esfera de densidad constante de radio R=radio de la tierra, osea los $9,8 m/s^2$ que puedes calcular con

$g_{sup}=\dfrac{GM}{R^2}$

como te adelante un parrafo mas arriba en la siguiente ecuación obtienes la relación lineal entre la gravedad y el radio r


$g_r=\dfrac{GM_r}{r^2}=G M \dfrac{r^3}{r^2R^3}=\dfrac{rGM}{R^3}=\dfrac{r}{R}g_{sup}$


si miras el primer y ultimo termino

$g_r=\dfrac{r}{R}g_{sup}$

te dice que si $r=0$ en el centro $g_r=\dfrac{0}{R}g_{sup}=0m/s^2$

y si $r=R$ entonces tienes la gravedad de la superficie $g_r=\dfrac{R}{R}g_{sup}=1.g_{sup}=g_{sup}$

Saludos

[jovenpadawan]

Re: Otro problema de gravitacion

Muchisimas gracias Richard R Richard por la respuesta ya lo he entendido... la verdad es que es mas sencillo de lo que me pensaba , simplemente hay que conseguir una ecuacion que relacione lo que pide...