proyeccion de fuerzas sobre 2 cuerpos

[geronimohelguera]

Re: proyeccion de fuerzas sobre 2 cuerpos

Pude llegar a la minima aceleracion, pero para la maxima no se como llegar, como la fuerza de roce cambia el signo a positivo eso no entiendo. Saludos

[Richard R Richard]

Re: proyeccion de fuerzas sobre 2 cuerpos

Hola geronimo , he consultado con la almohada, pues me sigue haciendo ruido como hemos resuelto el problema.

Te aclaro tu última consulta

pero para la maxima no se como llegar

El tema es que hay una mínima aceleración en que el rozamiento estático, sostiene a m sin moverse hacia abajo por la pendiente, pero si sigues acelerando, habrá una máxima aceleración, donde quede estático m sin subir por la pendiente. Si planteas las ecuaciones pensando que $m$ subirá entonces la fuerza de rozamiento deberá ir en el sentido de descenso, pues siempre se opondrá al movimiento.

en mi planteo me quedo picando cual seria la fuerza de rozamiento que mantenga sin moverse a $m$ aún cuando $\alpha$ sea 90

mi formula $\left \{\begin{aligned} a&=g\cdot(\tan \alpha +\mu_e) & \text{Maxima}\\a&=g\cdot(\tan \alpha -\mu_e) & \text{Minima} \end{aligned}\right.$

para el ángulo $\alpha=90$° no funciona pues la tangente de $\alpha$es infinita, por lo que no habría rozamiento estático que la sostenga, pero me he dado cuenta que si a se incrementa lo suficiente, la normal $N$ también debe crecer, y no solo será $mg\cos\alpha$ sino como dije dependerá de $a$ tambien , me he tomado mi tiempo para hacer bien el diagrama de cuerpo libre y llegue a la conclusión que obvie que tanto $g$ como $a$ provocan fuerzas sobre $m$ pero con 90° de diferencia y por ello

la sumatoria de fuerzas paralelas al plano inclinado en el equilibrio estático

$$\sum F_{pi}=0=a \cos \alpha - g \sin \alpha\pm\mu_e N$$

la sumatoria de fuerzas perpendiculares al plano inclinado en el equilibrio estático

$$\sum F_{pp}=0=-a \sin \alpha - g \cos \alpha+N$$

estoy despreciando el valor de $m$ pues aparece en todos los sumandos y se puede simplificar

de la fórmula 2 puedes sacar el valor de $N$ y reemplazarlo en 1 quedando


$0=a \cos \alpha - g \sin \alpha\pm\mu_e (a \sin \alpha + g \cos \alpha)$

dividiendo por $g$

$0=\frac ag \cos \alpha - \sin \alpha\pm\mu_e (\frac ag \sin \alpha + \cos \alpha)$

pasando al otro término lo que no depende de $\frac ag$ y sacando factor común

$\frac ag((\cos\alpha\pm\mu_e\sin\alpha)=\sin\alpha\mp\mu_e\cos\alpha$

de lo que sacamos

$a=g\dfrac{\sin\alpha \mp\mu_e\cos\alpha}{\cos\alpha \pm\mu_e\sin\alpha}$


entonces tenemos dos ecuaciones una sera para la máxima y otra para la mínima

$\left \{\begin{aligned} a&=g\dfrac{\sin\alpha +\mu_e\cos\alpha}{\cos\alpha -\mu_e\sin\alpha} & \text{Maxima}\\a&=g\dfrac{\sin\alpha -\mu_e\cos\alpha}{\cos\alpha +\mu_e\sin\alpha} & \text{Minima} \end{aligned}\right.<br />$

Creo que ahora si he arribado al resultado correcto pues si $\mu_e=0$ la máxima y la mínima son la misma osea la exacta $a =g \tan \alpha$
y si $\alpha =0\mapsto a=g\mu_e$ y si $\alpha=90 \mapsto \mu_e a=g$ que tiene lógica porque habría una aceleración que provoca tanto rozamiento que la aceleración de la gravedad no podría mover a $m$.

saludos $\mathbb {R}^3$

[geronimohelguera]

Re: proyeccion de fuerzas sobre 2 cuerpos

Hola r3 aca en esa sumatoria tomas a los vectores en sentido positivo a los que se dirigen a la derecha? me confundi con los signos ahi, en la diferencia del signo de m.a.\cos\alpha y de m.g.\sin\alpha , aparte por la funcion coseno no estaria ese vector en sentido perpendicular a los otros 2 vectores??
Saludos

[Richard R Richard]

Re: proyeccion de fuerzas sobre 2 cuerpos

en esa sumatoria tomas a los vectores en sentido positivo a los que se dirigen a la derecha?

Positivo es lo que asciende paralelo al plano inclinado,

me confundi con los signos ahi, en la diferencia del signo de m.a.\cos\alpha y de m.g.\sin\alpha , aparte por la funcion coseno no estaria ese vector en sentido perpendicular a los otros 2 vectores??Saludos

El tema es que una componente de $g$ impulsa a $m$ hacia abajo por el plano inclinado, y la otra contra $M$, pero cuando $M$ acelera hacia $m$, es lo mismo que pensar que $m$ tiene una aceleración en sentido contrario sobre $M$. los vectores $g$ y $a$ actúan ortogonales , para que no deslice $m$ sobre el plano inclinado las componentes de esas aceleraciones deben compensarse, pero en sentido normal al plano siempre estarán sumando.

Es decir cuando el haces el diagrama de cuerpo libre para m si este estuviera sin aceleración solo tienes el peso y la normal y la sumatoria de la fuerzas en el eje $x$ y en $y$, igualadas a una aceleración de m en sentido x e y

pero cuando $m$ esta acelerado es como si tuviera una fuerza ficticia de valor $ma$ sobre el plano horizontal en sentido contrario a la aceleración de $M$ o es lo mismo que decir que la sumatoria de las fuerzas en el eje horizontal no es nula sino igual a $ma$ en el eje x , y esta aceleración tiene componentes tanto en la dirección del plano inclinado como en el sentido de la normal.


PD para que las fórmulas te queden mas legibles leete este link

Saludos$\mathbb {R}^3$

[geronimohelguera]

Re: proyeccion de fuerzas sobre 2 cuerpos

ahh perfecto ya lo entendi, gracias por el link ya lo voy a ver . Saludos