Divulgación La Tierra como un agujero negro

[_FoX_]

Tengo el siguiente problema:


Un agujero negro es un cuerpo celeste tan denso que de su superficie ni la luz puede escapar. Sabiendo que la masa de la Tierra es , ¿cuál sería su radio máximo si fuese un agujero negro? ¿Cuál sería entonces su densidad? ¿Modificaría la actual órbita de la Luna? Aplique conceptos newtonianos y explique sus argumentos.

[hassan]

Re: La Tierra como un agujero negro

Creo haber leido ese ejercicio en alguna parte, no me hagas mucho caso pero creo que tienes que aplicar la formula de la velocidad de escape de un cuerpo (en este caso la luz) de donde sacaras el radio de ese "agujero negro", de ahi facilmente sacas el volumen y por ende, la densidad.

Lo de la orbita ni idea, espero que te sirva.

[pod]

Re: La Tierra como un agujero negro

Uhm, ¿en donde te encallas? Para los primeros apartados, simplemente utiliza la consabida fórmula para la velocidad de escape. Si no la sabes, puedes deducirla mediante la conservación de la energía (en el instante final, el objeto debe quedar parado en el infinito; energía final cero).

Para el último apartado, utiliza el teorema de Gauss para hacer el razonamiento.

[_FoX_]

Re: La Tierra como un agujero negro

Para el último apartado, utiliza el teorema de Gauss para hacer el razonamiento.

Hasta aquí llego , qué debo utilizar del teorema de Gauss?, no me familiarizo con él.

[pod]

Re: La Tierra como un agujero negro

Hasta aquí llego , qué debo utilizar del teorema de Gauss?, no me familiarizo con él.

Pues que la gravedad de un objeto con simetría esférico depende únicamente de la masa que hay dentro de la distancia a la que mides; no importa si está concentrada en un punto o si está distribuida en toda la tierra. Así que la luna ni se enteraría.

[_FoX_]

Re: La Tierra como un agujero negro

Pues que la gravedad de un objeto con simetría esférico depende únicamente de la masa que hay dentro de la distancia a la que mides; no importa si está concentrada en un punto o si está distribuida en toda la tierra. Así que la luna ni se enteraría.

¿Cómo lo demuestro?, creo que necesito saber el teorema fundamental del cálculo para entender el teorema de Gauss.

[[Beto]]

Re: La Tierra como un agujero negro

¿Cómo lo demuestro?, creo que necesito saber el teorema fundamental del cálculo para entender el teorema de Gauss.

Si quieres entender la forma matemática, necesitas un poco más que eso.

Pero físicamente solamente significa que el flujo que si tienes una superficie cerrada $S$ (por ejemplo una superficie esférica), y en su interior tienes una masa "$M$", el flujo generado por esta masa y que atraviesa la superficie esférica es proporcional a la masa. Entiendase por flujo al número de lineas de campo que atraviesan una determinada superficie.

Entonces, si la tierra solamente disminuye su volumen para tener la densidad de un agujero negro y la luna se queda en la posición donde estaba, ¿se modificará el campo gravitatorio que genera la tierra?.

Piénsalo un poco .. y si no se entendió algo pregunta.

[_FoX_]

Re: La Tierra como un agujero negro

Entiendase por flujo al número de lineas de campo que atraviesan una determinada superficie.

Veamos, las lineas (flujo) estarán cubriendo mayor superficie a mayor distancia, por lo que habrá menos flujo por metro cuadrado (proporcionalidad inversa y al cuadrado , ya que es una superficie, esto lo pude entender muy bien), por lo tanto habrá menos fuerza.

Por lo tanto, ¿el flujo es la cantidad de lineas de fuerza?, si es así, el flujo (al igual que la fuerza) es directamente proporcional a la masa, a radio constante.

Por lo tanto, para el mismo radio y la misma masa, la misma fuerza. La luna no siente el efecto.

Yo antes había hecho un rápido vistazo, con la conocidísima fórmula de la fuerza de gravedad, de la que dependen las masas y el radio, pero era fea respuesta :P. Eso si, me gustaría saber el método matemático para llegar a esa conclusión. El aspecto físico lo entiendo bien.

y si no se entendió algo pregunta.

