Secundaria Un ejercicio con trampa

[multiusing]

Buenas. Hace unos dias que vengo estudiando para un examen de física 1 de la carrera Ing. Eléctrica. Me he topado con un ejercicio de los mas comunes y sencillos. El problema es que me parece que hay algún concepto que tengo mal porque sigo sin dar con la solución.

Dice asi:

Dos cuentas se mueven sin fricción sobre dos alambres distintos. Uno de los caminos es la imagen invertida del otro. El largo total de cada alambre es 2D = 3,00m y el de4snivel es h= 0,92 m ambas parten en t=0 de los extremos izquierdos de los alambres con velocidades v1 y v2, de igual modulo. |v1|=|v2|= sqrt(3gh).

¿Cuales son los tiempos t1 y t2 que demoran las cuentas en llegar al extremo derecho de cada uno de los alambres(en segundos)?

el dibujo es algo asi como un triangulo con altura máxima h y cada lado hasta h mide D, en total recorrido es 2D como dice la letra.

El problema es que la particula 2 es igual pero imgen invertida. Osea -h de altura.

Si no he sido claro con el ejercicio, les dejo el link https://eva.fing.edu.uy/mod/folder/view.php?id=6909 (Examen 21 de julio de 2012) Ejercicio 2.

[Breogan]

Re: Un ejercicio con trampa

Hola:

Antes que nada dos cosas, es deseable que cuando planteas un problema también expongas cual fue tu intento de solución; y para que el problema sea mas comprensible y sea util en un futuro a otro forero, siempre es mejor incluir una figura (si esta disponible) en el hilo mas que en un enlace que se puede perder o romper.

Respecto del problema te voy a dar una orientación respecto a la cuenta y al alambre superior, para el inferior es similar.
Al no haber rozamiento y saber que la reacción del alambre no realiza trabajo por ser perpendicular a la trayectoria, resulta que en este problema la energía mecánica para cada cuenta se conserva.
Si tomamos un SR con el origen en el extremo izquierdo del alambre superior y con el el semi-eje positivo de la y hacia arriba podemos escribir:

$$\dst E_{M0} = E_M(y) \quad \forall \ y \ \in [0,h]$$

Donde $E_{M0}$ es la energía mecánica en el origen y $E_M(y)$ es la energía mecánica en la coordenada y.
Ahora explicitamos las expresiones de estas energías:

$\dst E_{M0} = \frac 1 2 m_1 |v_1|^2 = \frac 1 2 m_1 \left( \sqrt{3 g h} \right) ^2 = \frac 3 2 m_1 \ g \ h$

$\dst E_M(y) = \frac 1 2 m_1 v_1(y)^2 + m_1 \ g \ y$

Igualando ambas expresiones:

$\dst \frac 3 2 m_1 \ g \ h = \frac 1 2 m_1 v_1(y)^2 + m_1 \ g \ y$

simplificando m1 y operando:

$\dst 3 \ g \ h = v_1(y)^2 + 2 \ g \ y$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Ahora por definición de velocidad:

$\dst v_1(y) = \frac {ds}{dt} \quad \Rightarrow \quad dt = \frac {ds}{v_1(y)}$

donde ds es el diferencial de trayectoria (que coincide con el alambre), y por trigonométrica (similitud de triángulos):

$\dst \frac D h = \frac {ds}{dy} \quad \Rightarrow \quad ds = \frac D h dy$

reemplazando en la anterior:

$\dst dt = \frac D h \ \frac 1{v_1(y)} \ dy$

reemplazando v1(y):

$\dst dt = \frac D h \ \frac 1{\sqrt{3 \ g \ h - 2 \ g \ y}} \ dy$

por ultimo te queda hacer la integral de dt para toda la trayectoria y de esa forma hallar el tiempo total que le insume.

s.e.u.o.

Suerte

PD1: posiblemente haya una forma de solución mas fácil, pero por el momento yo no la veo, es posible que otro forero pueda aportarla.

PD2: hice el calculo de la integral en wolfram y me da como resultado 0,73 s, posiblemente un error de redondeo.

PD3: también se puede resolver como un MRUA, si te interesa esta forma de resolverlo lo podemos plantear.

Suerte

[Al2000]

Re: Un ejercicio con trampa

Si no me equivoco, sería algo como esto...

Para el tramo ascendente:

$$D = v_0 t - \frac 1 2 g \, \mathrm {sen} \, \theta \, t^2$$

Poniendo que $\dst v_0 = \sqrt {3 g h}$ y $\dst \mathrm {sen} \, \theta = \frac h D$ queda que

$$\frac 1 2 g \frac h D t^2 - \sqrt {3 g h}\, t + D = 0$$

que tiene la solución (la más pequeña)

$$t = (\sqrt 3 - 1) \frac D {\sqrt {g h}}$$

El tiempo empleado en el tramo descendente tiene el mismo valor y habría que hacer un cálculo similar para la otra partícula.

Saludos,

$\mathcal A \ell$