Secundaria Problemas básicos sobre gravedad que creo que estamos enfocando mal en clase

[alexpglez]

Tenía dos dudas aparentemente básicas sobre el campo gravitatorio, que me están confundiendo por como lo razonan en clase:
1) En un problema, preguntaba cuanto pesa un hombre en una nave espacial que está en una órbita circular estable alrededor de la Tierra. (Y daban ciertos datos sobre lo que pesaba en la Tierra, etc.)
En clase hemos calculado por la fómula de la fuerza gravitatoria cuál sería su peso.. Pero creo que contando los efectos por el hecho de estar midiendo en un sistema en rotación, el peso ($m\ddot r$) sería cero ya que la fuerza gravitatoria y la centrífuga se anulan en mov. circulares. Aunque soy consciente de que lo que pide el problema a un nivel de bachillerato es lo primero, pero técnicamente está formulado mal y resulta lo segundo, supongo. Es así¿?

2) Energía de lanzamiento y velocidad de lanzamiento de una órbita circular a otra más externa también circular, el problema vendría a resolverse:
Condición de órbitas circulares:

$$\frac{GM}{r^2}=\frac{v^2}{r} \;\;\; T=\frac{mv^2}{2}=\frac{GMm}{2r}=-\frac{V}{2}$$

Por tanto la energía mecánica de una órbita circular:

$$E=T+V=-\frac{V}{2}+V=\frac{V}{2}$$

Ahora en donde yo dudo es en lo siguiente, según mis profesores: La energía mecánica inicial es la energía mecánica de la órbita circular + la energía de lanzamiento, la energía final es también la de la órbita circular:

$$\Delta E= E_2-E_1=\frac{V(r_2)}{2}-\frac{V(r_1)}{2}-E_{lanz}=0$$

$$E_{lanz}=\frac{mv_{lanz}^2}{2}=\frac{V(r_2)-V(r_1)}{2}=-\frac{GMm}{2}(\frac{1}{r_2}-\frac{1}{r_1})$$

Pero yo no creo que se puedan sumar las energías, me parece un caso particular a lo siguiente, la velocidad inicial, va a ser la orbital más la de lanzamiento. Por lo que la energía inicial:

$$E_1=T+V=\frac{m(v_{orb}+v_{lanz})^2}{2}-\frac{GMm}{r}=$$

$$=\frac{mv_{orb}^2}{2}+\frac{mv_{lanz}^2}{2} +mv_{lanz}\cdot v_{orb}-\frac{GMm}{r}=...$$

Y seguir así con el cálculo.. Que en el caso particular de lanzarlo radialmente (90º con la velocidad orbital, puramente tangencial) tiende al caso anterior.. ¿Es esto correcto?
También me surge ahora problema a identificar cuál sería la energía de lanzamiento, ¿sería $E_{lanz}=\frac{mv_{lanz}^2}{2}$?

Muchas gracias, un saludo.

[Alriga]

Re: Problemas básicos sobre gravedad que creo que estamos enfocando mal en clase

Pero creo que contando los efectos por el hecho de estar midiendo en un sistema en rotación, el peso ($m\ddot r$) sería cero ya que la fuerza gravitatoria y la centrífuga se anulan en mov. circulares.

Contesto la primera cuestión:
Si te empujan de un rascacielos, mientras estás cayendo describiendo una parábola ¿tu peso es cero? No, ¿verdad?
Pues cuando estás en órbita tampoco. Una órbita es una caída libre con velocidad tangencial suficiente para no tocar el suelo. Lo que siente un astronauta en órbita es exactamete lo mismo que lo que siente alguien que se tira de un avión, (si no hubiese rozamiento con el aire), la sensación de caída libre.
Pero tanto al caer del rascacielos como en una órbita, la Tierra tira de tí con la fuerza que se calcula con la Ley de Gravitación de Newton.
Saludos

[jovenpadawan]

Re: Problemas básicos sobre gravedad que creo que estamos enfocando mal en clase

la fuerza gravitatoria y la centrífuga se anulan en mov. circulares

Yo diria que en este caso , son lo mismo, no que se anulan.

