1r ciclo Aceleración en función de la posición

[franco_c2]

Partiendo de la función $a(t)=2\alpha+6\beta t$ es posible obtener $a(x)$? ($\alpha$ y $\beta$ son constantes)
Me olvidé; en t=0 la partícula está en el origen y tiene velocidad cero

[Jaime Rudas]

Re: Aceleración en función de la posición

Suponiendo que x es la distancia recorrida, se me ocurre lo siguiente;
Se integra a(t) y se obtiene la velocidad v(t) en función del tiempo. La constante de integración se obtiene por las condiciones iniciales.
Se integra v(t) y se obtiene la distancia recorrida x(t) en función del tiempo. La constante de integración se obtiene por las condiciones iniciales.
Se saca la inversa de x(t) y se obtiene el tiempo en función de x, o sea t(x).
En la primera función a(t) se reemplaza t por t(x) y nos resulta a(x).
Nota: para sacar la inversa de x(t) se requiere resolver una ecuación de tercer grado que, aunque no sé cómo hacerlo, sé que se puede.

[Alriga]

Re: Aceleración en función de la posición

$a(t)=2\alpha+6\beta t$

$v(t)=2\alpha t+3\beta t^2$

$x(t)=\alpha t^2+\beta t^3=t^2 (\alpha+\beta t)$

Como dice Jaime para cada valor de "x" tenemos una ecuación de 3er grado de la que es posible obtener "t" mediante métodos numéricos de resolución de ecuaciones. Y entonces sustituyendo "t" en a(t) se obtiene la aceleración para cada "x"
Saludos.

[Richard R Richard]

Re: Aceleración en función de la posición

Puedes encontrar un método para resolver la ecuacion de tercer grado, en mi blog, aqui en el ultimo apartado esta el método de Cardano, tambien tienes explicacion adicional del metodo en la wikipedia.

saludos

[arivasm]

Re: Aceleración en función de la posición

Ya de pasar el trabajo de resolver ecuaciones de tercer grado, en vez de encontrar $t(x)$ y llevarlo a $a(t)$ propongo esta alternativa, que ahorra un paso: despejamos $t$ en la expresión de $a$, y substituimos en $x(t)$, con lo que nos queda, si no me he equivocado, $\dst x=\frac{(a-2\alpha)^2(a+4\alpha)}{216\beta^2}$. Para hallar la inversa resolvemos la ecuación de tercer grado correspondiente que, de nuevo si no me he equivocado, es $a^3-4\alpha^2 a+16\alpha^3-216\beta^2x=0$ Edito: hay un error en esta última expresión, como se señala más adelante.

[Richard R Richard]

Re: Aceleración en función de la posición

Hace unos dias Weip me paso información que aún no colgué en el blog , que resuelve el metodo Cardano, estoy seguro que

haciendo un cambio de variables la ecuación

$a^3-4\alpha^2 a+16\alpha^3-216\beta^2x=0$

se puede convertir a

$a^3+pa-q'=0$

que tiene soluciones

$a=\dst\sqrt[3]{\dst\frac{q'}{2}+\dst\sqrt{{\left( \dst\frac{q'}{2} \right)}^{2}+{\left( \dst\frac{p}{3} \right)}^{3}}}-\dst\sqrt[3]{-\dst\frac{q'}{2}+\dst\sqrt{{\left( \dst\frac{q'}{2} \right)}^{2}+{\left( \dst\frac{p}{3} \right)}^{3}}}$

Solo queda aclarar que las soluciones de raices complejas no son las necesarias para resolver el problema, sino la que sea raiz real


Saludos

[Alriga]

Re: Aceleración en función de la posición

Ya de pasar el trabajo de resolver ecuaciones de tercer grado, en vez de encontrar $t(x)$ y llevarlo a $a(t)$ propongo esta alternativa, que ahorra un paso: despejamos $t$ en la expresión de $a$, y substituimos en $x(t)$, con lo que nos queda, si no me he equivocado, $\dst x=\frac{(a-2\alpha)^2(a+4\alpha)}{216\beta^2}$. Para hallar la inversa resolvemos la ecuación de tercer grado correspondiente que, de nuevo si no me he equivocado, es $a^3-4\alpha^2 a+16\alpha^3-216\beta^2x=0$

¡Buena idea!
Pero a mí al hacer las operaciones me sale:

$a^3-12\alpha^2 a+16\alpha^3-216\beta^2x=0$

Lo he repasado y creo que está bien así.

Si ahora se quiere aplicar el método de Cardano del que habla Richard hay que hacer:

$p=-12 \alpha ^2$

$q'=16\alpha^3-216\beta^2x$

$a=\dst\sqrt[3]{\dst\frac{q'}{2}+\dst\sqrt{{\left( \dst\frac{q'}{2} \right)}^{2}+{\left( \dst\frac{p}{3} \right)}^{3}}}-\dst\sqrt[3]{-\dst\frac{q'}{2}+\dst\sqrt{{\left( \dst\frac{q'}{2} \right)}^{2}+{\left( \dst\frac{p}{3} \right)}^{3}}}$

Saludos.

