Otras carreras DINÁMICA DEL SÓLIDO RÍGIDO: polea de dos discos

[Denantes]

¡Buenas!
Necesito que me echéis una mano con el siguiente problema:



No sé si se verá, pero cargo por dónde me quedé. Tengo la aceleración angular y, por lo tanto, las aceleraciones lineales, siendo la angular 0'78 rad/s^2. Ahora no sé cómo continuar...
Gracias-

[felmon38]

Re: DINÁMICA DEL SÓLIDO RÍGIDO: polea de dos discos

Denantes, me parece que la figura no se corresponde con el texto.
Saludos

[Denantes]

Re: DINÁMICA DEL SÓLIDO RÍGIDO: polea de dos discos

Ah sí, cierto. Gracias-

[arivasm]

Re: DINÁMICA DEL SÓLIDO RÍGIDO: polea de dos discos

Primero: no es buena idea subir fotos de cómo se hacen los ejercicios, pues consumirás muy rápidamente tu espacio disponible para imágenes. Por otra parte, hay dos imágenes de enunciados. Elimina el que no sea (yo imagino que el que te interesa es aquél para el que pones solución).

Sobre el problema: tiene toda la pinta de que no hace falta tanto lío. El cuerpo de 100 kg recorrerá 1,20 m antes de detenerse. El de 50 kg recorrerá 9/6 de ese valor: 1,80 m.

[felmon38]

Re: DINÁMICA DEL SÓLIDO RÍGIDO: polea de dos discos

Arivasm, yo creo que hay que echar unas cuentas, porque cuando se pare el bloque de 100 kg, el otro seguirá subiendo porque la polea tiene una velocidad angular en un sentido, aunque una aceleración angular en sentido contrario.
Saludos

[arivasm]

Re: DINÁMICA DEL SÓLIDO RÍGIDO: polea de dos discos

Mmmm. Tienes razón... Pero entonces hay que contar con que la tensión de la cuerda de la izquierda es nula y que sobre la polea sólo se ejerce la tensión de la derecha.

[Denantes]

Re: DINÁMICA DEL SÓLIDO RÍGIDO: polea de dos discos

Gracias por las sugerencias Arivasm, lo cierto es que armé un desastre con las imágenes.
Vengo después de darle unas vueltas al problema suponiendo que el cuerpo que desciende se para tras recorrer 1'2 m (que es lo que se me había atragantado). Apliqué cinemática y para mi sorpresa me resulta que asciende 1'8 m tal como tú, Arivasm, habías dicho, solución que no coincide con la que se supone que ha de ser la correcta: 2'3 m.

[arivasm]

Re: DINÁMICA DEL SÓLIDO RÍGIDO: polea de dos discos

no coincide con la que se supone que ha de ser la correcta: 2'3 m.

Como ha señalado Flemon38 cuando el cuerpo de 100 kg llega al suelo el otro está ascendiendo y con una velocidad no nula, por lo que aún continuará haciéndolo. Por tanto, tu primer objetivo debe ser determinar la velocidad que posee el cuerpo de 50 kg en el instante en que el otro golpea el suelo. A continuación tener en cuenta que se extingue la tensión de la izquierda, con lo que el sistema pasa a una nueva etapa decelerada...

Como ves, ese enfoque es un verdadero coñazo. Mucho mejor será, por tanto, otro más directo: la conservación de la energía. Eso sí, mi resultado no coincide con esos 2,3 m.

Dividamos el problema en dos partes: antes de que el de 100 kg choque contra el suelo y después de ello.

En la primera parte, si tomamos h=0 en el suelo y excluimos la energía potencial de la polea (pues es constante), tenemos que la energía mecánica del sistema es 100 kg · 9,8 m/s² · 1,20 m = 1176 J. Con ese dato no debería costarte encontrar la velocidad angular de la polea y la del cuerpo de 50 kg en el instante en que el de 100 kg llega al suelo (y en que el de 50 kg se encontrará, como hemos dicho, a 1,80 m sobre el suelo). Yo encuentro que $\omega = 1,99\,\rm rad/s$ y entonces que el cuerpo de 100 kg posee una velocidad de 1,79 m/s (de manera que su energía cinética es de 161 J).

A partir de ahí sólo nos interesa la energía mecánica del sistema formado por la polea y el de 50 kg. Yo encuentro que vale 1015 J (el sistema pierde una cantidad de energía igual a la cinética del cuerpo de 100 kg).

Como en el instante en que el cuerpo de 50 kg deje de ascender la polea también dejará de rotar, la energía mecánica de este segundo sistema será igual a la energía potencial del cuerpo de 50 kg. Conclusión: ha alcanzado una altura de 2,08 m.

Por supuesto, puede que me haya equivocado en los cálculos, o incluso en el planteamiento...

[Al2000]

Re: DINÁMICA DEL SÓLIDO RÍGIDO: polea de dos discos

Perdón por la inocencia, pero... ¿el cuerpo pequeño no debería subir el doble de lo que baje el cuerpo grande?