[Alriga]

Re: Problemas básicos sobre gravedad que creo que estamos enfocando mal en clase

2) Energía de lanzamiento y velocidad de lanzamiento de una órbita circular a otra más externa también circular, el problema vendría a resolverse:
Condición de órbitas circulares:

$$\frac{GM}{r^2}=\frac{v^2}{r} \;\;\; T=\frac{mv^2}{2}=\frac{GMm}{2r}=-\frac{V}{2}$$

Por tanto la energía mecánica de una órbita circular:

$$E=T+V=-\frac{V}{2}+V=\frac{V}{2}$$

Ahora en donde yo dudo es en lo siguiente, según mis profesores: La energía mecánica inicial es la energía mecánica de la órbita circular + la energía de lanzamiento, la energía final es también la de la órbita circular:

$$\Delta E= E_2-E_1=\frac{V(r_2)}{2}-\frac{V(r_1)}{2}-E_{lanz}=0$$

$$E_{lanz}=\frac{mv_{lanz}^2}{2}=\frac{V(r_2)-V(r_1)}{2}=-\frac{GMm}{2}(\frac{1}{r_2}-\frac{1}{r_1})$$

De la última ecuación que escribes esta parte es correcta:

$E_{lanz}=\dfrac{V(r_2)-V(r_1)}{2}=-\dfrac{GMm}{2}(\dfrac{1}{r_2}-\dfrac{1}{r_1})$

Pero creo que razonas correctamente cuando dices que:

$E_{lanz}\neq\dfrac{mv_{lanz}^2}{2}$

Saludos.

[arivasm]

Re: Problemas básicos sobre gravedad que creo que estamos enfocando mal en clase

...cuanto pesa un hombre en una nave espacial que está en una órbita circular estable alrededor de la Tierra.

Peso es lo mismo que fuerza de gravitación. No debemos confundirlo con el resultado de una operación de pesada (que proporciona el llamado peso aparente). Los astronautas de la ISS pesan (incluso un valor no demasiado diferente del que tienen en la superficie del planeta). Otra cosa diferente es que traten de medirlo con una balanza: el resultado será 0 porque tanto el astronauta como la balanza están en caída libre.

La energía mecánica inicial es la energía mecánica de la órbita circular + la energía de lanzamiento,

En primer lugar, está claro que como mínimo será necesario efectuar *dos* maniobras de cambio de velocidad. Con una sola, es decir, aumentando una sola vez la velocidad de un cuerpo inicialmente en una órbita circular, lo que se conseguirá es que pase a una órbita elíptica (o parabólica o hiperbólica, dependiendo del valor de la energía mecánica -por unidad de masa- final) que será tangente a la inicial en el punto de "lanzamiento".

El segundo cambio en la velocidad (segundo lanzamiento) será necesario para alcanzar definitivamente la segunda órbita circular. Si ambas órbitas circulares son coplanarias la de transferencia será media elipse, y el proceso completo se llama transferencia de Hohmann.

Pero ése no es el único procedimiento. Se puede hacer con más encendidos (incluso con impulsos continuos). Así, con tres (y en el caso particular coplanario anterior) otra posibilidad es la llamada trasnferencia bielíptica.

Lo que podemos calcular inmediatamente es el trabajo que se debe realizar para realizar el cambio de órbita, y que será la diferencia entre la energía mecánica de las dos órbitas, $W=\Delta E=\frac{1}{2}(V_2-V_1)$ (por supuesto, si no nos complicamos con el cambio de masa que acompaña a un motor cohete).

Pero, ojo, si eso lo queremos relacionar con gasto de combustible del motor del satélite entonces se vuelve imprescindible tomar en consideración los detalles. Pondré un ejemplo: si queremos pasar a otra órbita circular del mismo radio, pero diferente orientación, puesto que el trabajo que se debe realizar es nulo es evidente que el motor deberá realizar maniobras de aceleración y también de frenado, en todas las cuales se consume combustible.

[alexpglez]

Re: Problemas básicos sobre gravedad que creo que estamos enfocando mal en clase

A lo primero, no sé por qué me daba a entender el problema que era medir con una báscula puesta en la nave..

En lo segundo, entiendo entonces que mis profes lo estaban haciendo mal, es imposible lanzar una partícula desde una órbita circular, y esperar que siga en otra órbita circular más abierta, por que su órbita natural sería una elipse realizando sólo un cambio en la velocidad... es decir ellos daban en clase:

$$E_{lanz}=\frac{1}{2}(V_2-V_1)=\frac{1}{2}mv_{lanz}^2$$

$$v_{lanz}=\sqrt{GM(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2})}$$

Y después al escribir yo, sólo me veía mal el por qué sumaba energías cinéticas (de lanzamiento y orbital) en vez de las velocidades.. Se me olvidó ver que estaba mal el razonamiento de sólo hacer un cambio de velocidades, es imposible..