- - - Actualizado - - -

... haciendo un cambio de variables la ecuación
$a^3-12\alpha^2 a+16\alpha^3-216\beta^2x=0$
se puede convertir a
$a^3+pa-q'=0$

En este caso el cambio de variables no es necesario, porque la forma de la ecuación ya es apta para aplicar directamente la fórmula, saludos.

[arivasm]

Re: Aceleración en función de la posición

Sólo es para confirmar que ciertamente me equivoqué en mi mensaje anterior con el coeficiente de $a$ y que el correcto es el que ha puesto Alriga

- - - Actualizado - - -

Como veis no es raro que me equivoque, por lo que si alguien se anima que lo revise. He substituido los cambios de variable en la expresión puesta por Alriga y finalmente tengo lo siguiente:
$\dst a(x)=2\sqrt[3]{3\beta\sqrt{81\beta^2x^2-6\alpha^3 x}+(\alpha^3-27\beta^2 x)}-2\sqrt[3]{3\beta\sqrt{81\beta^2x^2-6\alpha^3 x}-(\alpha^3-27\beta^2 x)}$

De todos modos, debe haber algo mal por algún sitio, pues a(0) sale $4\alpha$, en vez de $2\alpha$...

[Richard R Richard]

Re: Aceleración en función de la posición

$$a=\dst\sqrt[3]{\dst\frac{q'}{2}+\dst\sqrt{{\left( \dst\frac{q'}{2} \right)}^{2}+{\left( \dst\frac{p}{3} \right)}^{3}}}-\dst\sqrt[3]{-\dst\frac{q'}{2}+\dst\sqrt{{\left( \dst\frac{q'}{2} \right)}^{2}+{\left( \dst\frac{p}{3} \right)}^{3}}}$$

$$p=-12 \alpha ^2$$

$$q'=16\alpha^3-216\beta^2x$$

tomaron como datos

pero es

$$q'=-16\alpha^3+216\beta^2x$$

reemplazando

$a=\dst\sqrt[3]{-8\alpha^3+108\beta^2x+\dst\sqrt{(-8\alpha^3+108\beta^2x)^2+(-4\alpha^2 )^3}}$$-\dst\sqrt[3]{-(-8\alpha^3+108\beta^2x)+\dst\sqrt{(-8\alpha^3+108\beta^2x)^2+( -4\alpha^2 )^3}}$



en$x=0\: \Rightarrow \:t=0$

$$a=\dst\sqrt[3]{-8\alpha^3+\dst\sqrt{(-8\alpha^3)^2+(+4\alpha^2 )^3}}-\dst\sqrt[3]{-(-8\alpha^3)+\dst\sqrt{(-8\alpha^3)^2+( +4\alpha^2 )^3}}$$

$$a=\dst\sqrt[3]{-8\alpha^3}-\dst\sqrt[3]{-(-8\alpha^3)}$$

$$a=-(\dst\sqrt[3]{8}-\dst\sqrt[3]{-(8)})\alpha$$

$$a=-(2--2)\alpha$$

$$a=-4\alpha$$

que no se condice con el problema

dos cosas pueden estar pasando o la formula de la que partimos esta mal o el método que me pasaron

revise la fórmula y esta bien yo también obtengo

$$a^3-12\alpha^2 a+16\alpha^3-216\beta^2x=0$$

pero con el método Cardano de mi blog tengo

$$\left \{\begin {aligned}z&=a\\<br /> p&=b=-12\alpha^2\\<br /> q&=c=16\alpha^3-216\beta^2x<br /> \end {aligned}\right.$$

( ojo que en blog $x=a$ seria la aceleracion y $z=f(x)=a(x)$pero esta x si es posición)

ademas $q'=-q$

Analizando el discriminante $\Delta =q^2+\dfrac{4p^3}{27}$ obtenemos que es 0 cuando x es 0 a t =0

lo que da como resultado 1 raiz real simple y dos raices reales dobles

$$\left \{\begin {aligned}z_0&=2\sqrt[3]{\dfrac{-q}{2}}=-2\sqrt{\dfrac{-p}{3}}=\dfrac{3q}{p}\\<br /> z_1&=-\sqrt[3]{\dfrac{-q}{2}}=\sqrt{\dfrac{-p}{3}}=\dfrac{-3q}{2p}\\<br /> z_2&=-\sqrt[3]{\dfrac{-q}{2}}=\sqrt{\dfrac{-p}{3}}=\dfrac{-3q}{2p}<br /> \end {aligned}\right.$$

de aqui calcule

$$\left \{\begin {aligned}z_0&=-4\alpha\\<br /> z_1&=2\alpha\\<br /> z_2&=2\alpha<br /> \end {aligned}\right.$$

$z_1$ y $z_2$ si se condicen con las condiciones del problema, asi que volvere a la fuente para ver si hay un error.