Gracias por tu paciencia y disposición.

[Jose D. Escobedo]

Re: La Tierra como un agujero negro

Aqui tienes estos links que te pueden ayudar en tu busqueda:
http://en.wikipedia.org/wiki/Karl_Schwarzchild , http://equplus.net/sheets/Equations-27.html y tambien http://casa.colorado.edu/~ajsh/schwp.html

[[Beto]]

Re: La Tierra como un agujero negro

Yo antes había hecho un rápido vistazo, con la conocidísima fórmula de la fuerza de gravedad, de la que dependen las masas y el radio, pero era fea respuesta :P. Eso si, me gustaría saber el método matemático para llegar a esa conclusión. El aspecto físico lo entiendo bien.

Bueno, pero ¿a que conclusión llegaste?, ¿se modificaría la órbita actual de la luna?

Gracias por tu paciencia y disposición.

De nada

[_FoX_]

Re: La Tierra como un agujero negro

Bueno, pero ¿a que conclusión llegaste?, ¿se modificaría la órbita actual de la luna?

No la modifica, ya que según la conocida fórmula de la fuerza de gravedad, ella depende de las masas de la luna y la tierra y también de la distancia, nada de eso cambia.

De la forma que me explicaste, llego a la misma conclusión, como dices, el flujo depende de la masa.

El flujo me lo imagino como las líneas de fuerza, tal y como si fuesen rayitos de luz del sol, los rayos mientras más lejos lleguen, más dispersos estarán, ya que cubren una superficie mayor, por lo tanto la intensidad lumínica en un punto dependería del radio y de la fuente generadora de luz. En el caso de la Tierra, la masa sería la fuente, la intensidad lumínica sería la fuerza resultante, y el radio sería la distancia entre la Tierra y la Luna, como ningún factor cambia, la órbita de la Luna no debería variar .

[pod]

Re: La Tierra como un agujero negro

El flujo me lo imagino como las líneas de fuerza, tal y como si fuesen rayitos de luz del sol, los rayos mientras más lejos lleguen, más dispersos estarán, ya que cubren una superficie mayor, por lo tanto la intensidad lumínica en un punto dependería del radio y de la fuente generadora de luz. En el caso de la Tierra, la masa sería la fuente, la intensidad lumínica sería la fuerza resultante, y el radio sería la distancia entre la Tierra y la Luna, como ningún factor cambia, la órbita de la Luna no debería variar .

El flujo es la cantidad de lineas de fuerza que atraviesan una superficie determinada, perpendiculares a ella (en caso de ser oblicuas, se tiene que aplicar el coseno del angulo que forman... pero eso no importa aquí, por que todo es perpendicular). En cambio, la intensidad del campo es la densidad de lineas de fuerza.

En el caso que nos ocupa, nos imaginamos una superfície esférica con el centro en el centro de la tierra, y de radio mayor que el de la propia tierra, claro. Como sabemos, las lineas de campo gravitatorio salen de la tierra y llegan hasta el infinito. Por lo tanto, todas las lineas de campo atraviesan esta superficie esférica imaginaria. Si ahora hacemos que la superfície esférica tenga el doble de radio; no cambia nada, todas las líneas de campo siguen atravesandola. Este es el significado del teorema de Gauss: el flujo depende, únicamente, de la masa que queda dentro de la superficie.

Lo que si cambia, claro, es el valor del campo. Sea cual sea el radio de la superfície hay la misma cantidad de lineas de fuerza, pero como la superfície es mayor, están más separadas. Es decir, la densidad de lineas de campo disminuye conforme aumenta la superficie. Y la densidad de lineas de campo es el campo gravitatorio. Esto no es nada nuevo, el valor del campo gravitatorio disminuye al alejarte de la fuente; y lo hace en proporcion al aumento de esta superficie imaginaria. Como una superfície crece según el cuadrado de su radio, el campo gravitatorio decrece como $1/r^2$ (cosa que ya sabíamos, pero ahora podemos explicar).

