Otras carreras Momentos de inercia de ejes principales de un cuerpo simetrico

[habko07]

Tengo un pequeño problema con este ejercicio
1º he hallado los momentos de inercia del cuerpo respecto del eje x e y partiendo de una circunferencia y restándole los momentos del cuarto de circunferencia


2º he hallado el centro de gravedad

3º he desplazado los ejes hasta el centro

4º se que les debo girar 45º para que esten en el centro de simetría pero no me da la solución del libro
$I_ \xi=R^4{\frac{3 \pi-2}{16}-\frac{8}{27\pi}}<br /> I:\eta =\frac{R^4}{16}(3\pi+2)$

que he hecho mal?
Además en un ejercicio me dice que en un semicirculo los momentos de inercia respecto de cualquier radio son iguales, por lo que todos los radios son ejes principales, pero que no todos los ejes centrales son principales
¿no tendría que ocurrir lo mismo aqui?

Gracias por adelantado

[Jordiel]

Re: Momentos de inercia de ejes principales de un cuerpo simetrico

[FONT=Verdana]Hola. Se me estaba complicando el problema porque creía que la figura era un semicírculo pero todo indica que se trata de tres cuartos de círculo,no?(el dibujito se las trae).[/FONT]

[FONT=Verdana]Los errores me parece que están al calcular el producto de inercia en el centro de gravedad y en la fórmula de la inercia al cambiar la dirección de los ejes. En la solución que proporcionas la I espero que sea $$R^4$$[/FONT]

Intenta descubrir el fallo, si no lo ves no dudes en consultar.

Un saludo

[Fastolfe]

De algo puede servir

Hola, aqui te dejo un link que te puede servir para lo que buscas, y no tengas que suponer el angulo: EL LINK

Sin mas que agregar, me despido.

Suerte.

[habko07]

Re: Momentos de inercia de ejes principales de un cuerpo simetrico

$I_ \xi=R^4{\frac{3 \pi-2}{16}-\frac{8}{27\pi}}<br /> <br /> <br /> I:\eta =\frac{R^4}{16}(3\pi+2)$

perdon no lo separe bien

no ahi no esta el fallo el momento de inercia respecto de un eje que no pasa por el centro de gravedad, es el momento de inercia respecto del eje que pasa por el centro + la distancia entre ellos al cuadrado por la superficie o sea $I_{x}=I_{x'}+y_G^2S$

[Jordiel]

Re: Momentos de inercia de ejes principales de un cuerpo simetrico

No dije que estuviera el fallo en el momento de inercia, sino en el producto de inercia, no has aplicado Steiner correctamente en éste. La solución en mi opinión es $I_{\xi} =R^4(\frac{3\pi -2}{16}-\frac{8}{27\pi})$.
No te olvides de corregir la fórmula del giro de los ejes de inercia

[Fastolfe]

Tirando lápiz

Estuve mirando tu problema y realmente no es tan happy.
A mi uno de los resultados me dio, pero en el otro solo difiero de un valor.
Los que encontré:

$I_{\eta}=\frac{R^4}{16}\cdot (3\pi +2)$

y en este difiero del valor:

$I_{\xi}=R^4\cdot\left[\left(\frac{3\pi-2}{16}\right)-\frac{8}{3\cdot\pi}\right]$

Así que te ruego revisar las soluciones propuestas por el libro, ya que si me dio una solución, la otra también debería estar correcta.

Suerte.

[habko07]

Re: Momentos de inercia de ejes principales de un cuerpo simetrico

los productos de inercia
$I_{xy}=I_{x'y'}+x_Gy_GS<br /> <br /> I_{xy}=0<br /> <br /> I_{x'y'}=-x_Gy_GS$
¿dónde esta el error?

tampoco veo el error de los ejes girados

[Fastolfe]

La consulta

los productos de inercia
$I_{xy}=I_{x'y'}+x_Gy_GS<br /> <br /> I_{xy}=0<br /> <br /> I_{x'y'}=-x_Gy_GS$
¿dónde esta el error?

tampoco veo el error de los ejes girados

El problema es que $$ I_{xy}\neq 0$$,ya que al calcular la integral:$$I_{xy}=\int x\cdot y\cdot dA$$ esta te arrojara un valor de $$I_{xy}=-\frac{R^4}{8}$$

Suerte.

