Divulgación Problema de pendulo oscilante.

[inakigarber]

Buenas noches;
Planteo el problema siguiente;
Una barra uniforma de longitud 2 m, tiene una masa de 0.8Kg. Sujeto a la barra hay un disco de masa M=1.2 Kg y radio R=0.15 m. ¿Cuál debe ser la distancia d para que el período sea de 2.5 Segundos?

[inakigarber]

El solucionario da como solución $d=1.63572$ metros.
A mi no me coincide, el valor que me ha salido es d=1.4616 metros.
Primero he calculado el momento de inercia total del sistema;
$I_t=\dfrac{0.8\cdot 2^2}{3}+\dfrac{1.2\cdot 0.15^2}{2}+1.2d^2$
Segundo trato de calcular la posición del centro de masas del sistema. El centro de masas del sistema se encontrara entre el centro de masas de la barra, a un metro del punto pivotante, y el centro de la lenteja del péndulo (d), he llamado A a la distancia entre el centro de masas de la lenteja y el centro de masas final del sistema, y B a la distancia del centro de masas de la barra y el centro de masas final del sistema. Por otra parte, $1.2 A=0.8 B$, donde 1.2 y 0.8 son las masas respectivas de la lenteja y la barra. Entonces me sale que la posición de dicho centro de masas final es;
$x=d-\dfrac{0.8B}{1.2}=0.6666B$
Bien, aplicando la formula del péndulo físico y sustituyendo números;

$$\dfrac{2 \pi}{2.5}=\sqrt{\dfrac{(1.2+0.8)9.81[d-0.666B]}{1.081066+1.2d^2}}$$

Bien, tengo una ecuación y dos variables, pero puedo establecer $d-1=A+B$, por lo establecido en el párrafo anterior me sale que $B=\dfrac{d-1}{1.66666}$.
Sustituyendo en la ecuación (1) me sale una ecuación de segundo grado cuyo valor $d^+=1.4616$, (el valor $d^-$ me da un valor negativo que desprecio), pero este valor no me coincide con el que da el solucionario.
¿Cómo lo veis?

[JCB]

Hola inakigarber.

Aplicando momentos:

$-m_bg\dfrac{L}{2}sen\theta-m_dgdsen\theta=I\ddot{\theta}$. Al ser $\theta$ pequeño, $sen\theta\approx\theta$.

$-\left(m_bg\dfrac{L}{2}+m_dgd\right)\theta=I\ddot{\theta}$,

$\ddot{\theta}=\dfrac{-\left(m_bg\dfrac{L}{2}+m_dgd\right)}{I}\theta$, expresión de un m.a.s. angular ($\ddot{\theta}=-\omega^2\theta$), donde $\omega^2=\dfrac{m_bg\dfrac{L}{2}+m_dgd}{I}$.

Por otra parte, $I=\dfrac{1}{3}m_bL^2+\dfrac{1}{2}m_dR^2+m_dd^2$.

De aquí llegamos a:

$\dfrac{m_bg\dfrac{L}{2}+m_dgd}{\dfrac{1}{3}m_bL^2+\dfrac{1}{2}m_dR^2+m_dd^2}=\left(\dfrac{2\pi}{T}\right)^2$.

Despejando, $d=1,6336 \ m$, que tampoco coincide con el solucionario.

Saludos cordiales,
JCB.

[Al2000]

Lo revisaría a fondo, pero soy alérgico a los ejercicios resueltos con números... simplemente me pierdo tratando de seguir lo que hiciste. Me da la impresión que te has enredado con el cálculo de la posición del centro de masa, el cual es simplemente $\dst x = \frac {m (L/2) + M d}{m+M}$, que representa la distancia desde el punto de pivote. Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Richard R Richard]

Hola iñaki el momento de inercia que debes usar es la suma de los momentos de inercia de cada parte del péndulo respecto de su propio CM y correrla luego por el teorema de steiner al punto donde lo cuelgas

el momento de inercia de la barra por su CM es $I_{bCM}=\dfrac{m_bL^2}{12}$ pero por el extremo donde lo cuelgas $I_b=\dfrac{m_bL^2}{3}$

el momento de inercia de la masa de sección circular por su CM es $I_{dCM}=\dfrac{m_dR^2}{2}$ pero por el extremo donde lo cuelgas $I_d=\dfrac{m_dR^2}{2}+m_dd^2$

el momento de inercia total es $I_o=I_b+I_d =\dfrac{m_bL^2}{3}+\dfrac{m_dR^2}{2}+m_d d^2$

La distancia entre el eje de rotación y el centro de masa del conjunto es el promedio ponderado por las masas de la ubicación de cada CM individual respecto del extremo donde lo cuelgas

$r_{CM}=\dfrac{m_b\dfrac{L}{2}+m_dd}{m_b+m_d}<br />$

luego $T = 2\pi \sqrt{\dfrac{I_o}{ mgr_{CM}}}$

de donde puedes despejar $d$

[inakigarber]

Gracias a ambos por la ayuda.

Lo revisaría a fondo, pero soy alérgico a los ejercicios resueltos con números... simplemente me pierdo tratando de seguir lo que hiciste. Me da la impresión que te has enredado con el cálculo de la posición del centro de masa, el cual es simplemente $\dst x = \frac {m (L/2) + M d}{m+M}$, que representa la distancia desde el punto de pivote. Saludos,

$\mathcal A \ell$

La verdad es que a la hora de calcular la posición del centro de masas he equivocado el cálculo, pretendiendo seguir un camino más sencillo me he complicado la vida. Con esta expresión y la del momento de inercia (que habia calculado correctamente) me sale una ecuación de segundo grado una de cuyas soluciones es negativa y no tiene sentido, y la otra coincide con el solucionario del texto $d=1.635740$. Era mucho más sencillo de lo que yo habia planteado.

Saludos y gracias.