1r ciclo momento de inercia de una varilla doblada en un cuadrado

[Francoastrophysik]

Me pidieron calcular el momento de inercia de una varrilla doblada formando un cuadrado respecto a su centro, si el lado vale "a" y la masa de toda la varilla "M"
Aquí está mi procedimiento, me podrían decir en que me equivoqué?

[Richard R Richard]

Re: momento de inercia de una varilla doblada en un cuadrado

Disculpa... el enuniciado del problema esta completo? no te han dado la sección de la varilla, ni siquiera el espesor como datos, no veo por donde empezar a ayudarte

[carmelo]

Re: momento de inercia de una varilla doblada en un cuadrado

Hola.

Por lo que veo se trata de un cuadrado de lado a y masa M. Se trata de encontrar el momento de inercia respecto de su centro de masa.

Para empezar podemos imaginar el cuadrado formado por cuatro varillas de longitud $\dst a$ y masa $\dst\frac{M}{4}$.
Podemos aplicar el teorema de Steiner para cada lado del cuadrado, con lo cual obtenemos:

$I_{lado}=\dst\frac{1}{12}\frac{M}{4}a^2+\frac{M}{4}\left( \frac{a}{2}\right)^2=\dst\frac{Ma^2}{12}$

y por lo tanto el momento de inercia del cuadrado será:

$I_{Total}=\dst\frac{Ma^2}{3}$

Saludos
Carmelo

[Francoastrophysik]

Re: momento de inercia de una varilla doblada en un cuadrado

Gracias! el problema decia que es una varilla homogenea... igual solo me confundí al final porque 5/6-1/2 es 1/3 xD lo peor de todo es que antes había llegado a la respuesta pero despues por comprobar lo borré

[visitante20160513]

Re: momento de inercia de una varilla doblada en un cuadrado

Tratando de aclarar el comentario de Richard, diré que es cierto que desde un punto de vista físico la masa siempre ocupa un cierto volumen y desde luego para calcular un momento de inercia sería necesario considerar siempre una distribución de masa en un cierto volumen. El cálculo matemático sin embargo permite considerar otras distribuciones como por ejemplo a lo largo de una superficie o de una curva. ¿Qué sentido físico tiene eso? Pues realmente ninguno aunque si consideramos que el espesor de la varilla es suficientemente pequeño podemos aproximar el valor obtenido al considerar una distribución lineal de masa al valor real que se obtendría para una varilla muy delgada, por ejemplo un alambre.

Salu2, Jabato.

[Francoastrophysik]

Re: momento de inercia de una varilla doblada en un cuadrado

Justamente, el problema decía que era una varilla homogénea delgada... recién empiezo la universidad y nuestro profe nos dijo que por ahora es una forma de aproximarse a la respuesta. Gracias por la aclaración!

[Richard R Richard]

Re: momento de inercia de una varilla doblada en un cuadrado

Justamente, el problema decía que era una varilla homogénea delgada...

Hola Francoastrophysik , cuando lei tu enunciado no capte a primeras que se trataba de una varilla "delgada" por eso te pedi la aclaración del enunciado.

Pues El momento de inercia que te da carmelo, sale de considerar que el momento e inercia de la varilla sobre su eje es 4 veces menor al momento de inercia de la misma varilla pero tomado perpendicular a la varilla

Esto es

$I_l=\dfrac{I_s}{4}=\dfrac{\dfrac{ma^2}{3}}{4}=\dfrac{ma^2}{12}$

Luego con el teorema de steiner a los 4 lados llegas al resutado correcto que te paso carmelo.

Lo que sucede es que como dice jabato, en el calculo se prescinde de la seccion, pero en la practica el espesor $e$ de la varilla no es depreciable con respecto al valor de $a$ por lo que el resultado sera solo una aproximacion.
Esto se debe a dos motivos, la integral es mas complicada, se debe resolver una integral de volumen, en funcion de como es la forma del perfil, con esto puedes conseguir una densidad lineal e integras en la longitud,
Por otro lado si te fijas en los extremos hay superposicion, esto donde tener la longitud a el cuadrado por el interior o por el exterior, si es por el exterior hay que restarle a 2 lados la longitud igual a 2 espesores. Si es por el interior habra entonces que sumerle la misma cantidad.

es por eso que

nuestro profe nos dijo que por ahora es una forma de aproximarse a la respuesta.

Saludos y bienvenido al foro

[carmelo]

Re: momento de inercia de una varilla doblada en un cuadrado

Hola.


Si lo quieren tomar como ejercicio, no les costará demasiado encontrar el momento de inercia para una "varilla" en la cual no se pueden realizar dichas aproximaciones. Se puede pensar en algo como la figura cuyos lados son conocidos (a, menor y b, mayor) y un espesor h. Se calcula la densidad de volumen y luego calcular por integración tomando como elemento de masa los "trapecios" formados.
En el caso límite que $(b-a)\to 0$ se debe de obtener nuevamente el resultado anterior.


Saludos
Carmelo

[Francoastrophysik]

Re: momento de inercia de una varilla doblada en un cuadrado

asdfhsdfklsfk no logro entender su ejercicio, calcule el momento de inercia de cada paralelepipedo y luego los reste , quedandome $\frac{M}{6 }*({b}^{2 }-\frac{{a}^{4}}{{b}^{2 } })$
el limite de esto no es cero?
Gracias por sus respuestas!

[carmelo]

Re: momento de inercia de una varilla doblada en un cuadrado

Hola.

Si. Ese limite es 0. La expresión que deberías obtener es $I=\dst\frac{M}{6}(a^2+b^2)$
Revisa las cuentas o ponlas aquí así vemos cual es la falla.

Saludos
Carmelo