[carmelo]

Re: DINÁMICA DEL SÓLIDO RÍGIDO: polea de dos discos

Hola Al.

En ese caso estaríamos suponiendo que se conserva la energía (fue lo primero que pensé, si partimos de cuerpos en reposo y llegamos a cuerpos en reposo, lo que cuentan son las energías potenciales, lo cual no es cierto. La energía cinética de la masa de 100kg se pierde en el choque contra el piso).

Particularmente realicé los cálculos y salvo error de mi parte coincido con la respuesta de la letra. Asi que es cuestión de cálculos.

Saludos
Carmelo

PD: Tomando un poquito de impulso y antes de que el sueño me gane colocaré mis cálculos.

Datos:
$\begin{matrix} M = 200kg & m_1=100kg &m_2=50kg\\r_1=0.6m & r_2=0.9m \\h_1=1.2m \end{matrix}$

Además:

$\begin{matrix} h_2=h_1\dst\frac{r_2}{r_1} & v_1 =v_2\dst \frac{r_2}{r_1} \\ h_2=1.8m \end{matrix}$

Siendo $h_2$ la altura alcanzada por el cuerpo 2 un instante antes de que el cuerpo 1 toque el piso. $v_1$ y $v_2$ son las velocidades correspondientes de los cuerpos en el mencionado instante.

Por lo tanto podemos plantear:

$m_1gh_1=\dst\frac{1}{2}m_1v_1^2+\dst\frac{1}{2}m_2v_2^2+\dst\frac{1}{4}Mr_2^2\omega^2+m_2gh_2=\left(\dst\frac{1}{2}m_1\dst\frac{r_1^2}{r_2^2}+\dst\frac{1}{2}m_2+\dst\frac{1}{4}M\right)v_2^2+m_2gh_2$

De donde se puede obtener $v_2$

Ahora. Sea $h$ la altura buscada se tiene:

$m_2g(h-h_2)=\dst\frac{1}{2}m_2v_2^2+\dst\frac{1}{4}Mv_2^2$

Haciendo cuentas se obtiene $h=2.26m$

Saludos de nuevo.

[arivasm]

Re: DINÁMICA DEL SÓLIDO RÍGIDO: polea de dos discos

Perdón por la inocencia, pero... ¿el cuerpo pequeño no debería subir el doble de lo que baje el cuerpo grande?

Hola Al! La relación de radios no es 2:1, sino 9:6

De donde se puede obtener $v_2$

Ahora. Sea $h$ la altura buscada se tiene:

$m_2g(h-h_2)=\dst\frac{1}{2}m_2v_2^2+\dst\frac{1}{4}Mv_2^2$

Haciendo cuentas se obtiene $h=2.26m$

Saludos de nuevo.

No me encaja el cálculo realizado para la energía cinética de la polea. El enunciado afirma que el radio de giro es de 0,75 m, diferente del radio de la parte que enrolla la cuerda de la derecha, de 0,9 m. Por tanto $\dst\frac{1}{2}MR^2\omega^2$ no es lo mismo que $\dst\frac{1}{4}Mv_2^2$

[Al2000]

Re: DINÁMICA DEL SÓLIDO RÍGIDO: polea de dos discos

No estaba pensando en los radios ni nada de eso, que me parece están demás. Simplemente pienso que partimos con todos los cuerpos en reposo y terminamos con todos en reposo de nuevo...

[arivasm]

Re: DINÁMICA DEL SÓLIDO RÍGIDO: polea de dos discos

Pero en el golpe contra el suelo hay disipación de la energía.

[Al2000]

Re: DINÁMICA DEL SÓLIDO RÍGIDO: polea de dos discos

Correcto, estoy ciego como un topo, ignorando completamente la energía cinética ganada por el bloque grande. Demasiados videojuegos en los que no hay que pensar, jejeje

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[carmelo]

Re: DINÁMICA DEL SÓLIDO RÍGIDO: polea de dos discos

Si. Efectivamente yo había tomado como radio de giro $r_2$

Corrigiendo por el radio de giro $r_g$

$m_1gh_1=\dst\frac{1}{2}m_1v_1^2+\dst\frac{1}{2}m_2v_2^2+\dst\frac{1}{4}Mr_g^2\omega^2+m_2gh_2$

$m_1gh_1-m_2gh_2=\left(\dst\frac{1}{2}m_1\dst\frac{r_1^2}{r_2^2}+\dst\frac{1}{2}m_2+\dst\frac{1}{4}M \dst\frac{r_g^2}{r_2^2}\right)v_2^2$

De donde se puede obtener $v_2$

Ahora. Sea $h$ la altura buscada se tiene:

$m_2g(h-h_2)=\dst\frac{1}{2}m_2v_2^2+\dst\frac{1}{4}M \dst\frac{r_g^2}{r_2^2}v_2^2$

Haciendo cuentas se obtiene $h\approx2.29m$

Saludos de nuevo.