En conclusión, hemos visto que el campo gravitatorio cambia segun la superficie imaginaria que tomemos. Pero no cambia por nada más. Es decir, dada una superfície imaginaria, el valor del campo en su superfície queda definido únicamente por la cantidad de masa que hay en el interior de dicha superfície.

En el caso de la luna, el valor del campo allí no se ve alterado por la forma que tenga la tierra, sólo por su masa. Y como el movimiento de un cuerpo depende del campo gravitatorio únicamente, la trayectoria no se verá modificada.

[_FoX_]

Re: La Tierra como un agujero negro

El flujo es la cantidad de lineas de fuerza que atraviesan una superficie determinada, perpendiculares a ella (en caso de ser oblicuas, se tiene que aplicar el coseno del angulo que forman... pero eso no importa aquí, por que todo es perpendicular). En cambio, la intensidad del campo es la densidad de lineas de fuerza.

En el caso que nos ocupa, nos imaginamos una superfície esférica con el centro en el centro de la tierra, y de radio mayor que el de la propia tierra, claro. Como sabemos, las lineas de campo gravitatorio salen de la tierra y llegan hasta el infinito. Por lo tanto, todas las lineas de campo atraviesan esta superficie esférica imaginaria. Si ahora hacemos que la superfície esférica tenga el doble de radio; no cambia nada, todas las líneas de campo siguen atravesandola. Este es el significado del teorema de Gauss: el flujo depende, únicamente, de la masa que queda dentro de la superficie.

Lo que si cambia, claro, es el valor del campo. Sea cual sea el radio de la superfície hay la misma cantidad de lineas de fuerza, pero como la superfície es mayor, están más separadas. Es decir, la densidad de lineas de campo disminuye conforme aumenta la superficie. Y la densidad de lineas de campo es el campo gravitatorio. Esto no es nada nuevo, el valor del campo gravitatorio disminuye al alejarte de la fuente; y lo hace en proporcion al aumento de esta superficie imaginaria. Como una superfície crece según el cuadrado de su radio, el campo gravitatorio decrece como $1/r^2$ (cosa que ya sabíamos, pero ahora podemos explicar).

En conclusión, hemos visto que el campo gravitatorio cambia segun la superficie imaginaria que tomemos. Pero no cambia por nada más. Es decir, dada una superfície imaginaria, el valor del campo en su superfície queda definido únicamente por la cantidad de masa que hay en el interior de dicha superfície.

En el caso de la luna, el valor del campo allí no se ve alterado por la forma que tenga la tierra, sólo por su masa. Y como el movimiento de un cuerpo depende del campo gravitatorio únicamente, la trayectoria no se verá modificada.

Solo me queda una duda, y es: el método matemático que utiliza gauss para explicarlo, lo ví en la wikipedia y no entendí nada.

Solo puedo entender, las proporciones inversamente al cuadrado, ya que por poner un ejemplo, si el radio aumentara el doble, la superficie de esta esfera imaginaria aumentaría a 4 veces, ya que estamos hablando de área. Por lo tanto, esta densidad en el plano de la superficie, disminuiría de forma inversamente proporcional al cuadrado del radio.

[pod]

Re: La Tierra como un agujero negro

Solo me queda una duda, y es: el método matemático que utiliza gauss para explicarlo, lo ví en la wikipedia y no entendí nada.

¿Qué método matemático? ¿La demostración del teorema? Eso es un tostonazo y no tiene nada de física. La física es lo que te dije yo; comparar flujo con cantidad de lineas, y campo gravitatorio con la densidad de lineas.

[[Beto]]

Re: La Tierra como un agujero negro

Solo me queda una duda, y es: el método matemático que utiliza gauss para explicarlo, lo ví en la wikipedia y no entendí nada.

Hola, a modo de recomendación, no te preocupes si no entiendes todavía algunas cosas, según tengo entendido estas terminando la secundaría y para entender algunas cosas te harían falta algunos temas previos. Creo que lo más importante por ahora es que entiendas el concepto físico en lugar de todo el aparato matemático que hay detrás, verás que luego lo aprenderás con más detalle.

Un saludo.