Lo que hace falta ahora es ver hacia que tipo de solucion nos dara los x positivos, analizando el determinante discriminante, para luego asi dar la formula de a(x),


Bueno luego de llegar a este punto me acabo de dar cuenta , y no es error del metodo , pero no quiero borrar ya todo lo que tipee cuando calcularon q' no cambiaron de signo,
por ello obtuvieron $a=4\alpha$ y no $a=-4\alpha$ que es la solución $z_0$
,no tengo idea porque no podemos obtener $z_1$ ni $z_2$ pues el signo cambiado de $q$ para ser $q'$ no altera el contenido de la raiz cuadrada (ya que esta elevada $q$ o $-q$ previamente al cuadrado) y sería 0 de todos modos.

que opinan

edito voy a intentar ver hacia donde va la cosa con $t>0$

ej $t =\dfrac13$

$a(\frac 13)=2(\alpha +\beta)$

$v(\frac 13)=2\alpha \frac 13+3\beta (\frac 13)^2=\frac 23\alpha+\frac {\beta}3$

$x(\frac 13)=(\frac 13)^2 (\alpha+\beta \frac 13)=\dfrac{\alpha}9+\dfrac{\beta}{27}$

$a^3-12\alpha^2 a+16\alpha^3-216\beta^2x=0$

pero con el método Cardano de mi blog tengo

$$\left \{\begin {aligned}z&=a\\<br /> p&=b=-12\alpha^2\\<br /> q&=c=16\alpha^3-216\beta^2(\dfrac{\alpha}9+\dfrac{\beta}{27})<br /> \end {aligned}\right.$$

asi el discriminante $\Delta =q^2+\dfrac{4p^3}{27}$

$\Delta =[16\alpha^3-216\beta^2(\dfrac{\alpha}9+\dfrac{\beta}{27})]^2+\dfrac{4(-12\alpha^2)^3}{27}$

Y hasta aqui llegamos si no podemos evaluar el discriminante sabiendo los valores de $\alpha$ y $\beta$......El signo de $\beta$ es importante


por otro lado con la formula

$a=\dst\sqrt[3]{-8\alpha^3+108\beta^2(\dfrac{\alpha}9+\dfrac{\beta}{27})+\dst\sqrt{(-8\alpha^3+108\beta^2(\dfrac{\alpha}9+\dfrac{\beta}{27}))^2+(-4\alpha^2 )^3}}$$-\dst\sqrt[3]{-(-8\alpha^3+108\beta^2(\dfrac{\alpha}9+\dfrac{\beta}{27}))+\dst\sqrt{(-8\alpha^3+108\beta^2(\dfrac{\alpha}9+\dfrac{\beta}{27}))^2+( -4\alpha^2 )^3}}$

se puede hacer la distributiva de la multiplicación de los polinomios y simplificar algunos valores, aun no llego a nada limpio para aportar

[arivasm]

Re: Aceleración en función de la posición

Te has comido la x en unos cuantos sitios de las expresiones.

[Richard R Richard]

Re: Aceleración en función de la posición

En la primera parte hasta la formula 12 me maneje usando la variable x explicitamente, pero desde la 4 a las 8 allí x =0 entonces no aparece


luego mas adelante la reemplace por su evaluación en t=1/3 s

y da como valor

$x(\frac 13)=(\frac 13)^2 (\alpha+\beta \frac 13)=\dfrac{\alpha}9+\dfrac{\beta}{27}$

luego en vez de x use $\dfrac{\alpha}9+\dfrac{\beta}{27}$ para ver cual de los tres resultados posibles del discriminante vamos a usar.

si hubiese podido resolverlo hubiera reemplazado en dicha formula el valor de x, pero a priori no se cual es la formula si no doy valor.

Si estoy equivocado, por favor indícame mas precisamente donde, pues lo revise y no lo veo.

Evidentemente hay que darles valores a $\alpha$ y $\beta$ para saber si las raíces darán números complejos o no

[visitante20160513]

Re: Aceleración en función de la posición

Hay otra forma de hacerlo y es despejar el tiempo de la expresión de la aceleración y substituirlo en la expresión de la posición, de esa forma obtenemos una ecuación que nos da la posición en función de la aceleración, pero al ser una expresión compleja resulta bastante complicado obtener la expresión inversa, que es la que nos daría la aceleración en función de la posición.

Salu2, Jabato.

[Alriga]

Re: Aceleración en función de la posición

Hay otra forma de hacerlo y es despejar el tiempo de la expresión de la aceleración y substituirlo en la expresión de la posición,...

Sí, fíjate que eso es es justo lo que hemos estado haciendo desde que lo sugirió arivasm a partir del comentario #5

http://forum.lawebdefisica.com/threa...B3n?p=156007#5

Saludos.