[habko07]

Re: Momentos de inercia de ejes principales de un cuerpo simetrico

es verdad ahora lo hago y os digo como me ha quedado

[Fastolfe]

Re: Momentos de inercia de ejes principales de un cuerpo simetrico

es verdad ahora lo hago y os digo como me ha quedado

Hola, también echale una mirada al centroide de gravedad, no en su ubicación, sino en su valor. Ya que he visto algunas tablas de centroides de gravedad, y especificamente para un cuarto de circunferencia seria:

$$X_G=Y_G=\frac{4\cdot R}{3\pi}$$

[habko07]

Re: Momentos de inercia de ejes principales de un cuerpo simetrico

el centro de gravedad esta bien son 3/4 de circunferencia

[habko07]

Re: Momentos de inercia de ejes principales de un cuerpo simetrico

si que da

una cosa los ejes principales solo pueden coincidir en el centro de gravedad?

lo digo por esto

"Además en un ejercicio me dice que en un semicirculo los momentos de inercia respecto de cualquier radio son iguales, por lo que todos los radios son ejes principales, pero que no todos los ejes centrales son principales
¿no tendría que ocurrir lo mismo aqui?"

[Fastolfe]

Re: Momentos de inercia de ejes principales de un cuerpo simetrico

si que da

una cosa los ejes principales solo pueden coincidir en el centro de gravedad?

lo digo por esto

"Además en un ejercicio me dice que en un semicirculo los momentos de inercia respecto de cualquier radio son iguales, por lo que todos los radios son ejes principales, pero que no todos los ejes centrales son principales
¿no tendría que ocurrir lo mismo aqui?"

Los ejes principales se encuentran en donde exista un valor minimo y un maximo de inercia con respecto al centroide de gravedad.

[Jordiel]

Re: Momentos de inercia de ejes principales de un cuerpo simetrico

Los ejes principales se encuentran en donde exista un valor minimo y un maximo de inercia con respecto al centroide de gravedad.

Y además con productos de inercia nulos

"Además en un ejercicio me dice que en un semicirculo los momentos de inercia respecto de cualquier radio son iguales, por lo que todos los radios son ejes principales, pero que no todos los ejes centrales son principales
¿no tendría que ocurrir lo mismo aqui?"

Los momentos de inercia respecto a unos ejes que pasen por el centro de un semicírculo (para trazar la semicircunferencia, no el centro de gravedad) son iguales, pero de ahí a decir que son principales ya no estaría tan seguro. Porque el tensor de inercia sea diagonal para cualquier eje que pase por el centro apunta a que se consideren principales, pero es que el tensor de inercia en el centro de gravedad del semicírculo es diagonal también para dos ejes exactamente, habiendo un momento máximo y otro mínimo.
Me inclino por lo que indica Fastolfe.

Para el ejercicio planteado no ocurre lo mismo porque el producto de inercia no es nulo en el centro de los tres cuartos de círculo salvo que uno de los ejes sea principal de inercia. Dicho eje es el que pasa por el centro de la figura y su centro de gravedad (en el semicírculo, el producto de inercia es nulo para cualquier par de ejes perpendiculares que pasa por el centro de éste, no el de gravedad)

Un saludo

[habko07]

Re: Momentos de inercia de ejes principales de un cuerpo simetrico

Los ejes principales se encuentran en donde exista un valor minimo y un maximo de inercia con respecto al centroide de gravedad.

entonces tendría que pasar por el centro de gravedad?