1r ciclo Centro de Masas

[The Higgs Particle]

Hola! Tengo que calcular el centro de masas de la siguiente figura (y no sé si está bien porque es el primero que calculo en mi vida ):

Con la peculiaridad de que la densidad, $\rho$, no es constante, sino que varia a medida que nos alejamos del origen de la forma $\rho = a x$. Por otra parte, $L$ y $S$ son constantes. Para calcular el CM de esta figura he cogido unidades que me permitan olvidarme de los otros ejes (OY y Oz, incluidos en $S$).

Por definición,

$\boxed{\vec{r_{CM}} = \frac{\int_V \vec{r} \cdot dm }{\int_V dm}}$.

Como sólo nos preocupa el eje OX:

$x_{CM} = \frac{\int_V x \cdot dm}{\int_V dm }$

Al mismo tiempo, sabemos que:

$dm = \rho \cdot dV = \rho \cdot S \cdot dx$

Por lo que:

$x_{CM} = \frac{\int_V (\rho \cdot S \cdot x) \cdot dx}{\int_V (\rho \cdot S)dx} = \frac{\int_0^L (ax \cdot x) \cdot dx}{\int_0^L (ax) \cdot dx}$ $\to x_{CM} = \frac{[\frac{ax^3}{3}]^L_0}{[\frac{ax^2}{2}^L_0] }$

Entonces,

$\boxed{x_{CM} = \frac{2}{3} \cdot L}$

[arivasm]

Re: Centro de Masas